2017-2018学年北京市东城区高二下学期期末考试数学试题（理科） Word版

2017-2018学年北京市东城区高二下学期期末考试数学试题（理科） Word版

北京市东城区2017－2018学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）‎ 本试卷共100分。考试时长120分钟。‎ 第一部分（选择题 共36分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知复数，互为共轭复数，若，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 2. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤：‎ ‎ ①对所求出的回归直线方程作出解释；‎ ‎ ②收集数据（，），i=1，2，…，n；‎ ‎ ③求线性回归方程；‎ ‎ ④选用线性回归方程并求相关系数；‎ ‎ ⑤根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系。‎ ‎ 若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是 A. ①②⑤③④ B. ③②④⑤① C. ②④③①⑤ D. ②⑤④③①‎ ‎3. 等于 A. B. C. D. 1‎ ‎4. 若随机变量，且，，则 A. B. C. D. ‎ ‎5. 下面几个推理过程是演绎推理的是 A. 在数列中，根据，，计算出，,的值，然后猜想的通项公式 ‎ B. 某校高二共8个班，一班51人，二班52人，三班52人，由此推测各班人数都超过50人 ‎ C. 因为无限不循环小数是无理数，而是无限不循环小数，所以是无理数 D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 ‎6. 6将一枚均匀的硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现次正面的概率，那么k的值为 ‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎7. 在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图是正态分布，，相应的曲线，那么，，的大小关系是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 现有五张卡片，其中两张上写着数字5，三张上写着数字8，从这五张卡片中选出四张组成一个四位数，那么这样的四位数共有 ‎ A. 4个 B. 6个 C. 10个 D. 14个 ‎10. 已知，，则 A. f（n）共有n项，当n=2时，‎ B. f（n）共有项，当n=2时，‎ C. f（n）共有项，当时，‎ D. f（n）共有项，当时，‎ ‎11. 已知函数f（x）的导函数是二次函数，且的图象关于y轴对称，‎ ‎，若的极大值与极小值之和为4，则f（0）=‎ A. 2 B. 0 C. －2 D. －4‎ ‎12. 如图所示，一质点P（x,y）在平面上沿曲线从A到B作匀速运动，其在x轴上的投影点Q（x，0）的运动速度的图象大致为 第二部分（非选择题 共64分）‎ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13. 学校食堂在某天中午备有5种素菜，3种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐____________种。‎ ‎14. 在复平面内，若复数z同时满足下列条件：‎ ‎①；‎ ‎②对应的点在第三象限。‎ 试写出一个满足条件的复数z=_________。‎ ‎15. 曲线（t为参数，）与x轴的交点坐标是_____________。‎ ‎16. 在的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则n=________；展开式中的常数项为____________。‎ ‎17. 观察下列等式：1=1；‎ ‎1－4=－（1+2）；‎ ‎1－4+9=1+2+3；‎ ‎1－4+9－16=－（1+2+3+4）‎ ‎……‎ 根据上述规律，第6个式子为____________；第n个式子为___________。‎ ‎18. 若曲线上存在唯一的点P，使得在点P的切线与曲线有且只有一个公共点，则称曲线存在“真切”线，给出下列曲线：①；②；③；④‎ 则存在“真切”线的所有曲线的序号为___________‎ 三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎ 19. （本题满分9分）‎ ‎ 已知，，，，试证明a,b,c至少有一个不小于1。‎ ‎ 20. （本题满分12分）‎ ‎ 已知函数（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为一1．‎ ‎ （I）求a的值并求该切线方程；‎ ‎ （Ⅱ）求f（x）在区间[一1，1]上的最小值和最大值；‎ ‎ （Ⅲ）证明：当x>0时，‎ ‎21. （本题满分12分）‎ 某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，…，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：‎ 顾客 图书 A ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ B ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ C ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ D ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎ （I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量 （单位：本）；‎ ‎（Ⅱ ‎）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包．现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结果不需要证明）‎ ‎ 22. （本题满分13分）‎ ‎ 已知函数，。‎ ‎ （I）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值；‎ ‎ （Ⅱ）若函数y=f（x）与的图象在（1，0）处有公切线l．‎ ‎ （i）求m的值；‎ ‎（ii）求证：与的公切线只有l一条．‎ ‎【试题答案】‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎ 1. A 2. D 3. B 4. C 5. C ‎6. B 7. D 8. A 9. C 10. D ‎11. A 12. B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）‎ ‎13. 30 14. （答案不唯一）‎ ‎15. （3，0）‎ ‎16. 6 20‎ ‎17. 1－4+9－16+25－36=－（1+2+3+4+5+6）‎ ‎1－4+9－16+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1（1+2+…+n）,‎ ‎18. ②④‎ 注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分 三、解答题（本题共4小题，共46分）‎ ‎ 19. 本题满分9分 ‎ 证明：假设a,b,c都小于1，即，………3 分 ‎ 则有 ‎ 而 6分 ‎ 两者矛盾，所以假设不成立，‎ ‎ 故a,b,c至少有一个不小于1 9分 ‎ 20. 本题满分12分 ‎ 解：（I）由,得 2分 ‎ 设A（0,m），则由已知得 ‎ 即，解得 ‎ 所以，，此时 ‎ 故在点A处的切线方程为 4分 ‎（II）令，得 ‎ 当时，，f（x）单调递减；当时，，单调递增 ‎ 所以当时，单调递减；时，f（x）单调递增 ‎ 故当时，f（x）有最小值，f（ln2）=2－2ln2=2－ln4； 6分 ‎ 又，，显然，‎ ‎ 故在区间[－1，1]上的最大值为 8分 ‎（III）证明：令，则 ‎ 由（II）得，‎ ‎ 故在R上单调递增 ‎ 又 ‎ 所以当时，，即 12分 ‎ 21. 本题满分12分 ‎ 解：（I）（本）‎ ‎ 答：A类图书的月销量约为1000本 2分 ‎ （II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为 ‎ X可取0，5，10，15 4分 ‎ ；；‎ ‎ ； 8分 ‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ P ‎ 所以 10分 ‎（III）图书D 12分 ‎ 22. （本题满分13分）‎ ‎ 解：（I）由题意，得函数，所以 2分 ‎①当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去；‎ ‎②当时，由，得 当时，，原函数单调递减；当时，，原函数单调递增 所以当时，函数y取最小值，即，解得m=－e 6分 ‎（II）（i）由，得，所以 由，得，所以 由已知有，解得 8分 ‎（ii）设函数f（x）与h（x）上各有一点，‎ 则f（x）以点A为切点的切线方程为 h（x）以点B为切点的切线方程为 由两条切线重合，得 消去，整理得，即 令，得 所以函数在（0，1）单调递减，在单调递增。‎ 又，所以函数有唯一零点x=1，‎ 从而方程组（*）有唯一解 即此时函数f（x）与h（x）的图象有且只有一条公切线 13分