【数学】2018届一轮复习人教A版 2-8函数与方程 学案
§2.8 函数与方程
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1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
考点1 函数零点所在区间的判定
1.函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
答案：f(x)＝0
2．几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________．
答案：x轴 零点
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数y＝f(x)在区间________上有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个________也就是方程f(x)＝0的根．
答案：f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 c
4．二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
答案：f(a)·f(b)<0 一分为二
函数零点理解的误区：零点的概念；零点的个数．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的________．
答案：(1)交点的横坐标
解析：函数的零点不是函数图象与x轴的交点，而是图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．
(2)若图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有________零点．
答案：唯一
解析：根据零点存在性定理可知，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，再根据单调性可得零点唯一．
二次函数的零点．
(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是________．
答案：ac<0
解析：数形结合知，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是af(0)<0，即ac<0.
(2)函数y＝(k－8)x2＋x＋1至多有一个零点，则k的取值范围为________．
答案：
解析：函数至多有一个零点，则：①当k＝8时，令x＋1＝0，即x＝－1，有一个零点，符合题意；
②当k≠8时，令Δ＝1－4(k－8)≤0，解得k≥.
故k的取值范围为.
[典题1] (1)[2017·湖北四地七校联盟高三联考]函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] f＝＋log2＝－2<0，f＝－1>0，即f·f<0，因此在上至少有一个零点．故选A.
(2)[2017·浙江温州模拟]如图是二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝ex＋f′(x)的零点所在的大致区间是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] B
[解析] 由图象知<<1，得1
0，
所以g(0)g(1)<0.故选B.
(3)[2017·浙江嘉兴模拟]设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)．若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．
[答案] (1,2)
[解析] 设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象如图所示．
因为f(1)＝1－－1＝－1<0，
f(2)＝8－0＝7>0，
所以f(1)f(2)<0，
所以x0∈(1,2)．
[点石成金] 确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)f(b)<0时，函数在区间(a，b)上至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．
考点2 判断函数零点个数
(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
(2)[教材习题改编]用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
答案：[2,2.5]
函数零点个数的判断方法：直接求零点；零点存在性定理；图象交点个数．
(1)若函数f(x)＝ax＋b的一个零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
答案：0，－
解析：因为2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－.
(2)给出三个区间，，，则函数f(x)＝x＋ln x
的零点所在的一个区间是________．
答案：
解析：当x从1趋近于0时，ln x趋近于负无穷大，所以f(x)趋近于负无穷大，而f＝＋ln＝－1＜0，f＝＋ln＝－2＜0，f(1)＝1＋ln 1＞0，所以函数的零点所在区间是.
[典题2] (1)[2017·安徽合肥模拟]若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上的根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，
所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.
又f(x－1)＝f(x＋1)，
所以f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[(x＋1)－1]＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝x在上的图象，如图所示．
数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝x在上有3个根．故选C.
(2)[2017·湖南衡阳模拟]函数f(x)的定义域为[－1,1]，图象如图①所示；函数g(x
)的定义域为[－2,2]，图象如图②所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝( )
A．14 B．12
C．10 D．8
[答案] A
[解析] 由题图①可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图②可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0对应的x值有3个；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0，由题图①知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7，故m＋n＝14.故选A.
[点石成金] 判断函数零点个数的三种方法
(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解时，通过解方程，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.
1.函数f(x)＝log2(x＋4)－3x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：在同一坐标系中，画出函数y＝3x与函数y＝log2(x＋4)的图象，则图象的交点个数就是函数f(x)＝log2(x＋4)－3x的零点的个数，由图象知，函数图象交点为2个，故函数的零点为2个，故选C.
2．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________．
答案：3
解析：依题意得
由此解得
由g(x)＝0得f(x)＋x＝0，该方程等价于①或②
解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.
因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3.
考点3 函数零点的应用
[典题3] 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] 函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．
画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．
又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知，实数m的取值范围是(0,1)．
[点石成金] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的三种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D．(－∞，1]∪(2，＋∞)
答案：C
解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝的图象，如图所示．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．
考点4 二次函数的零点问题
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图象
与x轴
的交点
________
________
无交点
零点个数
________
________
________
答案：(x1,0)，(x2,0) (x1,0) 2 1 0
[典题4] 已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，
所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，
解得x≤或x≥1，
所以不等式f(x)≥1－x2的解集为.
(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则
即解得－5＜a＜－2.
所以实数a的取值范围是(－5，－2)．
[点石成金] 解决与二次函数有关的零点问题
(1)可利用一元二次方程的求根公式；
(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组.
已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解：解法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x12时，g(x)＝x＋b－4，f(x)＝(x－2)2；
当0≤x≤2时，g(x)＝b－x，f(x)＝2－x；
当x<0时，g(x)＝b－x2，f(x)＝2＋x.
由于函数y＝f(x)－g(x) 恰有4个零点，
所以方程f(x)－g(x)＝0恰有4个根．
当b＝0时，
当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋8＝0，无解；
当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x－(－x)＝0，无解；
当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋2＝0，无解．
所以b≠0，排除答案B.
当b＝2时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为(x－2)2＝x－2，得x＝2(舍去)或x＝3，有1解；
当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝2－x，有无数个解；
当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x2＝x＋2，得x＝0(舍去)或x＝－1，有1解．
所以b≠2，排除答案A.
当b＝1时，当x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋7＝0，无解；
当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为1－x＝2－x，无解；
当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x＋1＝0，无解．所以b≠1，排除答案C.
故选D.
3．[2014·湖南卷]已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B．(－∞，)
C. D．
答案：B
解析：由题意可得，当x>0时，y＝f(－x)与y＝g(x)的图象有交点，即g(x)＝f(－x)有正解，即x2＋ln(x＋a)＝(－x)2＋e－x－有正解，即e－x－ln(x＋a)－＝0有正解，令F(x)＝e－x－ln(x＋a)－，则F′(x)＝－e－x－<0，故函数F(x)＝e－x－ln(x＋a)－在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g(x)＝f(－x)有正解，则存在正数x使得F(x)≥0，即e－x－ln(x＋a)－≥0，所以a≤e－x，又y＝e－x在(0，＋∞)上单调递减，所以am时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2 ＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．
当即03时，函数f(x)的图象如图②所示，则存在实数b满足4m－m20)，其中e表示自然对数的底数．
(1)若g(x)＝m有实根，求实数m的取值范围；
(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
[思路分析] (1)可将g(x)＝m有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解，也可利用基本不等式或根据函数图象求解；(2)利用函数图象得到不等式，解不等式即可．
[解] (1)解法一：因为x>0，所以g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，
因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根．
故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
解法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的图象，如图所示．
观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e.
故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
解法三：由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0，
故
等价于故m≥2e.
故实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，
所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.
由题意，作出g(x)＝x＋(x>0)及f(x)＝－x2＋2ex＋t－1的大致图象，如图所示．
故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
[典例2] 设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们的图象在x＝1处的切线的斜率相等．
(1)求b的值；
(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
[思路分析]
[解] (1)f′(x)＝3ax2－3a，所以f′(1)＝0.
而g′(x)＝2bx－，故g′(1)＝2b－1，
由题意得2b－1＝0，解得b＝.
(2)当x∈(0,1)时，g′(x)＝x－<0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－>0，
所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝.
当a＝0时，易知方程F(x)＝a2不可能只有四个解．
当a<0时，x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，x∈(－1,0)时f′(x)>0，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，画出F(x)的图象如图所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解．
当a>0时，x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，x∈(－1,0)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，画出F(x)的图象如图所示，
从图象可以看出方程F(x)＝a2有且只有四个解时，
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