2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（讲）（解析版）

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1.定点问题 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。‎ ‎【例】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1,2)为抛物线C上一点。‎ ‎(1)求抛物线C的方程。‎ ‎(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2，‎ 求证：直线PQ过定点。‎ ‎【解析】(1)若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1,2)，‎ 可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x。‎ 若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1,2)，‎ 可得m＝，所以抛物线方程为x2＝y。‎ 综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝y。‎ ‎(2)证明：因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x。‎ 易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)，将直线BP的方程代入 y2＝4x，消去y，得k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0。设P(x1，y1)，则x1＝，‎ 所以P。用－替换点P坐标中的k，可得Q((k－1)2，2－2k)，从而直线PQ的斜率为 ‎＝＝，‎ 故直线PQ的方程是y－2＋2k＝[x－(k－1)2]。‎ 在上述方程中，令x＝3，解得y＝2， 所以直线PQ恒过定点(3,2)。‎ ‎【例】【河北省张家口市2019届高三上期末】已知点是圆：上一动点，线段与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程；‎ ‎(2)设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点(点与，不重合)，直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点.‎ ‎【答案】(1)(2)见证明 ‎【解析】(1)设点，.当时，易得；‎ 当时，有，所以.又，所以.代入的方程，‎ 得，即. ‎ ‎(2)证明：设直线，的斜率分别为，，记.则 ，.‎ 直线的方程为，所以.直线的方程为，所以.‎ 以为直径的圆的方程为.‎ 整理，得 .‎ 令解得或所以以为直径的圆过定点，.‎ ‎【例】 【四川省2020届高三大联考】如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点作于点，的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)过点作直线交曲线于两点，点在上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】(1)设，由题可知，所以，即，‎ 化简整理得，即曲线的方程为.‎ ‎(2)由已知可得直线的斜率不为0，∴可设直线的方程为，‎ 联立方程组消去得，恒成立，‎ 记，则，则，‎ ‎∴直线的斜率为，直线的方程为，‎ 即，又，‎ ‎∴直线的方程为，∴直线过定点.‎ ‎2.定值问题 定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.‎ ‎【例】【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上期末】已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线经过点且与椭圆相交于，两点(异于点)，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析 ‎【解析】(1)∵椭圆经过点，∴.又∵，∴.‎ 椭圆的标准方程为：.‎ ‎(2)若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意.‎ 设直线的方程为，即.‎ 联立，得 .‎ 设，，则 ‎ ‎ .‎ ‎∴为定值，且定值为1.‎ ‎【例】在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)设()为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)解法1 ：设M的坐标为，由已知得，‎ 易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.‎ 化简得曲线的方程为．‎ 解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．‎ ‎(Ⅱ)当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切的直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 ‎.于是整理得 ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 ‎ ②，由得 ③‎ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 ‎ ④，同理可得 ⑤‎ 于是由②，④，⑤三式得 ‎.所以当P在上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400．‎ ‎【例】【2020届四川省绵阳南山中学高三二诊】已知椭圆的焦距为，且经过点.过点的斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点，直线交轴于点.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2)试问： 是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】(1)由已知得， ，∴， ，所以椭圆方程为 设直线的方程为，与椭圆联立得.‎ 由得，所以.‎ ‎(2)令， ，则，则， .‎ 由中，令得，即.‎ 设直线的方程为，令得.‎ 将， 代入上式得：‎ ‎ ‎ 所以，为定值.‎ ‎3.探索性问题 解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:‎ ‎(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).‎ ‎(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.‎ ‎(3)得出结论.‎ ‎【例】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝。‎ ‎(1)求抛物线的方程。‎ ‎(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(1＋p)，x1x2＝1。因为|AB|＝，‎ 所以＝，所以121p2＋242p－48＝0，所以p＝或p＝－(舍去)。‎ 故抛物线的方程为y2＝x。‎ ‎(2)设弦AB的中点为D，则D。假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0)。‎ 因为△ABC为正三角形，所以CD⊥AB，所以x0＝，所以C，所以|CD|＝。‎ 又|CD|＝|AB|＝，故矛盾，所以x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形。‎ ‎【例】一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，‎ 带动N绕转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程；‎ ‎(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)设点，，依题意，‎ ‎，且，‎ 所以，且 即，且．‎ 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，‎ 即所求的曲线的方程为．‎ ‎(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．‎ ‎(2)当直线的斜率存在时，设直线， ‎ 由 ，消去，可得．‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即． ①‎ 又由 可得；同理可得．‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎．②‎ 将①代入②得，．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号．所以当时，的最小值为8．‎ 综合(1)(2)可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．‎ ‎【例】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎(Ｉ)求的方程；‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且 ‎？证明你的结论。‎ ‎【解析】(Ｉ)设的焦距为,由题可得,从而,‎ 因为点在双曲线上,所以,‎ 由椭圆的定义可得,‎ ‎ ,所以的方程为.‎ ‎(Ⅱ)不存在符合题设条件的直线.‎ ‎(1)若直线垂直于轴 ,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,‎ 当时,易知所以,‎ 此时.当时,同理可得.‎ ‎(2)当直线不垂直于轴,设的方程为,由 ‎ 可得,当与相交于两点时,‎ 设,则满足上述方程的两个实根,从而,‎ 于是,由可得 ‎,因为直线与只有一个公共点，‎ 所以上述方程的判别式,化简可得，‎ 因此，‎ 于是,即,‎ 所以, 综合(i)(ii)可知，不存在符合题目条件的直线．‎ ‎【例】【湖北省宜昌市2020届高三调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)存在直线：或合题意.‎ ‎【解析】(1)∵，，且有， 解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为. ‎ ‎(2)由题可知的斜率一定存在，设为，设，，‎ 联立 ∴ ‎ ‎∵，∴为线段的中点， ∴ ……④ ‎ 将④代入②解得 ……⑤ 将④代入③得 ……⑥‎ 将⑤代入⑥解得 ……⑦ 将⑦式代入①式检验成立， ‎ ‎∴，即存在直线：或合题意.‎ ‎【反思提升】‎ ‎1、探索性问题：此类问题一般分为探究条件、探究结论两种。若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论。‎ ‎2.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:‎ ‎(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.‎ ‎(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.‎ ‎(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.‎ ‎3、求定值问题常用的方法有两种 ‎(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。‎ ‎(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。‎ ‎4、求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。‎