2019年高考数学复习大二轮精准提分练习第二篇 第24练
第24练 函数的概念、图象与性质[小题提速练]
[明晰考情] 1.命题角度：以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度.
考点一 函数及其表示
要点重组 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同.
(2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.
1.函数y＝的定义域为( )
A.(－∞，1] B.[－1，1]
C.∪ D.∪
答案 C
解析 函数有意义，则
即
所以函数的定义域为.
2.(2017·山东)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析 若0＜a＜1，由f(a)＝f(a＋1)，
得＝2(a＋1－1)，
∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，
得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解.
综上，f＝6.
故选C.
3.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是__________.
答案 [0，1)
解析 由得0≤x＜1，
∴函数g(x)的定义域为[0，1).
4.函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域为______.
答案 (－2 017，2)
解析 f(x)＝＝
＝2－，
因为ax＞0，所以ax＋1＞1，
所以0＜＜2 019，所以－2 017＜2－＜2，
故函数f(x)的值域为(－2 017，2).
考点二 函数的图象及应用
方法技巧 (1)函数图象的判断方法
①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.
(2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题.
5. 函数f(x)＝·sin x的图象大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f(x)＝·sin x，
∴f(－x)＝·sin(－x)
＝－sin x＝·sin x＝f(x).
∴函数f(x)为偶函数，故排除C，D，
当x＝2时，f(2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合.
6.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|
－时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
∴当x＝－时，g(x)取最小值，
当x＝0时，g(x)＝－1，当x＝1时，g(x)＝e＞0，
直线h(x)＝ax－a恒过定点(1，0)且斜率为a，
故－a＞g(0)＝－1且g＝－3e－1≥－a－a，
解得≤a＜1.
考点三 函数的性质与应用
要点重组 (1)利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.
(2)函数单调性的应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
(3)函数周期性的常用结论：若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝，则2a是函数f(x)的周期.
9.已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)等于( )
A.－2 B.－1 C.0 D.2
答案 D
解析 当x＞时，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.
10.设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f＝f，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝__________.
答案 3－|x＋1|
解析 f(x)的周期T＝2，
当x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，
∴f(x)＝f(x＋2)＝x＋2.
又f(x)为偶函数，
∴当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，f(－x)＝－x＋2，
∴f(x)＝－x＋2；
当x∈[－2，－1]时，x＋2∈[0，1]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋4.
综上，当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.
11.已知偶函数f，当x∈时，f(x)＝＋sin x.设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________.(用“<”连接)
答案 cf(π－1)＝f(1)>f(3)，即c0的解集为( )
A.{x|x>－1}
B.{x|－1－1且x≠0}
D.
答案 D
解析 因为f(4)＝2＋a＝3，所以a＝1.
所以不等式f(x)>0等价于
即x>，或即－10的解集为.
8.已知函数f(x＋2)(x∈R)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝，则f(2 018)等于( )
A.2 018 B.
C. D.0
答案 D
解析 由题意知，f(x＋2)＝－f(－x＋2)，∴f(x)＝－f(－x＋4)，又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，∴f(x)的周期为4，故f(2 018)＝f(2 016＋2)＝f(2)＝f(0)＝0.
9.已知函数f(x)＝＋cos，则f＝________.
答案 1 009
解析 由所给函数知，
f(x)＋f(1－x)＝＋cos＋＋
cos＝1＋cos＋cos＝1，
所以f＝＝1 009.
10.(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________.
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0，0＜x≤，x＞三段讨论.
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，
∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立.
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立.
综上可知，x的取值范围是.
11.已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为______________________.
答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析 当a>0时，a2＋a－[－3(－a)]>0⇒a2－2a>0⇒a>2；当a＜0时，－3a－[(－a)2＋(－a)]<0⇒a2＋2a>0⇒a<－2.综上，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞).
12.能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________.(填序号)
①f(x)＝ex＋e－x；
②f(x)＝ln；
③f(x)＝tan；
④f(x)＝4x3＋x.
答案 ②③④
解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的图象不过原点，故f(x)＝ex＋e－x不是“和谐函数”；②中，f(0)＝ln＝ln 1＝0，f(x)的定义域为(－5，5)，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(x)＝ln为“和谐函数”；③中，f(0)＝tan 0＝0，f(x)的定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)为奇函数，故f(x)＝tan为“和谐函数”；④中，f(0)＝0，且f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，故f(x)＝4x3＋x为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”.
