数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校高二上学期期中考试文数试题 （解析版）

数学卷·2018届黑龙江、吉林两省八校高二上学期期中考试文数试题 （解析版）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：充要条件的判定．‎ ‎2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，根据抛物线的方程可知，所以抛物线的焦点到准线的距离为，故选C．‎ 考点：抛物线的几何性质．‎ ‎3.若，则函数的导函数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，函数的导函数，故选D．‎ 考点：导数的计算．‎ ‎4.双曲线的焦点到其渐近线距离为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线的方程，可得，所以，所以右焦点坐标为，渐近线方程为，及，所以焦点到准线的距离为，故选C．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎5.若椭圆的离心率为，则（ ）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：椭圆的几何性质．‎ ‎6.曲线在点处的切线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，即切点的坐标为，又由，所以，即切线的斜率为，由直线的点斜式方程可得切线的方程为，即，故选A．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎7.为抛物线上一点，，则到此抛物线的准线的距离与到点的距离之和 的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：抛物线的几何性质及其应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了抛物线的几何性质及其应用，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的几何性质、以及点到直线的距离公式等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中，合理利用抛物线的定义，把抛物线上的点到准线的距离转化为到抛物线的焦点的距离是解答问题的关键．‎ ‎8.设函数的导函数为，则最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，所以当时，取得最大值，故选A．‎ 考点：导数的运算及函数的最值．‎ ‎9.设双曲线左，右焦点为是双曲线上的一点，与轴 垂直，的内切圆方程为，则双曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，点是双曲线左支上一点，由双曲线的定义可知，若设的内 考点：双曲线的标准方程．‎ ‎10.设命题函数在区间内有零点；命题设是函数的导函数，‎ 若存在使，则为函数的极值点．下列命题中真命题是（ ）‎ A．且 B．或 C．（非）且 D．（非）或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由函数为单调递增函数，又，，所以，所以函数在区间内有零点，所以命题为真命题；根据函数极值与导数的关系，可得命题为假命题，所以且为假命题，或为真命题，（非）且假命题，（非）或为假命题，故选B．‎ 考点：复合命题的真假判定．‎ ‎11.已知函数，若在函数定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得在函数定义域内恒成立，即在函数定义域内恒成立，即在函数定义域内恒成立，设，则，当上，函数单调递增；当上，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，所以实数的取值范围是，故选D．‎ 考点：函数的恒成立问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．‎ ‎12.设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线 的两条渐近线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距 离小于，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：双曲线的几何性质及其应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质及其应用，其中涉及到三角形垂心的概念、以及两直线垂直的条件，双曲线的几何性质及其性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中合理应用三角形垂心的性质以及双曲线的几何性质是解答的关键，试题有赢的难度，属于中档试题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.命题的否定为____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据命题否定的概念，可知命题的否定为“”．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎14.抛物线上一点的纵坐标为，则点到此抛物线焦点的距离为___________．　‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：抛物线的定义及其应用．‎ ‎15.若函数在处取得极值，则______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，令，即，解得，即．‎ 考点：函数的极值点．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的极值点的求解，其中解答中涉及到函数的导数的运算、函数的极值点与极值的概念等知识点的综合考查，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理运算能力，本题的解答中正确求解函数的导数，利用导数等于零，根据极值点的概念是解答的关键．‎ ‎16.椭圆的左顶点为，右焦点为，上顶点为，下顶点为，若直线 与直线的交点为，则椭圆的标准方程为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：椭圆的标准方程．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，其中解答中涉及到直线的方程，椭圆的标准方程及其简单的几何性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题运算量较大，属于中档试题，本题的解答中写出直线与直线方程，求解的值是解答的关键．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 求双曲线的焦点坐标、实轴长、虚轴长及渐近线方程．‎ ‎【答案】焦点为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据双曲线的标准方程，求得的值，即可求解双曲线的几何性质．‎ 试题解析：∵，∴．．．．．．．．．．．．．5分 ‎∴焦点为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．．．．．．10分 考点：双曲线的标准方程及其几何性质．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数的导函数为．‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）求函数的单调区间．　‎ ‎【答案】（1）；（2）的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎∴时，时，，‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：不等式的求解；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知：对，不等式恒成立；，使不等式 成立，若是真命题，是假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 从而为假命题时，，‎ ‎∴为真命题，为假命题时，的取值范围为 ……………………… 12分 考点：命题的真假判定及应用．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，直线与此抛物线交于两点，与轴交于点 为坐标原点，若．‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎∴，∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系的应用．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求得，得到，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由，对恒成立，转化为，设，求得，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解的取值范围；（3）令得，可判定得的零点在上，利用导数得到在上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论．‎ 试题解析：（1），‎ ‎∴由零点存在的条件可得，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：导数的综合应用问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，离心率为且过点，过定点的动直线与 该椭圆相交于两点．‎ ‎（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 因为线段的中点的横坐标为，解得，‎ 所以直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）假设在轴上存在点，使得为常数，‎ ‎①当直线与轴不垂直时，由（1）知，‎ 所以 ‎，‎ 因为是与无关的常数，从而有，‎ 此时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎②当直线与轴垂直时，此时结论成立，‎ 综上可知，在轴上存在定点，使，为常数．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：直线与椭圆的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程代入椭圆的方程，转化为根与系数的关系，以及韦达定理是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎