2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（文科实验班）上学期第二次月考数学试题

2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（文科实验班）上学期第二次月考数学试题

‎2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（文科实验班）上学期第二次月考 数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第二次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.下列说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”‎ B．命题“x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“x∈R，x2﹣x＜0”‎ C．命题“若函数f（x）=x2﹣ax+1有零点，则a≥2或a≤﹣2”的逆否命题为真命题 D．“x=﹣1”是“x2﹣x﹣2=0”的必要不充分条件 ‎2.设命题p：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|2x﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（　　）‎ A．p为假 B．￢q为真 C．p∨q为真 D．p∧q为假 ‎3.已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（　　）‎ A．6 B．0 C．3 D．7‎ ‎4.已知倾斜角为45°的直线l过椭圆+y2=1的右焦点，则l被椭圆所截的弦长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为4，则m的值为（　　）‎ A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣2‎ ‎6.已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．0＜a＜3‎ ‎7.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若=，则直线l的倾斜角θ（0＜θ＜）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知点F是双曲线的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若∠AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）‎ A． B． ‎ C．（2，+∞） D．‎ ‎9.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎10.已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2） ‎ C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）‎ ‎11.设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.已知F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，且=2，则椭圆C的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知命题p：∃x∈R，ax2+2x+1≤0是假命题，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎14.若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于　 　．‎ ‎15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为　 cm时，每瓶饮料的利润最小．‎ ‎16.若椭圆内有一点，又椭圆的左准线的方程为x=-8，左焦点为F，离心率为e，P是椭圆上的动点，则的最小值为 .‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a=0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=4lnx﹣2x2+3ax ‎（1）当a=1时，求f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知椭圆C：，离心率为．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线l1：x=﹣和右准线l2：x=分别与x轴相交于A、B两点，且F1、F2恰好为线段AB的三等分点．‎ ‎（1）求椭圆C的离心率；‎ ‎（2）过点D（﹣，0）作直线l与椭圆相交于P、Q两点，且满足=2，当△OPQ的面积最大时（O为坐标原点），求椭圆C的标准方程．‎ 衡阳八中2017年下期高二年级文科实验班第二次月考数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C C D C A B C C B B A ‎13.a＞1‎ ‎14.9‎ ‎15.1‎ ‎16.7‎ ‎17.命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a=0时，1＞0成立，因此a=0满足题意；当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．‎ 综上可得：0≤a＜4．（3分）‎ 命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a=0，∴△1=1﹣4a≥0，解得．（5分）‎ ‎∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，‎ ‎∴命题p与q必然一真一假．‎ ‎∴或，‎ 解得a＜0或．（8分）‎ ‎∴实数a的取值范围是a＜0或．（10分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.‎ ‎ ‎ ‎（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，‎ 所以．‎ 又函数f（x）在x=1处有极值，‎ 所以即 可得，b=﹣1．（6分）‎ ‎（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），‎ 且（8分）‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎ （0，1）‎ ‎1 ‎ ‎（1，+∞） ‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）（12分）‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎（1）解：∵椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点，‎ ‎∴a=2，b=1，则，‎ ‎∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（4分）‎ ‎（2）证明：如图，‎ 设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，‎ 取x=0，得；（5分）‎ ‎，PB所在直线方程为，‎ 取y=0，得．（6分）‎ ‎∴|AN|=，（7分）‎ ‎|BM|=1﹣．（8分）‎ ‎∴=‎ ‎=﹣==‎ ‎=．（11分）‎ ‎∴四边形ABNM的面积为定值2．（12分）‎ ‎ ‎ ‎20.‎ ‎（1）当a=1时，f（x）=4lnx﹣2x2+3x，‎ 则f′（x）=﹣4x+3，切点坐标为（1，1），‎ 切线斜率k=f′（1）=3，‎ 则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣2；（4分）‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣3ax+m=4lnx﹣2x2+m，‎ 则g′（x）=，‎ ‎∵x∈[，e]，‎ ‎∴由g′（x）=0，得x=1，‎ 当＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，‎ 当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，（6分）‎ 故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m﹣2，‎ g（）=m﹣4﹣，g（e）=m+4﹣2e2，‎ g（e）﹣g（）=8﹣2e2+＜0，‎ 则g（e）＜g（），‎ ‎∴g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上最小值为g（e），（9分）‎ 要使g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上有两个零点，‎ 则满足，‎ 解得2＜m≤4+，‎ 故实数m的取值范围是（2，4+]．（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21.（I）由题意可得e==，‎ ‎+=1，且a2﹣b2=c2，‎ 解得a=，b=1，‎ 即有椭圆的方程为+y2=1；（4分）‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，‎ 即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件；（6分）‎ 设直线l：y=kx+（k≠0），与椭圆方程+y2=1联立，‎ 消去y，可得（1+3k2）x2+9kx+=0，‎ 判别式为81k2﹣4（1+3k2）•＞0，化简可得k2＞，①‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，‎ y1+y2=k（x1+x2）+3=3﹣=，（7分）‎ 由|AM|=|AN|，A（0，﹣1），可得 ‎=，‎ 整理可得，x1+x2+（y1+y2+2）（）=0，（y1≠y2）‎ 即为﹣+（+2）•k=0，（9分）‎ 可得k2=，即k=±，（10分）‎ 代入①成立．‎ 故直线l的方程为y=±x+．（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.（1）焦点F2（c，0），右准线l2：，由题知|AB|=3|F1F2|，‎ 即，即a2=3c2，解得．（5分）‎ ‎（2）由（1）知，得a2=3c2，b2=2c2，可设椭圆方程为2x2+3y2=6c2．‎ 设直线l的方程为，代入椭圆的方程有，，‎ 因为直线与椭圆相交，所以△=48m2﹣4（2m2+3）（6﹣6c2）＞0，‎ 由韦达定理得，，又，所以y1=﹣2y2，‎ 得到，，，得到，‎ 所以，‎ 当且仅当时，等号成立，此时c2=5，代入△满足△＞0，‎ 所以所求椭圆方程为．（12分）‎