高考真题——文科数学全国大纲版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试大纲版卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则中元素的个数为（ ） ‎ ‎（A）2 （B）3 （C）5 （D）7‎ ‎2．已知角的终边经过点，则（ ） ‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎3．不等式组的解集为（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎5．函数的反函数是（ ） ‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎6．已知为单位向量，其夹角为，则（ ） ‎ ‎（A） （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎7．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ） （A）60种 （B）70种 （C）75种 （D）150种 ‎8．设等比数列的前项和为，若，，则（ ） ‎ ‎（A）31 （B）32 （C）63 （D）64‎ ‎9．已知椭圆：的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎11．双曲线：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于( ) （ ） （A）2 （B） （C）4 （D）‎ ‎12．奇函数的定义域为，若为偶函数，，则 （ ） （A） （B） （C）0 （D）1‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．的展开式中的系数为 。（用数字作答）‎ ‎14．函数的最大值为 。‎ ‎15．设满足约束条件，则的最大值为 。‎ ‎16．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于 。‎ 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）数列满足，，。⑴设，证明是等差数列；⑵求数列的通项公式。‎ ‎18．（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，已知，，求。‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，。⑴证明：；⑵设直线 与平面的距离为，求二面角的大小。‎ ‎20．（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为，各人是否需使用设备相互独立。⑴求同一工作日至少3人需使用设备的概率；⑵实验室计划购买台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于”的概率小于，求的最小值。‎ ‎21．（本小题满分12分）函数。⑴讨论函数的单调性；⑵若函数在区间是增函数，求的取值范围。‎ ‎22．（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且。⑴求的方程；⑵过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相较于两点，且四点在同一圆上，求的方程。‎ ‎2014年普通高校招生全国统考数学试卷全国大纲版卷解答 一．BDCBD BCCAA CD 二．13．；14．；15．5；16．‎ ‎17．解：⑴由题得，即。又，所以是首项为1，公差为2的等差数列；‎ ⑵由⑴得，即。于是当时，‎ ‎。又，故 的通项公式为。‎ ‎18．解：由题设和正弦定理得，故。因，故，即，有。又，故。‎ ‎19．解：⑴平面，平面，故平面平面。又，故平面。连结，因侧面为菱形，故。由三垂线定理得；‎ ⑵平面，平面，故平面平面。作，为垂足，则平面。又直线平面，因而为直线与平面的距离，。因为的角平分线，故。作，为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角。由得为的中点，，。故二面角为。‎ ‎20．解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备；表示事件：同一工作日4人需使用设备；表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于。⑴因，，，故；‎ ⑵由⑴知，若，则。又，故；若，则。所以的最小值为3。‎ ‎21．解：⑴，其判别式。①若，则，当且仅当，时取等号。故此时在上是增函数；②故当时，‎ 有两个根：。若，则当或时，，故在，上是增函数；当时，，故在上是减函数；若，则当或时，，故在，上是减函数；当时，，故在上是增函数； ‎ ⑵当，时，，所以当时，在区间是增函数。若时，在区间是增函数当且仅当且，解得。综上，的取值范围是。‎ ‎22．解：⑴设，代入得，故，。由题设得，解得（舍去）或，故；‎ ⑵由题设知与坐标轴不垂直，故可设：，代入得。设，则，。故的中点为，。又的斜率为，故的方程为，代入得。设，则，。故的中点为，。由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而，即，化简得，解得。所以直线的方程为或。‎