【数学】辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试试题（解析版）

【数学】辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试试题（解析版）

辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年 高二下学期开学测试试题 一、单选题 ‎1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)‎ A．26 B．27‎ C．7 D．8‎ ‎4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)‎ A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 ‎5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数 A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变 ‎6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）‎ A． B．与是的最大值 C． D．‎ ‎8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．9 B．15 C．18 D．36‎ ‎9．在数列中，已知对任意，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知函数，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．下列关于求导叙述正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 ‎13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.‎ 以上结论正确的是__________．‎ ‎14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．‎ ‎16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ 三、解答题 ‎17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.‎ ‎（1）求，的通项公式 ‎（2）设，数列的前项和为，求；‎ ‎（3）设，其中,求 ‎18．已知等差数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求证：数列是等差数列.‎ ‎19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．‎ ‎（1）证明：函数与不存在“点”；‎ ‎（2）若函数与存在“点”，求实数的值 ‎20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（I）求和的值.‎ ‎（II）求函数的解析式.‎ ‎21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.‎ ‎（1）求展开式中的系数；‎ ‎（2）求展开式中系数绝对值最大的项；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. ‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ 参考答案 一、单选题 ‎1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)‎ A．26 B．27‎ C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)‎ A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 ‎【答案】C ‎5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数 A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变 ‎【答案】A ‎6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）．‎ A． B．与是的最大值 C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A．9 B．15 C．18 D．36‎ ‎【答案】C ‎9．在数列中，已知对任意，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎10．下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎11．已知函数，则（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎12．下列关于求导叙述正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B 二、填空题 ‎13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.‎ 以上结论正确的是__________．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎ ①因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，‎ ‎∴令x=y=1,得f(1)=0，故①错误，‎ ‎②令x=y=−1,得f(−1)=0；‎ 令y=−1,有f(−x)=−f(x)+xf(−1)，‎ 代入f(−1)=0得f(−x)=−f(x)，‎ 故f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确，‎ ‎③若 (n∈N∗)，‎ 则 ‎.为常数.‎ 故数列{}为等差数列，故③正确，‎ ‎④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，‎ ‎∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎…‎ 则，‎ 若n∈N∗)，‎ 则为常数，‎ 则数列{}为等比数列，故④正确，‎ 故答案为②③④．‎ ‎14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．‎ ‎【答案】1440‎ ‎【详解】‎ 解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，‎ ‎∴采用插空法来解，‎ 先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，‎ 再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，‎ 根据分步计数原理知共有种结果，‎ 故答案为：1440．‎ ‎16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)‎ ‎【答案】1260.‎ 三、解答题 ‎17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.‎ ‎（1）求，的通项公式 ‎（2）设，数列的前项和为，求；‎ ‎（3）设，其中,求 ‎【答案】（1），；（2）；（3）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，‎ ‎，由，得，，解得，则.‎ 由，得，解得，则；‎ ‎（2），‎ ‎；‎ ‎（3）由，其中 可得，‎ ‎，‎ 其中，‎ 设，‎ 则，‎ 两式相减得 整理得，‎ 则，‎ ‎．‎ ‎18．已知等差数列前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求证：数列是等差数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，则，解得，‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ 从而（常数），所以数列是等差数列.‎ ‎19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．‎ ‎（1）证明：函数与不存在“点”；‎ ‎（2）若函数与存在“点”，求实数的值 ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数，则．‎ 由且，得 ‎ ‎，此方程组无解， ‎ 因此，与不存在“”点． ‎ ‎（2）函数，， ‎ 则． ‎ 设为与的“”点，由且，得 ‎，即，（*） ‎ 得，即，则．‎ 当时，满足方程组（*），即为与的“”点．‎ 因此，的值为．‎ ‎20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.‎ ‎（I）求和的值.‎ ‎（II）求函数的解析式.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可． （2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．‎ 详解：‎ ‎（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．‎ 故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．‎ 得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．‎ ‎（2）∵f（x）过点P（0，2）‎ ‎∴d=2‎ ‎∵f（x）=x3+bx2+cx+d ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6‎ 又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1‎ 联立方程得 故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2‎ ‎21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.‎ ‎（1）求展开式中的系数；‎ ‎（2）求展开式中系数绝对值最大的项；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，‎ 通项，‎ 令，解得，‎ 展开式中的系数为.‎ ‎（2）设第项系数的绝对值最大，‎ 则，所以，‎ 系数绝对值最大的项为.‎ ‎（3）原式.‎ ‎22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. ‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）所有可能的取值为 ‎；；‎ ‎；. ‎ 的分布列为 数学期望.‎ ‎（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生 即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况