2017-2018学年湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2017-2018学年湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1. 现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；‎ ‎②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；‎ ‎③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．‎ 较为合理的抽样方法是 (　　)‎ A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 ‎【答案】A ‎【解析】在①中因为个体数量较少，采用简单随机抽样即可； 在②中，因为个体数量多，且已按座位自然分组，故采用系统抽样较好； 在③中，因为文科生和理科生的差异明显，故采用分层抽样较好． 故选A ‎2. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )‎ A. （1）（2） B. （1）（3） C. （2）（4） D. （2）（3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】散点图（1）中，所有的散点都在曲线上，所以（1）具有函数关系；散点图（2）中，所有的散点都分布在一条直线的附近，所以（2）具有相关关系；散点图（3）中，所有的散点都分布在一条曲线的附近，所以（3）具有相关关系，散点图（4）中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以（4）没有相关关系．故选D．‎ ‎3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（ ）(注：表为随机数表的第8行和第9行)‎ A. 02 B. 13 C. 42 D. 44‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，选取数据依次为，故为.‎ ‎4. 下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14,18，则输出的为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 14‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选：B．‎ ‎5. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 恰有一个红球与恰有二个红球 D. 至少有一个红球与至少有一个白球 ‎【答案】C ‎【解析】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：‎ ‎3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.‎ 选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；‎ 选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；‎ 选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；‎ 选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.‎ ‎6. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （ ）‎ A. －1 B. 0 C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D.‎ 所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=1/2x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．‎ 解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=1/2x+1上，‎ ‎∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，‎ 故选D．‎ ‎7. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩 依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A. 6 B. 10 C. 91 D. 92‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分（包括90分）以上的人数。结合茎叶图可知，成绩在90以上的人数为10人，所以选项B正确。选B。‎ ‎8. 南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（ ）‎ A. 3.13 B. 3.14 C. 3.15 D. 3.16‎ ‎【答案】D ‎【解析】 设圆的半径为，则正方形的边长为，‎ ‎ 根据几何概型的概率公式，可以得到，解得，故选D．‎ ‎9. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，‎ 齐王与田忌赛马，其情况有：‎ ‎(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，‎ 共9种；‎ 其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，‎ 故选：A.‎ ‎10. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，‎ 实验一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，‎ 实验至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎..................‎ ‎11. 以下四个命题，其中正确的个数有（ ）‎ ‎①由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.‎ ‎②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；‎ ‎③在线性回归方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；‎ ‎④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K2的观测值k越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B。‎ ‎12. 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，‎ 基本事件总数n=5×5=25，‎ 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：‎ 共有m=10个基本事件，‎ ‎∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= ‎ 故答案为：D。‎ 二、填空题：（本题共4个小题,每题5分，共计20分.）‎ ‎13. 将53(8)转化为二进制的数为____.‎ ‎【答案】101 011(2)‎ ‎【解析】53（8）=5×81+3=43．‎ ‎∴53（8）=101011（2）．‎ ‎14. 已知样本6,7,8,9，m的平均数是8，则标准差是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，则 ‎∴标准差为 故答案为 ‎15. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,‎ 则应从丙种型号的产品中抽取件________.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．‎ 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N．‎ ‎16. 记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，即，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率是．‎ 点睛:（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：‎ 命中环数 ‎10环 ‎9环 ‎8环 ‎7环 概率 ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.18‎ ‎0.12‎ 求该选手射击一次，‎ ‎(1)命中9环或10环的概率.‎ ‎(2)至少命中8环的概率.‎ ‎(3)命中不足8环的概率.‎ ‎【答案】（1）0.60；（2）0.78；（3）0.22.‎ ‎【解析】试题分析：（1）事件“射击一次，命中环”为，，则事件彼此互斥,然后根据互斥事件的概率计算方法求和即可；（2）“射击一次，至少命中环”包括命中环，环，环三个事件，这三个事件是互斥的，然后根据互斥事件的概率计算方法求和即可；（3）“射击一次，命中不足环”是事件: “射击一次，至少命中环”的对立事件，根据对立事件的概率公式计算即可.‎ 试题解析：记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k=7，8，9，10).‎ ‎(1)因为A9与A10互斥，‎ 所以P(A9+A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.‎ ‎(2)记“至少命中8环”为事件B.‎ B=A8+A9+A10，又A8，A9，A10两两互斥，‎ 所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.‎ ‎(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件.‎ 所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件的概率公式，属于中档题. 求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．‎ ‎18. 为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉字听写大会》的活动．为响应学校号召，2（9）班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩画出茎叶图，如图所示（把频率当作概率）．‎ ‎（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数；‎ ‎（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据平均数以及中位数计算公式分别求得平均数和中位数；（2）由于两人平均数一样，所以比较两人方差，确定两人稳定性，根据方差公式可得甲的方差比乙小，即甲稳定，所以选甲 试题解析：解：（1）由茎叶图可知甲、乙两人成绩的平均数为 ‎，‎ ‎，‎ 甲、乙两人成绩的中位数为 ‎，．‎ ‎（2）派甲参加比较合适，理由如下：‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎∵，，‎ ‎∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适．‎ ‎19. 某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一个居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）如果当地政府希望使左右的居民每月的用电量不超出标准，根据样本估计总体的思想，你认为月用电量标准应该定为多少合理？‎ ‎【答案】（1）；（2）224；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用频率分布直方图的面积为1列出方程，求解方程可得直方图中的值是．‎ ‎(2)由频率分布直方图中最高部分可得月平均用电量的众数是，利用中位数将频率分布直方图分割为面积相等的两部分可得月平均用电量的中位数是224．‎ ‎(3) 由频率分布直方图可看出，大约有的居民用电量在度以上，的居民用电量在度以下，因此较合理．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由直方图的性质，可得，‎ 的，所以直方图中的值是．‎ ‎（2）月平均用电量的众数是．　‎ 因为，‎ 所以月平均用电量的中位数在内，‎ 设中位数为，由，得，‎ 所以月平均用电量的中位数是224．‎ ‎（3）由频率分布直方图可看出，‎ 月用电量在度以上的有，‎ 即大约有的居民用电量在度以上，的居民用电量在度以下，因此较合理．‎ 点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；‎ 二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.‎ ‎20. 已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ ‎（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；‎ ‎（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）当时，；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据表中数据画出散点图即可；‎ ‎（2）计算平均数与回归系数，写出回归直线方程，利用方程计算时，的值；‎ ‎（3）用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）依题意，，，‎ ‎，，‎ ‎，∴；‎ ‎∴回归直线方程为，故当时，.‎ ‎（3）五个点中落在直线右下方的三个点记为，另外两个点记为，从这五个点中任取两个点的结果有共10个，‎ 其中两个点均在直线的右下方的结果有3个，所以概率为.‎ ‎21. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）‎ ‎（1）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?‎ ‎（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．‎ 附表：‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据表中所给的数据，计算观测值K2，观测值同临界值进行比较，得出概率结论；‎ ‎（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，绘制基本事件满足的区域，由几何概型公式即可求得乙比甲先解答完的概率P（A）．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由表中数据得K2的观测值 ‎，‎ ‎∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；‎ ‎(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，‎ 则基本事件满足的区域为，‎ 设事件A为“乙比甲先做完此道题”，乙比甲先解答完的事件为A，则满足的区域为x＞y，‎ ‎∴由几何概型P（A）==，‎ ‎∴乙比甲先解答完的概率P=．‎ 点睛：‎ 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎22. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。 ‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。‎ ‎【答案】（1）；（2）0.7.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）①这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；②当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率 试题解析：（1）当日需求量n≥17时，利润y＝85．‎ 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85．‎ 所以y关于n的函数解析式为（n∈N）．‎ ‎（2）①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，‎ ‎16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，‎ 所以这100天的日利润的平均数为×（55×10＋65×20＋75×16＋85×54）＝76．4．‎ ‎②利润不低于75元时日需求量不少于16枝，‎ 故当天的利润不少于75元的概率为p＝0．16＋0．16＋0．15＋0．13＋0．1＝0．7．…12分 考点：概率的应用；函数解析式的求解及常用方法；众数、中位数、平均数