2017-2018学年宁夏大学附中高二上学期期中数学试题（解析版)

2017-2018学年宁夏大学附中高二上学期期中数学试题（解析版)

‎2017-2018学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）求等差数列8，5，2的第10项（　　）‎ A．50 B．16 C．﹣19 D．10‎ ‎2．（5分）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）已知，且，则x=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C．0 D．‎ ‎4．（5分）若一个等比数列的前三项依次是x，2x+2，3x+3，则这个数列的公比等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）在△ABC中，A=45°，AC=4，AB=，那么cosB=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎6．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎7．（5分）设集合M={x|0≤x＜3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则集合M∩N等于（　　）‎ A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}‎ ‎8．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎9．（5分）若x∈R时，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（2，6） C．[2，6） D．（﹣∞，6）‎ ‎10．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（　　）‎ A．79 B．69 C．5 D．﹣5‎ ‎11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则an=（　　）‎ A．2n﹣1 B．（）n﹣1‎ C．（）n﹣1 D．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an=3﹣2n，则它的公差d为　 　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，，则角A等于　 　．‎ ‎15．（5分）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　 　．‎ ‎16．（5分）数列的前100项的和等于　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17．（10分）已知各项是正数的等比数列a1=3，a5=48，求a6，S6．‎ ‎18．（12分）已知，，‎ ‎（1）求向量，的夹角；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a=4，，∠A=30°．‎ ‎（1）求∠B；‎ ‎（2）求边c．‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2．‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求△ABC的外接圆的面积．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}的前n项和 ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求s=a1+a3+a5+…+a17+a19．‎ ‎22．（12分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣14x+45=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年宁夏大学附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）求等差数列8，5，2的第10项（　　）‎ A．50 B．16 C．﹣19 D．10‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列8，5，2，可得a1=8，a2=5，公差d=5﹣8=﹣3．‎ ‎∴第10项a10=8﹣3×9=﹣19．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得 ‎，解得，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知，且，则x=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣ C．0 D．‎ ‎【分析】根据向量的平行的条件以及坐标的运算即可求出．‎ ‎【解答】解：∵，且，‎ ‎∴1×（﹣3）﹣2×2x=0，‎ 解得x=﹣，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了向量平行的条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若一个等比数列的前三项依次是x，2x+2，3x+3，则这个数列的公比等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用等比中项的性质建立关系（2x+2）2=x（3x+3），求出x，即可求出公比．‎ ‎【解答】解：若一个等比数列的前三项依次是x，2x+2，3x+3，则（2x+2）2=x（3x+3），‎ 解得x=﹣1或x=﹣4．‎ 若x=﹣1，则前三项为﹣1，0，0，不成立．‎ 若x=﹣4，则前三项为﹣4，﹣6，﹣9，此时公比为．‎ ‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题主要考查等比中项的应用，以及等比数列的基本运算．比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，A=45°，AC=4，AB=，那么cosB=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【分析】根据余弦定理BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA的式子，将题中数据代入算出BC=，再由cosB的表达式加以计算，即可得到cosB的大小．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，A=45°，AC=4，AB=，‎ ‎∴根据余弦定理，得 BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA=16+2﹣8cos45°=10，得BC=，‎ 因此，cosB===﹣．‎ 故选：D ‎【点评】本题给出三角形的两边AC、AB长和角A的大小，求角B的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；‎ B、1＞﹣2，但是，故B不正确；‎ C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；‎ D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设集合M={x|0≤x＜3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则集合M∩N等于（　　）‎ A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}‎ ‎【分析】把集合N中的不等式左边分解因式，根据两数相乘，异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集得到原不等式的解集，确定出集合N，找出集合M和N解集的公共部分即可得到两集合的交集．‎ ‎【解答】解：由集合N中的不等式x2﹣3x﹣4＜0，‎ 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＜0，‎ 可化为：或，‎ 解得：﹣1＜x＜4，‎ ‎∴集合N={x|﹣1＜x＜4}，又集合M={x|0≤x＜3}，‎ 则M∩N=M={x|0≤x＜3}．‎ 故选C ‎【点评】此题属于以一元二次不等式解法为平台，考查了交集的运算，利用了转化的思想，是高考中常考的基本题型．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知向量=（5，﹣3），=（﹣6，4），则=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【分析】首先利用平面向量的坐标运算求出和向量的坐标，然后利用模长公式求值．‎ ‎【解答】解：由已知得到=（5﹣6，﹣3+4）=（﹣1，1），所以||=；‎ 故选B ‎【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及模长公式的运用；属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若x∈R时，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（2，6） C．[2，6） D．（﹣∞，6）‎ ‎【分析】①当a﹣2=0，即a=2时，有4＞0对一切实数x恒成立，②当a﹣2≠0时，根据，求出a的取值范围，再把这两个a的取值范围取并集，即可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x+4＞0对一切实数x恒成立，‎ ‎①当a﹣2=0，即a=2时，有4＞0对一切实数x恒成立，∴a=2，‎ ‎②当a﹣2≠0时，根据，‎ 解得，2＜a＜6，‎ 综上所述，实数a的取值范围是2≤a＜6，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（　　）‎ A．79 B．69 C．5 D．﹣5‎ ‎【分析】由三角形的三边，利用余弦定理求出cosB的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则表示出所求向量的数量积，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：由AB=5，BC=7，AC=8，根据余弦定理得：‎ cosB==，又||=5，||=7，‎ 则=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB ‎=﹣5×7×=﹣5．‎ 故选D ‎【点评】此题考查了余弦定理，以及平面向量数量积的运算．注意与的夹角是π﹣B，而不是B，学生做题时容易出错．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则an=（　　）‎ A．2n﹣1 B．（）n﹣1‎ C．（）n﹣1 D．‎ ‎【分析】根据数列{an}的前n项和与等比数列的定义，得出an+1与an的关系，从而求出数列{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，‎ a1=1，Sn=2an+1，‎ ‎∴Sn﹣1=2an，n≥2，‎ ‎∴an=Sn﹣Sn﹣1=2an+1﹣2an，n≥2‎ 即an+1=an，n≥2‎ ‎∴从第2项起，数列{an}是以公比q=的等比数列，‎ 且a2=S1=a1=；‎ ‎∴n≥2时，an=•；‎ ‎∴an=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了数列{an}的前n项和与等比数列的定义、通项公式的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞，则sinA+sinC的最大值是（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．‎ ‎【解答】解：∵acosA=bsinA，∴，‎ 又由正弦定理得，‎ ‎∴sinB=cosA=sin（），‎ ‎∵B，‎ ‎∴π﹣B=．‎ ‎∴B=A+．‎ ‎∴C=π﹣A﹣B=．‎ ‎∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin2A+sinA+1=﹣2（sinA﹣）2+．‎ ‎∵0，，‎ ‎∴0，‎ ‎∴0＜sinA．‎ ‎∴当sinA=时，sinA+sinC取得最大值．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，二次函数的最值，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）已知等差数列{an}的通项公式an=3﹣2n，则它的公差d为　﹣2　．‎ ‎【分析】由题意可得公差d=an+1﹣an，代入已知式子化简可得．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的通项公式为an=3﹣2n，‎ ‎∴公差d=an+1﹣an=[3﹣2（n+1）]﹣（3﹣2n）=﹣2‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，，则角A等于　　．‎ ‎【分析】由已知可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，利用余弦定理可得cosA=﹣，结合范围A∈（0，π），可求A的值．‎ ‎【解答】解：∵，可得：b2+c2﹣a2=﹣bc，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosA===﹣，‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∴A=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　20　．‎ ‎【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质得：‎ ‎3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，‎ 故答案为：20．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）数列的前100项的和等于　　．‎ ‎【分析】根据数列中项为的项数为n，可得第91项为，从第92项至第100项均为，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，数列中项为的项数为n，则 ‎∵1+2+3+4+…+13==91‎ ‎∴第91项为，从第92项至第100项均为 ‎∴数列的前100项的和等于13+=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17．（10分）已知各项是正数的等比数列a1=3，a5=48，求a6，S6．‎ ‎【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q4===16，解可得q的值，将q的值代入等比数列的通项公式计算可得a6的值，代入前n项和公式计算即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1=3，a5=48，‎ 则q4===16，则q=±2，‎ 又由该数列各项均为正，则q=2，‎ 则a6=a5q=16×2=32，‎ S6===63．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出该数列的公比．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知，，‎ ‎（1）求向量，的夹角；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【分析】（1）直接由已知结合数量积求夹角公式得答案；‎ ‎（2）由，展开后代入已知求解．‎ ‎【解答】解：（1）由，，，‎ 得cos＜＞=，‎ 又＜＞∈[0，π]，‎ ‎∴向量，的夹角为；‎ ‎（2）‎ ‎=22+2×3+32=19，‎ ‎∴的值为．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a=4，，∠A=30°．‎ ‎（1）求∠B；‎ ‎（2）求边c．‎ ‎【分析】（1）直接根据正弦定理求解即可；‎ ‎（2）利用三角形内角和定理求解C，结合正弦定理即可求解c．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=4，，∠A=30°．‎ 由正弦定理：‎ 可得：sinB=，‎ ‎∵0＜B＜150°‎ ‎∴B=120°或60°．‎ ‎（2）当B=120°时，可得C=30°，‎ 那么△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴c=a=4‎ ‎（2）当B=60°时，可得C=90°，‎ 那么△ABC是直角三角形，‎ 可得c==8．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理和三角形内角和定理的运用以及计算能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，∠B=45°，△ABC的面积S=2．‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求△ABC的外接圆的面积．‎ ‎【分析】（1）根据，△ABC的面积S=acsinB=2．可得c的值；‎ ‎（2）利用正弦定理即可求解△ABC的外接圆的半径，可得△ABC的外接圆的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，△ABC的面积S=acsinB=2．‎ 可得c=4‎ ‎（2）由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，‎ 可得：b=5．‎ 正弦定理：外接圆半径：2R=，‎ ‎∴R=．‎ 那么△ABC的外接圆的面积S=πR2=50π ‎【点评】本题考查△ABC的面积的求法，和正弦，余弦定理的灵活运用以及计算能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知数列{an}的前n项和 ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求s=a1+a3+a5+…+a17+a19．‎ ‎【分析】（1）由数列{an}的前n项和，n=1时，a1=S1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．‎ ‎（2）由（1）可得：a2n﹣1=2（2n﹣1）=4n﹣2．利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由数列{an}的前n项和，‎ n=1时，a1=S1=2．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，‎ n=1时也成立．‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（2）由（1）可得：a2n﹣1=2（2n﹣1）=4n﹣2．‎ ‎∴s=a1+a3+a5+…+a17+a19==200．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系，等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣14x+45=0的根．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）由x2﹣14x+45=0，解得x=5或9．根据{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣14x+45=0的根．‎ 可得a2=5，a4=9．利用通项公式即可得出．‎ ‎（2）=（2n+1）•2n．利用错位相减法即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由x2﹣14x+45=0，解得x=5或9．‎ ‎∵{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣14x+45=0的根．‎ ‎∴a2=5，a4=9．‎ ‎∴公差d==2，a1+2=5，解得a1=3．‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．‎ ‎（2）解：=（2n+1）•2n．‎ ‎∴数列的前n项和Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）•2n．‎ ‎∴2Sn=3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1．‎ ‎∴﹣Sn=6+2[22+23+…+2n]﹣（2n+1）•2n+1=2+2×﹣（2n+1）•2n+1．‎ 化为：Sn=（2n﹣1）•2n+1+2．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎