数学文卷·2018届四川省成都市九校高二下学期期中联考（2017-04）

数学文卷·2018届四川省成都市九校高二下学期期中联考（2017-04）

‎2016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷 文科数学 考试时间共 120 分钟，满分 150 分 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。‎ ‎2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域 内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。‎ ‎3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。‎ 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分）‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．在复平面内，复数 z = 3 + 4i 则 z 的共轭复数的模为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 25‎ ‎2．函数 f ( x) = sin x + ex ，则 f '(0)的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 0‎ ‎3. 已知 m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（ ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α ‎4．已知 a 为函数 f ( x) = x3 - 3x 的极小值点，则 a=（ ）‎ A.-1 B. -2 C. 2 D. 1‎ x ‎5. 函数 f ( x) = ( x > 1) 单调递减区间是（ ）‎ ln x A． (1, +¥)‎ B． (1, e2 )‎ C． (e,+¥)‎ D． (1, e)‎ ‎6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭， 得到如下统计数据表：‎ 收入 x （万元）‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出 y （万元）‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程 yˆ = bˆx + aˆ‎ ‎，其中 bˆ = 0.76, aˆ = y - bˆx ‎，据此估计，‎ 该社区一户收入为 14 万元家庭年支出为（ ） A．11.04 万元 B．11.08 万元 C．12.12 万元 D．12.02 万元 ‎7． f ( x) = x + cos x, x Î é0, pù 的最大值是（ ）‎ ‎2 êë ‎2 úû A．1 B． p C． p + 3‎ p 1‎ D． + ‎4 12 2 6 2‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是（ ）‎ A. 3 B. 9‎ ‎2‎ C. 3 D. 2‎ ‎2‎ ‎9．若对任意的 x>0，恒有 lnx≤px－1(p>0)，则 p 的取值 范围是（ ）‎ A．(0,1] B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)‎ ‎（第 8 题图）‎ ‎10．甲、乙两人约定在下午 4:30 : 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 : 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人 仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是（ ）‎ ‎3 8‎ A． B．‎ ‎4 9‎ ‎7 11‎ C． D．‎ ‎16 12‎ ‎11．已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x Î (-¥, 0) , f ( x ) + xf ' ( x ) < 0‎ ‎1‎ 成立（ f ' ( x ) 是函数 f ( x) 的导数），若 a = ‎2‎ f (log 2‎ ‎2 ) ， b = (ln 2 ) f (ln 2 ) c = 2 f (-2 ) ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）‎ A． a > b > c B． b > a > cx 2‎ C. c > a > by 2‎ D． a > c > b ‎12．已知 F1 ， F2 分别为双曲线C ： - a 2 b 2‎ = 1 的左、右焦点， 若存 在 过 F1 的 直 分 别 交 双 曲 线 C 的 左 、 右 支 于 A ， B 两 点 ， 使 得 ÐBAF2 = ÐBF2 F1 ，则双曲线C 的离心率 e 的取值范围是（ ）‎ A． (3,+¥) B． (1,2 + 5 ) C. (3,2 + 5 ) D． (1,3) 第 12 题图 第Ⅱ卷 （非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）‎ ‎13．已知 f ( x) = ax ln x + 1, x Î (0, +¥) （ a Î R ）， f ¢( x) 为 f ( x) 的导函数，‎ f ¢(1) = 2 ，则 a = .‎ ‎14．甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的 5 次测试 成绩记录如下：甲： 82 82 79 95 87 乙： 95 75 80 90 85 现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派 ‎ 同学参加合适．‎ x y ‎2 2‎ ‎2 2‎ ‎15．已知椭圆 C1 : 2 + 2‎ a b = 1(a > b > 0) 与双曲线 C2 : x - y = 4 有相同的右焦点 F2 ，点 P 是 C1 与 C2 的一个公共点，若 PF2‎ = 2 ，则椭圆 C1 的离心率等于 ．‎ ‎16．已知函数 f ( x) = ax3 - 3x 2 + 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x ，且 x < 0 ，则 a 的 ‎0 0‎ 取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，8-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试 卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率 分布表中所提供的数据，解答下列问题：‎ 组号 分组 频数 频率 第 1 组 ‎[50，60)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第 2 组 ‎[60，70)‎ a ‎0.35‎ 第 3 组 ‎[70，80)‎ ‎30‎ b 第 4 组 ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第 5 组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求 a、b 的值；‎ ‎（Ⅱ）若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听写比 赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率．‎ ‎18．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中侧棱垂直于底面， AC ^ BC ，点 D 是 AB 的 中点.求证：‎ C B ‎（Ⅰ） AC ^ BC1 ；‎ ‎（Ⅱ） AC1‎ ‎// 平面 B1CD ；A ‎（Ⅲ）若 AC＝BC＝1，AA1＝2，求三棱锥 D B1BC 的体积．‎ C B D A ‎19．2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二 胎政策的态度，某市选取 70 后和 80 后作为调查对象，随机调查了 100 位，得到数据 如下表：‎ 生二胎 不生二胎 合计 ‎70 后 ‎30‎ ‎45‎ ‎80 后 合计 ‎75‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）将表格补充完整，以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估 计概率，若从该市 70 后公民中随机抽取 1 位,求该市民生二胎的概率。‎ ‎（Ⅱ）根据调查数据，是否有 90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明 理由；参考数据：‎ P(K 2 > k )‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎（参考公式： K 2 = n(ad - bc)2‎ ‎，其中 n = a + b + c + d ）‎ ‎(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )‎ ‎20．已知函数 f(x)＝x2＋2aln x.‎ ‎（Ⅰ）若函数 f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；‎ ‎＝‎ ‎（Ⅲ）若函数 g(x) 2‎ x ‎＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数 a 的取值范围．‎ x2 y 2 3 3‎ + ‎21．已知椭圆 C :‎ ‎2 = 1 (a > b > 0 ) 经过点 P(1, ) ，离心率 e = .‎ a b 2 2‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点 E (0 , - 2 ) 的直线 l 与C相交于 P, Q 两点，求 DOPQ 面积的最大值．‎ ‎22．已知函数 g( x) = e x + a x2‎ ‎2‎ ‎，其中 a Î R, e = 2.71828L 为自然对数的 底数，‎ f ( x) 是 g( x) 的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求 f ( x) 的极值；‎ ‎（Ⅱ）若 a = -1 ，证明：当 x1 ¹ x2 ，且 f ( x1 ) = f ( x2 ) 时， x1 + x2 < 0 ．‎ ‎2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考 数学（文科）参考答案及评分建议 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.C； 2.B； 3.B； 4.D； 5.D； 6.A；‎ ‎7.C； 8.A； 9.D； 10.B； 11.A； 12.C；‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 2； 14.甲； 15 . ； 16 . ； ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、　(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ……..………（4分）‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.……………（10分）‎ A1‎ C1‎ B1‎ A B C D O ‎18．证明：（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，‎ 所以，，‎ 又，，‎ 所以，平面，‎ 所以，. ………..………（5分）‎ ‎（Ⅱ）设与的交点为，连结，‎ 为平行四边形，所以为中点，‎ 又是的中点，所以是三角形的中位线，， ‎ 又因为平面，平面，所以平面. …………（9分）‎ ‎…………（12分）‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎19. （Ⅰ）由已知得 生二胎 不生二胎 合计 ‎70后 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎80后 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎70后“生二胎”的概率为，………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ………………………11分 所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”。…………………12分 ‎20.　(1)f′(x)＝2x＋＝，‎ 由已知f′(2)＝1，解得a＝－3. ……… 3分 ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 4分 ‎①当a≥0时，f′(x)＞0，‎ f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分 ‎②当a＜0时，f′(x)＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；‎ 单调递增区间是(，＋∞). ……… 8分 ‎(3)由g(x)＝＋x2＋2aln x， ‎ 得g′(x)＝－＋2x＋，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，‎ 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．‎ 即a≤－x2在[1,2]上恒成立. ……… 10分 令h(x)＝－x2，‎ 在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，‎ 所以h(x)在[1,2]上为减函数，‎ h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－.‎ 故实数a的取值范围为{a|a≤－}. ……… 12分 ‎21.（Ⅰ）由点在椭圆上得，①‎ ‎②‎ 由①②得，‎ 故椭圆的标准方程为……………….5分 ‎ ......................9分 ‎22．的定义域为，………1分 当时，在时成立 在上单调递增，无极值。‎ 当时，解得 在上单调递减， 在上单调递增，有极小值。………5分 ‎（2）当时，的定义域为，，‎ 由，解得.当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递减 极小值 单调递增 ‎∵，且，则（不妨设）‎ 设函数.‎ ‎∴.∵当时，，∴.………8分 ‎∴当时，.∴函数在上单调递增 ‎∴，即当时，.‎ ‎∵，∴.又，∴.‎ ‎∵在上单调递增，，且，又，‎ ‎∴.∴………12分