数学卷·2017届广东省揭阳市普宁一中高三下学期摸底数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2017届广东省揭阳市普宁一中高三下学期摸底数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三（下）摸底数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．设集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（　　）‎ A． B．（3，+∞） C． D．（，3）‎ ‎2．已知命题p：∀x≥0，2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧￢q D．￢p∨q ‎3．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）‎ A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）‎ ‎5．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（　　）‎ A．（﹣，）p B．（﹣，）p C．（﹣，）pp D．（﹣，）p ‎6．已知函数f（x）=ex﹣（x+1）2（e为自然对数的底数），则f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．8 C．9 D．10‎ ‎8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（　　）‎ A．36π B．30π C．24π D．15π ‎9．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）‎ ‎10．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截圆M：（x﹣1）2+y2=1所得弦长为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）‎ A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）处的切线方程为　　．‎ ‎14．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．‎ ‎15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为　　．‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎18．（12分）雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；‎ ‎（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．‎ ‎（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex，g（x）=ax+b，（a，b∈R）‎ ‎（1）讨论函数y=f（x）+g（x）的单调区间；‎ ‎（2）如果，求证：当x≥0时，．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）‎ ‎（1）证明：f（x）≥4；‎ ‎（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三（下）摸底数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1．设集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}，B={x|y=lg（2x﹣3）}，则A∩B=（　　）‎ A． B．（3，+∞） C． D．（，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|（x﹣3）（x﹣1）＞0}={x|x＜1或x＞3}，‎ B={x|y=lg（2x﹣3）}={x|x＞}，‎ ‎∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：∀x≥0，2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧￢q D．￢p∨q ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题p：：∀x≥0，2x≥1为真命题，‎ 命题q：若x＞y，则x2＞y2为假命题，（如x=0，y=﹣3），‎ 故￢q为真命题，‎ 则p∧￢q为真命题．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查命题真假的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，‎ ‎②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分两步来判断：‎ ‎①当α∥β时，‎ ‎∵a⊥α，且α∥β，‎ ‎∴a⊥β，又∵b⊂β，‎ ‎∴a⊥b，‎ 则a⊥b是α∥β的必要条件，‎ ‎②若a⊥b，不一定α∥β，‎ 当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，‎ 即a⊥b不是α∥β的充分条件，‎ 则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．‎ ‎　‎ ‎4．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（　　）‎ A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3） B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3） C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π） D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间[0，+∞）上，然后利用函数的单调性比较大小关系．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，‎ ‎∴f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．‎ ‎∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，‎ ‎∴f（π）＞f（3）＞f（2），‎ 即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小．‎ ‎　‎ ‎5．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（　　）‎ A．（﹣，）p B．（﹣，）p C．（﹣，）pp D．（﹣，）p ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，‎ 当k=0时，可得函数在区间（﹣，）单调递增．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的增区间，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）=ex﹣（x+1）2（e为自然对数的底数），则f（x）的大致图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项．‎ ‎【解答】解：f'（x）=ex﹣2（x+1）=0，‎ 相当于函数y=ex和函数y=2（x+1）交点的横坐标，画出函数图象如图 由图可知﹣1＜x1＜0，x2＞1，且x＞x2时，f'（x）＞0，递增，‎ 故选C ‎【点评】考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置．‎ ‎　‎ ‎7．设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（　　）‎ A．2 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】基本不等式；等比数列的性质．‎ ‎【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为5+，利用基本不等式就可得出其最小值．‎ ‎【解答】解：因为4a•2b=2，所以2a+b=1，‎ ‎，‎ 当且仅当即时“=”成立，‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题是基础题．本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力和计算能力．‎ ‎　‎ ‎8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（　　）‎ A．36π B．30π C．24π D．15π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，代入圆锥的表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个圆锥，‎ 底面半径r=4，母线长l=5，‎ 故圆锥的表面积S=πr（r+l）=36π，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，空间几何体的三视图，难度中档．‎ ‎　‎ ‎9．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）‎ C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．‎ ‎【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），‎ 当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．‎ 所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．‎ 由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，‎ 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），‎ 故选D．‎ ‎【点评】解决此类问题的关键是熟悉函数的单调性与导数的关系，以及掌握读图与识图的技巧再结合不等式的解法即可得到答案．‎ ‎　‎ ‎10．设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用指数函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截圆M：（x﹣1）2+y2=1所得弦长为，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，运用弦长公式可得c=2b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：圆M：（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，‎ 双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，‎ 即有圆心到渐近线的距离d==，‎ 由弦长公式可得2=，‎ 化为c=2b，由c2=a2+b2，‎ 可得c=a，即e==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的连线的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查圆的弦长公式的运用，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）‎ A．8＜＜16 B．4＜＜8 C．3＜＜4 D．2＜＜3‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=g（x）=，h（x）=，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜＜8．‎ ‎【解答】解：令g（x）=，‎ 则g′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，‎ ‎∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，‎ 即有g（x）在（0，+∞）递减，可得 g（2）＜g（1），即＜，‎ 由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；‎ 令h（x）=，h′（x）==，‎ ‎∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，‎ ‎∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，‎ 即有h（x）在（0，+∞）递增，可得 h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．‎ 即有4＜＜8．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=，h（x）=，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每题5分）‎ ‎13．f（x）=x3+x﹣8在（1，﹣6）处的切线方程为　4x﹣y﹣10=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3+x﹣8的导数为f′（x）=3x2+1，‎ 可得切线的斜率为k=3+1=4，‎ 即有切线的方程为y+6=4（x﹣1），‎ 化为4x﹣y﹣10=0．‎ 故答案为：4x﹣y﹣10=0．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求出导数和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图知该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由三视图知该几何体的直观图为：‎ 即从四棱锥P﹣ABCD中挖去了一个半圆锥所得的组合体，‎ ‎∵四棱锥P﹣ABCD底面是边长为2的正方形、高为2，圆锥底面圆的半径是1、高为2，顶点是P，‎ ‎∴所求的体积V=‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为　36　．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，根据分步计数原理，求得不同分法的种数 ‎【解答】‎ 解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有种方法，‎ 再把这3部分人分到3个为车间，有种方法，‎ 根据分步计数原理，不同分法的种数为•=36，‎ 故答案为 36．‎ ‎【点评】本题考查的是分类计数问题问题，把计数问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc，，，则b+c的取值范围是　（，）　．‎ ‎【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】利用b2+c2﹣a2=bc，代入到余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，再利用正弦定理求得b、c，利用两角和差的正弦公式化简b+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域，求得b+c 的范围．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，B+C=．‎ ‎∵，∴∠B为钝角．‎ ‎∵，由正弦定理可得=1==，‎ ‎∴b+c=sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB+sinB ‎=sinB+cosB=sin（B+），‎ ‎∵B∈（，），∴B+∈（，），∴sin（B+）∈（，），‎ ‎∴b+c 的范围为，‎ 故答案为：（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2016春•苏州期末）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即可求数列的通项公式；‎ ‎（2）利用分组求和的方法求解数列的和，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求解数列的和．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d===3．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为：an=3n；‎ 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，由题意得：‎ q3===8，解得q=2．‎ ‎∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．‎ 从而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为：bn=3n+2n﹣1；‎ ‎（2）由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．‎ 数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n﹣1}的前n项和为=2n﹣1．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，考查了利用分组求和的方法求解数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•河北模拟）雾霾影响人们的身体健康，越来越多的人开始关心如何少产生雾霾，春节前夕，某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度，随机采访了50人，将凋查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎（1）以赞同人数的频率为概率，若再随机采访3人，求至少有1人持赞同态度的概率；‎ ‎（2）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）先求出赞同人数的概率，由此能求出至少有1人持赞同态度的概率．‎ ‎（2）依题意得X=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（1）随机采访的50人中，赞成人数有：4+6+12+7+3+3=35人，‎ ‎∵以赞同人数的频率为概率，∴赞同人数的概率p1==，‎ ‎∴至少有1人持赞同态度的概率p=1﹣（1﹣）3=0.973．‎ ‎（2）从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，‎ 记选中的4人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为X，‎ 依题意得X=0，1，2，3，‎ P（X=0）==，‎ P（X=1）=+=，‎ P（X=2）=•=，‎ P（X=3）=•=，‎ ‎∴X的分布列是：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∴X的数学期望EX=+3×=．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•白银模拟）正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上且不与E，C重合．‎ ‎（Ⅰ）当点M是EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎（Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得 ‎，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．‎ ‎（II）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．可得四边形ABOD是平行四边形，由于AD⊥DC，可得四边形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=EM．M为EC的中点，利用三棱锥的体积计算公式可得VM﹣BDE=VB﹣DEM=．‎ ‎【解答】（I）证明：取ED的中点N，连接MN．‎ 又∵点M是EC中点．‎ ‎∴MN∥DC，MN=．‎ 而AB∥DC，AB=DC．‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形．‎ ‎∴BM∥AN．‎ 而BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，‎ ‎∴BM∥平面ADEF．‎ ‎（Ⅱ）取CD的中点O，过点O作OP⊥DM，连接BP．‎ ‎∵AB∥CD，AB=CD=2，‎ ‎∴四边形ABOD是平行四边形，‎ ‎∵AD⊥DC，‎ ‎∴四边形ABOD是矩形．‎ ‎∴BO⊥CD．‎ ‎∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，‎ ‎∴ED⊥平面ADCB．‎ ‎∴平面CDE⊥平面ADCB．‎ ‎∴BO⊥平面CDE．‎ ‎∴BP⊥DM．‎ ‎∴∠OPB是平面BDM与平面ABF（即平面ABF）所成锐二面角．‎ ‎∵cos∠OPB=，∴sin∠OPB=．‎ ‎∴=，解得BP=．‎ ‎∴OP=BPcos∠OPB=．‎ ‎∴sin∠MDC==．‎ 而sin∠ECD==．‎ ‎∴DM=MC，同理DM=EM．‎ ‎∴M为EC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D ‎∴AD⊥平面CDE．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，‎ ‎∴VM﹣BDE=VB﹣DEM==．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的作法与应用、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•河南模拟）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；‎ ‎（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径 的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，‎ ‎∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，‎ ‎∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，‎ 则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，‎ 故所求椭圆方程为+y2=1；‎ ‎（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），‎ 将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，‎ ‎∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0‎ ‎∴，‎ 设S（x1，y1），T（x2，y2）则，‎ 当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．‎ 当t≠0时 得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，‎ ‎∴，，‎ 将上式代入椭圆方程得：，‎ 整理得：‎ 由知0＜t2＜4，‎ 所以t∈（﹣2，2）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•普宁市校级月考）已知函数f（x）=ex，g（x）=ax+b，（a，b∈R）‎ ‎（1）讨论函数y=f（x）+g（x）的单调区间；‎ ‎（2）如果，求证：当x≥0时，．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）先求导，再分类讨论，利用导数和函数单调性关系即可求出，‎ ‎（2）原不等式等价于（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，再构造函数，利用函数和最值得关系即可证明 ‎【解答】解：（l）y=f（x）+g（x）=ex+ax+b，x∈R，y'=ex+a，‎ 若a≥0，则y'＞0所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），‎ 若a＜0，令y'＞0，得x＞ln（﹣a），令y'＜0，得x＜ln（﹣a），‎ 所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为（ln（﹣a），+∞），单调减区间为（﹣∞，ln（﹣a））‎ ‎（2）当，x≥0时，‎ 要证，‎ 即证，‎ 即证e﹣x（ax+1）+x≥ax+1，‎ 即证（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，‎ 设h（x）=（e﹣x﹣1）（ax+1）+x，则h（0）=0，h'（x）=e﹣x（a﹣1﹣ax）+1﹣a，‎ 下证ex≥x+1，令ϕ（x）=ex﹣x﹣1，则ϕ'（x）=ex﹣1，‎ 当x∈（﹣∞，0）时，ϕ'（x）＜0；‎ 当x∈（0，+∞）时，ϕ'（x）＞0，‎ 所以[ϕ（x）]min=ϕ（0）=0，‎ 所以ex≥x+1，即﹣x≥1﹣ex，‎ 所以h'（x）=e﹣x（a﹣1﹣ax）+1﹣a≥e﹣x[a﹣1+a（1﹣ex）]+1﹣a=e﹣x（2a﹣1）+1﹣2a=（e﹣x﹣1）（2a﹣1）≥0，‎ 所以h（x）在[0+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=0，‎ 所以当x≥0时，．‎ ‎【点评】本题是一道导数的综合题，考查了函数单调性和导数之间的关系以及，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2017•武侯区校级模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求a的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；‎ ‎（2）由|PM|=|t1|，|MN|=|t1﹣t2|，|PN|=|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρsin2θ=2acosθ，可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，它的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；‎ ‎，消去t，可得x﹣y﹣2=0，‎ 直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0． 4分 ‎（Ⅱ）将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得 t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）‎ ‎△=8a（4+a）＞0．‎ 设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．‎ 则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．‎ 由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．‎ 由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有 ‎（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．‎ 因为a＞0，所以a=1． 10分 ‎【点评】本题考查参数方程与极坐标的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2017春•普宁市校级月考）设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）‎ ‎（1）证明：f（x）≥4；‎ ‎（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．‎ ‎【考点】带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．‎ ‎（2）若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m＞0．‎ ‎【解答】（1）证明：∵f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|（x﹣）﹣（x+m）|‎ ‎=|﹣﹣m|=+m（m＞0）‎ 又m＞0，则+m≥4，当且仅当m=2取最小值4．‎ ‎∴f（x）≥4；‎ ‎（2）解：若f（2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，‎ 即有|2﹣|＞3﹣m，‎ 即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．‎ 由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，‎ 解得m＞或m＞4或0＜m＜1．‎ 故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查绝对值函数的最值，注意去绝对值的方法，考查基本不等式的运用，以及绝对值不等式的解法和二次不等式的解法，属于中档题．‎