江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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www.ks5u.com ‎2019-2020学年第一学期期中试卷 高一数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置．‎ ‎1.集合A＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：集合的真子集有，共3个，故选C.‎ 考点：集合的子集 ‎2.计算的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算法则可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根式的运算，考查分数指数幂的应用与指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合、，然后利用交集的定义可求出集合.‎ ‎【详解】，，则.‎ 解不等式，得，则.‎ 因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，同时也考查了函数值域与对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.化简的结果为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算性质即可得解.‎ ‎【详解】==2-2=0.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.‎ ‎5.若（且），则函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的取值范围，可得知函数的增减性，然后在此函数的基础上向右平移一个单位长度得出函数的图象，从而可得出正确选项.‎ ‎【详解】（且），且，则指数函数为减函数，，‎ 所以，对数函数在上为减函数，‎ 在该函数图象的基础上向右平移一个单位长度得出函数的图象，‎ 因此，C选项中的图象为函数的图象.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对数型函数图象的识别，解题的关键就是结合条件求出底数的取值范围，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎6.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，并求出集合，根据韦恩图表示的集合可得出结果.‎ ‎【详解】，且，则.‎ 图中阴影部分所表示的集合为且.‎ 因此，图中阴影部分所表示的集合为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查韦恩图所表示集合的求解，解题时要弄清楚韦恩图所表示集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数，若关于的不等式的解集为，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．‎ ‎【详解】关于的不等式的解集为，‎ 可得，且，3为方程的两根，‎ 可得，，即，，‎ ‎，，‎ 可得，（1），（4），‎ 可得（4）（1），故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。‎ ‎8.函数的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元，可得出，然后将问题转化为二次函数在上的值域，利用二次函数的单调性即可求解.‎ ‎【详解】，令，得，‎ 由于二次函数在区间上单调递增，当时，.‎ 因此，函数的值域为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数值域的求解，利用换元法转化为二次函数的值域问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎9.已知集合，，若，则实数的取值个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况讨论，求出集合，结合条件求出实数的值，即可得出正确选项.‎ ‎【详解】当时，成立；‎ 当时，，且，则或.‎ 因此，实数的取值个数为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，同时也涉及一元二次方程的解法，解题的关键就是要对参数的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎10.已知偶函数在上是减函数，且，则满足不等式的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的性质，将不等式化为，利用函数在区间上的单调性得出，解出该不等式即可.‎ ‎【详解】由于函数是上的偶函数，则，‎ ‎，由，则，即.‎ 函数在上是减函数，，即，解得.‎ 因此，满足不等式的取值范围为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在涉及到偶函数时，可以利用性质，可避免讨论，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点存在定理可判断出函数的零点所在区间.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理判断，难点在于计算函数值的正负，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎12.设函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知中函数，若关于的方程恰有 个不同的实数解，可以根据函数的图象分析出实数的取值范围．‎ ‎【详解】函数的图象如下图所示：‎ 关于的方程恰有个不同的实数解，‎ 令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）‎ 则方程（*）的两个解在（1，2]，‎ 可得，解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置．‎ ‎13.已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设幂函数的解析式 又幂函数的图象过点 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴幂函数的解析式 故答案为：‎ ‎14.函数的单调递增区间为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】令，解得或，‎ 函数的定义域为.‎ 内层函数的减区间为，增区间为.‎ 外层函数在上为增函数，‎ 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.如图，函数的图象是两条线段，其定义域为，则满足不等式的的取值集合为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出函数的解析式，由图象可知，函数为奇函数，由题意得出，然后分和解不等式即可.‎ ‎【详解】由图象可得，且函数为奇函数，‎ 由可得，即，则或.‎ 当时，，解不等式，即，解得，‎ 此时，；‎ 当时，，解不等式，即，解得，此时.‎ 因此，不等式的的取值集合为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用图象解函数不等式，解题的关键就是要求出函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎16.若函数（且）有最小值，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得出函数为增函数，且有，由此可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由于函数（且）有最小值，‎ 当时，，此时函数单调递减，则.‎ 所以，当时，函数单调递增，且，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数最值的存在性求参数的取值范围，解题时要从每支函数的单调性，以及分界点处函数值的大小关系来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．‎ ‎（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；‎ ‎（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】 （Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3] ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）．‎ ‎（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，‎ B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}‎ ‎∴A∩B={x|1≤x＜5}，‎ ‎（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}‎ ‎（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，‎ ‎∴C⊆B，‎ 当C=∅时，‎ 解得 当C≠∅时，由C⊆B得，解得：2＜m≤3‎ 综上所述：m的取值范围是（-∞，3]‎ ‎【点睛】本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎18.已知函数，．‎ ‎（1）解方程：；‎ ‎（2）令，‎ ‎①证明：为定值；‎ ‎②求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）①见解析；②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，得，换元，可得出，求出正数的值，即可得出的值；‎ ‎（2）①利用指数的运算律可证明出；‎ ‎②利用①中的结论，结合倒序相加法可求出 的值.‎ ‎【详解】（1）方程即为，‎ 令，则，解得（舍），或，即，解得；‎ ‎（2）①证明：因，‎ ‎；‎ ‎②.‎ ‎【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数恒等式的证明以及代数式和的计算，考查指数的运算律的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.已知函数，，其中．‎ ‎（1）解关于的不等式：；‎ ‎（2）若函数的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数函数的单调性和真数大于零列出关于实数的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）求出函数的定义域，利用复合函数法分析出函数的单调性，得出该函数的最小值为，由此可解出实数的值.‎ ‎【详解】（1）不等式即为，‎ ‎，对数函数在上为减函数，‎ ‎，解得；‎ ‎（2），‎ 由，解得，所以，函数的定义域为.‎ 内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 外层函数在上为减函数，‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎，即，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查对数不等式的求解，同时也考查了对数型复合函数最值的求解，解题时要利用复合函数法分析出对数型复合函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）用单调性定义证明：函数在上是减函数，在是增函数；‎ ‎（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当关于的方程有两个不相等的正根时，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）任取，作差，通分，因式分解，然后分和两种情况讨论，判断的符号，即可证明出函数在区间和 上的单调性；‎ ‎（2）求出函数在区间上值域，由得知实数的取值范围即为函数在区间上的值域，即可求解；‎ ‎（3）将问题转化为直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）设，‎ ‎．‎ 当时，，，，，‎ 即，所以，函数在上单调递减．‎ 当时，，，，，‎ 即，所以，函数在上单调递增；‎ ‎（2）函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，且，．‎ 方程在有解，，因此，实数的取值范围是；‎ ‎（3）方程为，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，如下图所示：‎ 由上图可知，当时，直线与函数在区间 上的图象有两个交点.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，解题时可以利用参变量分离法，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数的奇偶性，并给出理由；‎ ‎（2）若函数为奇函数，求实数的值，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2），理由见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，利用特殊值法判断出函数为非奇非偶函数；‎ ‎（2）解法一：先由，求出，然后利用定义验证出函数为奇函数；‎ 解法二：由，可得出对任意的实数恒成立，即可得出实数的值；‎ ‎（3）由奇函数的性质得出，利用定义证明出函数为上的增函数，可得出对任意的实数恒成立，并求出函数的值域，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，关于原点对称，‎ 且，，‎ 且，函数为非奇非偶函数；‎ ‎（2）解法一：因为为奇函数，所以，得．‎ ‎.‎ 检验：函数定义域为，，‎ 当时，函数为奇函数；‎ 解法二：因为为奇函数，恒成立，‎ ‎，即，即，‎ 即，即对任意的实数恒成立，；‎ ‎（3）不等式恒成立，‎ 函数为奇函数，恒成立，‎ ‎，‎ 设，，则有，‎ ‎，函数在上单调递增，恒成立，‎ ‎，则，则有，，所以，，即，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、利用奇偶性求参数，以及利用函数单调性求解函数不等式恒成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数的解析式表示为分段函数的形式，然后分、、三种情况讨论，结合函数图象，得出二次函数对称轴与区间的位置关系，由此得出关于实数的不等式，解出即可；‎ ‎（2）分析函数在区间上的单调性，得出函数在该区间上的最小值关于的表达式，再由最小值为，求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）.‎ ‎①当时，且当时，，此时函数在上递单调递增，可取；‎ ‎②当时，，且当时，，‎ 由于二次函数开口向上，对称轴为直线，‎ 如图可知，函数在上单调递增，可取；‎ ‎③当时，如图可知，若函数在上单调递增，‎ 则或，得或．‎ 综上所述，实数的取值范围是；‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（2）①当时，函数在上单调递增，‎ 所以，即，‎ 解得（舍）或；‎ ‎②当时，函数在上单调递增，‎ 所以，即，（均舍）；‎ ‎③当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 因为，，.‎ 当时，，所以，即，‎ 得，均舍；‎ 当时，，则，即，‎ 得可取；‎ ‎④当时，则，此时，函数在上单调递减，在上单调递增，，得，均舍．‎ 综上，或．‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值函数的单调性与最值的求解，利用数形结合思想求解是关键，此外要注意对参数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎