2018届二轮复习2-9函数模型及其应用课件（全国通用）
2
.
9
函数模型及其应用
-
2
-
-
3
-
知识梳理
考点自测
1
.
常见的函数模型
(1)
一次函数模型
:
f
(
x
)
=
kx+b
(
k
,
b
为常数
,
k
≠0);
(2)
二次函数模型
:
f
(
x
)
=ax
2
+bx+c
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0);
(3)
反比例函数模型
:
f
(
x
)
=
(
k
为常数
,
k
≠0);
(4)
指数型函数模型
:
f
(
x
)
=
ab
x
+c
(
a
,
b
,
c
为常数
,
a
≠0,
b>
0,
b
≠1);
(5)
对数型函数模型
:
f
(
x
)
=
m
log
a
x+n
(
m
,
n
,
a
为常数
,
m
≠0,
a>
0,
a
≠1);
(6)
幂型函数模型
:
f
(
x
)
=
ax
n
+b
(
a
,
b
,
n
为常数
,
a
≠0);
-
4
-
知识梳理
考点自测
2
.
指数、对数、幂函数模型的性质比较
单调递增
单调递增
单调递增
y
轴
x
轴
-
5
-
知识梳理
考点自测
-
6
-
知识梳理
考点自测
1
.
判断下列结论是否正确
,
正确的画
“
√
”,
错误的画
“
×
”
.
(1)
幂函数增长比一次函数增长更快
.
(
)
(2)
在
(0,
+∞
)
内
,
随着
x
的增大
,
y=
a
x
(
a
>
1)
的增长速度会超过并远远大于
y=
x
α
(
α
>
0)
的增长速度
.
(
)
(3)
指数型函数模型
,
一般用于解决变化较快
,
短时间内变化量较大的实际问题
.
(
)
(4)
f
(
x
)
=x
2
,
g
(
x
)
=
2
x
,
h
(
x
)
=
log
2
x
,
当
x
∈
(4,
+∞
)
时
,
恒有
h
(
x
)
<
f
(
x
)
<
g
(
x
)
.
(
)
(5)“
指数爆炸
”
是指数型函数
y=
a
·
b
x
+c
(
a
>
0,
b>
1)
增长速度越来越快的形象比喻
.
(
)
×
√
√
√
√
-
7
-
知识梳理
考点自测
2
.
(
教材例题改编
P
123
例
1)
一个工厂生产一种产品的总成本
y
(
单位
:
万元
)
与产量
x
(
单位
:
台
)
之间的函数关系是
y=
0
.
1
x
2
+
10
x+
300 (0
0,
∴
y
1
为增函数
,
∴
当
x=
200
时
,
y
1
取得最大值
1
980
-
200
a
,
即投资生产甲产品的最大年利润为
(1
980
-
200
a
)
万美元
.
y
2
=-
0
.
05(
x-
100)
2
+
460(1
≤
x
≤
120,
x
∈
N
*
),
∴
当
x=
100
时
,
y
2
取得最大值
460,
即投资生产乙产品的最大年利润为
460
万美元
.
-
16
-
考点一
考点二
考点三
考点四
(3)
为研究生产哪种产品年利润最大
,
我们采用作差法比较
:
由
(2)
知生产甲产品的最大年利润为
(1
980
-
200
a
)
万美元
,
生产乙产品的最大年利润为
460
万美元
,
(1
980
-
200
a
)
-
460
=
1
520
-
200
a
,
且
6
≤
a
≤
8,
当
1
520
-
200
a>
0,
即
6
≤
a<
7
.
6
时
,
投资生产甲产品
200
件可获得最大年利润
;
当
1
520
-
200
a=
0,
即
a=
7
.
6
时
,
生产甲产品
200
件或生产乙产品
100
件均可获得最大年利润
;
当
1
520
-
200
a<
0,
即
7
.
6
0)
的应用
例
3
某村计划建造一个室内面积为
800 m
2
的矩形蔬菜温室
,
在矩形温室内
,
沿左、右两侧与后侧内墙各保留
1 m
宽的通道
,
沿前侧内墙保留
3 m
宽的空地
,
当矩形温室的边长各为多少时
,
蔬菜的种植面积最大
?
最大面积是多少
?
-
23
-
考点一
考点二
考点三
考点四
-
24
-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练
3
(2017
江西新余一中检测
)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗
,
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层
.
某幢建筑物要建造可使用
20
年的隔热层
,
每厘米厚的隔热层建造成本为
6
万元
.
该建筑物每年的能源消耗费用
C
(
单位
:
万元
)
与隔热层厚度
x
(
单位
:cm)
满足关系
(0
≤
x
≤
10),
若不建隔热层
,
每年能源消耗费用为
8
万元
,
设
f
(
x
)
为隔热层建造费用与
20
年的能源消耗费用之和
.
(1)
求
k
的值及
f
(
x
)
的表达式
.
(2)
隔热层修建多厚时
,
总费用
f
(
x
)
达到最小
,
并求最小值
.
-
25
-
考点一
考点二
考点三
考点四
-
26
-
考点一
考点二
考点三
考点四
指数型、对数型函数模型
例
4
某城市现有人口总数为
100
万人
,
如果年自然增长率为
1
.
2%,
试解答以下问题
:
(1)
写出该城市人口总数
y
(
单位
:
万人
)
与年份
x
(
单位
:
年
)
的函数关系式
;
(2)
计算
10
年以后该城市人口总数
;(
精确到
0
.
1
万人
)
(3)
计算大约多少年以后该城市人口将达到
120
万人
.
(
精确到
1
年
)
(1
.
012
10
≈1
.
127,1
.
012
15
≈1
.
196,1
.
012
16
≈1
.
210,log
1
.
012
1
.
2≈15
.
3)
-
27
-
考点一
考点二
考点三
考点四
解
(1)1
年后该城市人口总数为
y=
100
+
100
×
1
.
2%
=
100
×
(1
+
1
.
2%),
2
年后该城市人口总数为
y=
100
×
(1
+
1
.
2%)
+
100
×
(1
+
1
.
2%)
×
1
.
2%
=
100
×
(1
+
1
.
2%)
2
,
3
年后该城市人口总数为
y=
100
×
(1
+
1
.
2%)
2
+
100
×
(1
+
1
.
2%)
2
×
1
.
2%
=
100
×
(1
+
1
.
2%)
3
,
……
x
年后该城市人口总数为
y=
100
×
(1
+
1
.
2%)
x
.
所以该城市人口总数
y
(
单位
:
万人
)
与年份
x
(
单位
:
年
)
的函数关系式是
y=
100
×
(1
+
1
.
2%)
x
.
(2)10
年后该城市人口总数为
100
×
(1
+
1
.
2%)
10
≈112
.
7(
万人
)
.
所以
10
年以后该城市人口总数约为
112
.
7
万人
.
-
28
-
考点一
考点二
考点三
考点四
-
29
-
考点一
考点二
考点三
考点四
思考
哪些实际问题适合用指数函数模型解决
?
解题心得
1
.
在实际问题中
,
有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示
.
通常可以表示为
y=N
(1
+p
)
x
(
其中
N
为基础数
,
p
为增长率
,
x
为时间
)
的形式
.
解题时
,
往往用到对数运算
,
要注意与已知表格中给定的值对应求解
.
2
.
有关对数型函数的应用题
,
一般都会给出函数解析式
,
要求根据实际情况求出函数解析式中的参数
,
或给出具体情境
,
从中提炼出数据
,
代入解析式求值
,
然后根据值回答其实际意义
.
-
30
-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练
4
声强级
Y
(
单位
:
分贝
)
由公式
给出
,
其中
I
为声强
(
单位
:W/m
2
)
.
(1)
平常人交谈时的声强约为
10
-
6
W/m
2
,
求其声强级
.
(2)
一般常人能听到的最低声强级是
0
分贝
,
求能听到的最低声强为多少
?
(3)
比较理想的睡眠环境要求声强级
Y
≤
50
分贝
,
已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为
5
×
10
-
7
W/m
2
,
问这两位同学是否会影响其他同学休息
?
-
31
-
考点一
考点二
考点三
考点四
-
32
-
考点一
考点二
考点三
考点四
1
.
解函数应用问题的步骤
(
四步八字
)
(1)
审题
:
弄清题意
,
分清条件和结论
,
理顺数量关系
,
初步选择数学模型
;
(2)
建模
:
将自然语言转化为数学语言
,
将文字语言转化为符号语言
,
利用数学知识
,
建立相应的数学模型
;
(3)
解模
:
求解数学模型
,
得出数学结论
;
(4)
还原
:
将数学结论还原为实际问题的意义
.
以上过程用框图表示如下
:
-
33
-
考点一
考点二
考点三
考点四
2
.
实际问题中往往涉及一些最值问题
,
我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值
.
1
.
解应用题的关键是审题
,
不仅要明白、理解问题讲的是什么
,
还要特别注意一些关键的字眼
(
如
“
几年后
”
与
“
第几年
”),
学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读
,
导致题目不会做或函数解析式写错
.
2
.
解应用题建模后一定要注意定义域
.
3
.
解决完数学模型后
,
注意转化为实际问题写出总结答案
.
