北京市西城区外国语学校2020届高三上学期期中考试数学试题

北京市西城区外国语学校2020届高三上学期期中考试数学试题

‎2019北京西城外国语高三(上)期中 数学 本试卷共4页，分第I卷和第II卷，其中第I卷40分，第II卷110分，全卷共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，B＝，则A∩B=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 又 所以 故答案选 考点：集合间的运算．‎ ‎2.设向量，则的模长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量加法的坐标公式，得到的坐标，再利用向量模长的坐标公式即得解.‎ ‎【详解】因为向量 故选：C ‎【点睛】本题考查了向量加法、模长的坐标公式，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.‎ ‎3.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在上是单调减函数，在是单调减函数，在上是单调增函数，在不是单调函数，是幂函数，它在上是单调增函数，故选D．‎ ‎4.已知数列的前项和为，已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用项和关系，代入即得解.‎ ‎【详解】利用项和关系，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎5.将函数的图象作如下哪种变换，可以得到函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 C. 向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 D. 向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图像的变换规律，即可得解.‎ ‎【详解】由题意：向左平移个单位长度得到再将横坐标缩短为原来倍得到.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图像变换，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.‎ ‎6.设是两个实数，则“”是 “”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数，的单调性判定两个条件的互推关系，即得解.‎ ‎【详解】由幂函数的性质，函数在R上单调递增，因此若，则；函数在R上单调递增，因此若，则，因此“”是 “”的充分必要条件.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎7.函数的零点个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，判断此函数的零点的个数的问题可转化为两个函数的交点个数结合两个函数的图像得出两个函数图像的交点个数问题，即得解.‎ ‎【详解】函数的零点个数，即两个函数的交点个数，‎ 由图像知，两个函数仅有一个交点.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了函数的零点个数判定问题，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于基础题.‎ ‎8.定义在上的偶函数在上单调递减且，则满足的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由偶函数性质，结合函数的单调性，，即得解.‎ ‎【详解】根据题意，函数为偶函数，则，又在上单调递减，‎ 则：‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，不等式的综合应用，考查了学生综合分析，转化，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎9.已知函数，，的图象如图所示，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由图象有,所以最小,对于,看图象有,所以对于,看图象有,所以,故,选C.‎ 考点：基本初等函数的图象.‎ ‎10.设 记不超过的最大整数为,令{x}=x-[x]，则{ }，[], （ ）‎ A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为{}，[]=1，所以,‎ ‎ ,即成等比数列但不成等差数列,选B.‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.计算__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数幂，对数运算律即得解.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:4‎ ‎【点睛】本题考查了指数幂，对数的运算律，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎12.已知角的终边经过点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，则.‎ ‎13.数列中，，则_____________________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，用叠加法，可得的通项公式，即得解.‎ ‎【详解】在数列中，‎ ‎……‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用叠加法求数列的通项公式，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎14.已知正方形边长为是线段的中点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件，将进行拆分，根据向量加法原则及几何意义，可将其转化为，即得解.‎ ‎【详解】由题意可得：；‎ 故：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了学生对平面向量的应用，向量的加法，数量积等知识点，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎15.在中，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知条件，由余弦定理求解边，再利用面积公式，即得解.‎ ‎【详解】利用余弦定理：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎16.已知函数的定义域为，，，若此函数同时满足：‎ ‎①当时，有；②当时，有，则称函数为函数．在下列函数中：‎ ‎①；②；③是函数的为__________．（填出所有符合要求的函数序号）‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ 对于①，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又，所以为增函数，因此当，即时，有，故．因此函数函数．‎ 对于②，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又，所以为增函数，因此当，即 时，有，故．因此函数函数．‎ 对于③，函数为奇函数，当，即时，有，所以．又函数在定义域上没有单调性，因此不能由，得到．因此函数不是函数．‎ 综上①②是函数 答案：①②‎ 点睛：‎ 本题为新概念问题，在给出了“函数”概念的基础上考查学生的理解、运用能力．解答此类问题的关键是对所给概念的理解，并从中抽取出解题的方法及要求，然后通过对所给问题的分析，达到求解的目的．对于本题中给出的“函数”，实际上就是在定义域上单调递增的奇函数，解题时要注意这一点．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等差数列，是等比数列，且，，，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式； ‎ ‎（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，可得，所以，‎ 又由，所以，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由题意知，‎ 则数列的前项和为 ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（3）设点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，求的值.‎ ‎【答案】(1) ;‎ ‎(2) 函数的最小正周期,单调递增区间为：;‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式和辅助角公式可得，计算即得解；‎ ‎（2）利用周期公式可得最小正周期，令可得单增区间；‎ ‎（3）过点B作线段BC垂直于x轴于点C，由题意得，由题意可得解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎.‎ ‎（2）由周期公式可得：‎ 所以函数的最小正周期.‎ 由可解得：‎ 所以函数的单调递增区间为：.‎ ‎（3）过点B作线段BC垂直于x轴于点C，由题意得 ‎.‎ ‎【点睛】本题是三角函数综合题，考查了二倍角公式，辅助角公式，正弦型函数得周期，单调性等，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（3）若对所有都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）当时， ；当时，；当时， ；‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数得导数，分别计算，求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数得导数，解关于导函数得不等式，分别求出单调区间即可；‎ ‎（3）转化为函数得最小值问题，求出a得范围即可.‎ ‎【详解】（1），当时，‎ 因此函数在点处的切线方程为: .‎ ‎（2）令 令在单调递增；‎ 令在单调递减.‎ ‎（i）当即时，在区间单调递增，因此；‎ ‎（ii）当即时，在区间单调递减，单调递增，因此；‎ ‎（iii）当即时，在区间单调递减，因此；‎ ‎（3）对所有都有，即；‎ ‎（i）当即时，在区间单调递增，因此；‎ ‎，综上：；‎ ‎（ii）当即时，在区间单调递减，单调递增，因此，即，综上：‎ 因此：.‎ ‎【点睛】本题是函数与导数综合问题，考查了导数在切线，单调性，不等式恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于较难题.‎ ‎20.如图，是边长为等边三角形，点在边的延长线上，且，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）1；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）中使用余弦定理，即得解；‎ ‎（2）中使用正弦定理，即得解；‎ ‎【详解】（1）中有余弦定理：‎ ‎（2）中有正弦定理：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎21.某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量 ‎（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得的值；（Ⅱ） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）因为时，，所以，故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而 于是，当变化时，的变化情况如下表：‎ 由上表可得，是函数在区间内极大值点，也是最大值点.‎ 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42‎ 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数在区间存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，当对于任意恒成立时，的最大值为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时， 在R 上单调递增；‎ 当时，在单调递减，单调递增.‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），对a分类讨论，即得解；‎ ‎（2）由（1）单调性的分析，即得解；‎ ‎（3）转化为恒成立，利用导数分析函数单调性，得到，即得解.‎ ‎【详解】（1）因为，所以所 当时，在R 上单调递增；‎ 当时，令得；令得 因此，在单调递减，单调递增.‎ ‎（2）由（1）当时，无极值；‎ 当时，在单调递减，单调递增，函数在区间存在极值，则.‎ 因此：.‎ ‎（3），即对于任意恒成立，‎ 所以 令 因为m的最大值为1，‎ 所以恒成立 由于 恒成立，因此在单调递增，‎ 因此 ‎【点睛】本题是函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化，数学运算能力，属于难题.‎