江苏高考数学模拟试卷套含附加有详细答案

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‎2015年江苏高考数学模拟试卷（一）‎ 第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）‎ 苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知全集，集合，则 ▲ ．‎ ‎2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则z2的模为 ▲ ．‎ ‎3．抛物线的焦点坐标是 ▲ ．‎ ‎4．已知直线，．则“”是“∥”的 ▲ 条件．‎ ‎5．当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲ ．‎ ‎6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲ ．‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7．定义在R上的偶函数（其中为常数）的最小值为2，则 ▲ ．‎ ‎8．设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，‎ 则的最小值是 ▲ ．‎ ‎9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲ ．‎ ‎10．已知，则= ▲ ．‎ ‎11．已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎12．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．‎ ‎13．已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数．若，‎ ‎，且是正整数，则等于 ▲ ．‎ ‎14．在等腰三角形中，，在线段上，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）写出及图中的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角．‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知椭圆E：的离心率为，且过点．右焦点为F，点N（2,0）．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设动弦AB与x轴垂直，求证：直线AF与直线BN的交点M仍在椭圆E上．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 数列的前项和为，且满足，（为常数，）．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若数列是等比数列，求实数的值．‎ ‎（3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由．‎ 第II卷 （附加题 分值40分）‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，是外一点，为切线，割线经过圆心，若，，求的度数．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 将曲线y＝2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为y＝sinx，求变换矩阵M的逆矩阵．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知且，求证：．‎ ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足（R）．‎ ‎（1）证明：PN⊥AM；‎ ‎（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知数列{an}满足：．‎ ‎（1）若，求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若，试证明：对，an是4的倍数．‎ ‎ ‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（一）‎ 第Ⅰ卷 参考答案与解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1． 2．5 3． 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．2 ‎ ‎8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．．‎ 解析：‎ ‎2．‎ ‎4．,‎ ‎7．由题意为偶函数，故，又的最小值为2，所以，所以 ‎10．，，故 ‎12．设，，所以，所以 D A B C x y ‎13．，令，为正整数，所以，解得，经验证时，‎ ‎14．如图，以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy．设A(x，y)，y>0．‎ 因AD=kAC =kAB，故AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)．‎ 所以，=≤，‎ 于是，，，．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）的值是．的值是．‎ ‎（2）由（1）可知：．因为 ，所以 ． ‎ 所以 当，即时，取得最大值； ‎ 当，即时，取得最小值0． ‎ ‎16．证明：（1）在菱形中，∥．‎ 因为 平面，平面，‎ 所以 平面． ‎ ‎（2）连接．‎ 在正方形中，． ‎ 因为 平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ 所以 平面． ‎ 因为 平面， 所以 ． ‎ 在菱形中，．‎ 因为 平面，平面，，所以 平面． ‎ 因为 平面， 所以 ． ‎ ‎（3）四点不共面． 理由如下： ‎ 因为 分别是的中点，‎ 所以 ∥．‎ 同理可证：∥．‎ 因为 平面，平面，，平面，平面， ‎ 所以 平面∥平面．‎ 因为 平面，‎ 所以 平面，即四点不共面． ‎ ‎17．解：（1）作，垂足为，则，，设，‎ 则，‎ 化简得，解之得，或（舍）‎ 答：的长度为．‎ ‎（2）设，则，‎ ‎．‎ 设，，令，因为，得，当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数，‎ 所以，当时，取得最小值，即取得最小值，‎ 因为恒成立，所以，所以，，‎ 因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 答：当为时，取得最小值．‎ ‎18．（1）解：因为，所以，b=c，‎ 即椭圆E的方程可以设为．‎ 将点P的坐标代入得：，‎ 所以，椭圆E的方程为．‎ ‎（2）证明：右焦点为F（1,0），设，由题意得．‎ 所以直线AF的方程为：， ①‎ 直线BN的方程为：， ② ‎ ①、 ②联立得，，‎ 即，在代入②得，，即．‎ 所以点M的坐标为． ‎ 又因为 ③‎ 将代入③得，‎ ‎．‎ 所以点M在椭圆E上．‎ ‎19．（1）解：． 因为切线过原点，‎ 所以 ，解得：． ‎ ‎（2）证明：设，则．‎ 令，解得． ‎ 在上变化时，的变化情况如下表 所以 当时，取得最小值． ‎ 所以 当时，，即． ‎ ‎（3）解：等价于，等价于．注意．‎ 令，所以．‎ ‎（I）当时， ，所以无零点，即F(x)定义域内无零点．‎ ‎（II）当时，（i）当时，，单调递增；‎ 因为在上单调递增，而，‎ 又，所以．‎ 又因为，其中，取，表示的整数部分．所以，，由此．‎ 由零点存在定理知，在上存在唯一零点．‎ ‎（ii）当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 所以当时，有极小值也是最小值，．‎ ①当，即时，在上不存在零点；‎ ②当，即时，在上存在惟一零点2；………12分 ③当，即时，由有，‎ 而，所以在上存在惟一零点；‎ 又因为，．‎ 令，其中，，，，‎ 所以，因此在上单调递增，从而，‎ 所以在上单调递增，因此，‎ 故在上单调递增，所以．‎ 由上得，由零点存在定理知，在上存在惟一零点，即在上存在唯一零点． ‎ 综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0； ‎ ‎ 当时，函数F(x)的零点个数为1；‎ 当时，函数F(x)的零点个数为2；‎ 当时，函数F(x)的零点个数为3． ‎ ‎20．解：（1）因为 ，，‎ 所以 ，．‎ 因为 ，‎ 所以 ，即． ‎ 所以 ．‎ 所以 数列是以1为首项，3为公差的等差数列．‎ 所以 ． ‎ ‎（2）若数列是等比数列，则．‎ 由（1）可得：．解得：．‎ 当时，由得：．‎ 显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列．‎ 所以 ． ‎ ‎（3）当时，由（2）知：．‎ 所以 ，即数列就是一个无穷等差数列．‎ 所以 当时，可以得到满足题意的等差数列．‎ 当时，因为 ，，即，‎ 所以 数列是以1为首项，为公差的等差数列．‎ 所以 ．‎ 下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．‎ 假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为． 设数列的公差为．‎ ‎①当时，．‎ 所以 数列是各项均为正数的递减数列．‎ 所以 ．‎ 因为 ，‎ 所以 当时，，这与矛盾．‎ ‎②当时，令，解得：． ‎ 所以 当时，恒成立．‎ 所以 数列必然是各项均为负数的递增数列．‎ 所以 ．‎ 因为 ，‎ 所以 当时，，这与矛盾．‎ 综上所述，是唯一满足条件的的值． ‎ 第II卷 参考答案与解析 ‎21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 解：连结，‎ 为切线，为割线，，‎ 又，，，，，‎ 为切线，为切点，‎ 在中，，，‎ ‎，，，．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 解：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点，即M＝，‎ 所以M＝，‎ 设M－1＝，于是有MM－1＝ ＝，‎ 所以，解得，所以M的逆矩阵为．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）由，得 所以曲线C的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得．‎ 设、两点对应的参数分别为、，则，， ‎ ‎∴，‎ 当时，的最小值为4． ‎ D．选修4—5：不等式选讲 解：，‎ ‎．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz．‎ 则P（λ，0,1），N（，，0），M（0,1，），‎ 从而＝（－λ，，－1），＝（0,1，），＝（－λ)×0＋×1－1×＝0，所以PN⊥AM； ‎ ‎（2）平面ABC的一个法向量为n＝＝（0,0,1）．‎ 设平面PMN的一个法向量为m＝（x，y，z），‎ 由（1）得＝（λ，－1，）．‎ 由 解得．‎ ‎∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，‎ ‎∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，‎ 解得λ＝－． ‎ 故点P在B‎1A1的延长线上，且|A1P|＝． ‎ ‎23．解：（1）当时，．‎ 令，则．‎ 因为奇数，也是奇数且只能为，‎ 所以，即 ‎ ‎（2）当时，．‎ 下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．‎ 当时，，命题成立；‎ 设当时，命题成立，则存在N*，使得，‎ ‎，‎ 其中，，‎ ‎，当时，命题成立．‎ 由数学归纳法原理知命题对成立．‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（二）‎ 第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）‎ 苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎2．若复数是实数（为虚数单位），则实数的值是 ▲ ．‎ ‎3．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 ▲ ．‎ ‎4．若 ，则 = ▲ ．‎ ‎5．如图所示的流程图，若输入的值为，则输出的结果 ▲ ．‎ ‎6．已知实数满足约束条件 若取得最小值时的最优解有无数个，‎ 则 ▲ ．‎ ‎7．给出下列命题：其中，所有真命题的序号为 ▲ ．‎ ‎（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线，那么另一条直线也与直线垂直；‎ ‎（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中正确的是 ▲ ．‎ ‎8．设斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q，若点P、Q在轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．‎ ‎9．已知等比数列各项都是正数，且，则前项的和为 ▲ ．‎ ‎10．在中，角所对的边分别是，则角的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．如图，函数的部分图象，其中分别是图中的最高点和最低点，且，那么的值为 ▲ ．‎ ‎12．若对任意的恒成立，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎13．若正实数a，b，c满足，且a>b，若不等式5a+6b≥kc恒成立，则实数k 的最大值为 ▲ ．‎ ‎14．设三角形ABC的内角A、B、C所对边a、b、c成等比数列，则的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知向量a=(，sinθ)与b=(1，cosθ)互相平行，其中θ∈(0，)．‎ ‎（1）求sinθ和cosθ的值；[来源:学．科．网Z．X．X．K]‎ ‎（2）求f(x)=sin(2x＋θ)的最小正周期和单调增区间． ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面，是中点，是中点，‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）若面面，求证：．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ A ‎ O ‎ B ‎ M ‎ C ‎ D ‎ E ‎ F ‎ ‎ ‎ N ‎ x ‎ y ‎ 如图，某小区有一矩形地块OABC，其中，（单位百米）．已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点M的直路l（宽度不计），交线段于点，交线段于点．现以点O为坐标原点，线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边EF满足函数的图象．若点到轴距离记为．‎ ‎（1）当时，求直路所在的直线方程；‎ ‎（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，并求出最大值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线交于、两点，点是点关于轴的对称点，求证直线过定点，并求出定点坐标﹒‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 在数列{an}中，(n∈N*)．从数列{an}中选出k(k≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项之列．例如数列为{an}的一个4项子列．‎ ‎（1）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；‎ ‎（2）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足 ；‎ ‎（3）如果{cn}为数列{an}的一个m(m≥3)项子列，且{cn}为等比数列，‎ 证明：c1＋c2＋c3＋……＋cm≤2－． ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数．‎ ‎ （1）若求的最值；‎ ‎ （2）讨论的单调性；‎ ‎ （3）已知是图像上的二个不同的极值点，设直线的斜率为．‎ ‎ 求证: ‎ 第II卷 （附加题 分值40分）‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A B C D E F O A．选修4—1：几何证明选讲 如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量．‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）求曲线在的作用下的新曲线方程．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知，且，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角的正弦值． ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设整数，集合是的两个非空子集．记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求．‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（二）‎ 第Ⅰ卷 参考答案与解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1． 2．2 3． 4． 5．1 6．－ 7．、、 8． ‎ ‎9．1023 10． 11． 12． 13． 14．‎ 解析：‎ ‎1．只要解不等式 ‎3．任意取两个球的种数有6种，取出两个都是白色的有2种， ‎ ‎6．直线y＝－ax＋z与可行域（三角形）下边界x－2y－3＝0重合时z最小，a=－ ‎8．设点P、Q在x轴上的射影分别为焦点F1、F2，|PF1|=c(其中c为|OF1|的长)，‎ 从而|PF2|==，所以2a=|PF1|＋|PF2|=，得e=．‎ ‎9．由条件得，则 ‎10．，又因为，得 ‎11． 得，又当时，，得 ‎12．由题意可知，‎ ‎，‎ ‎13．由已知，，，‎ ‎14．=====‎ 设a、b、c的公比为q，则b=aq，c=aq2，又 a、b、c能构成三角形的三边，所以有 ‎，解得，即．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）因为向量a与b平行，则sinθ=cosθ，tanθ=，又θ∈(0，)，‎ 所以θ=，所以sinθ=，cosθ=；‎ ‎（2）由f(x)=sin(2x＋θ)=，得最小正周期，‎ 由≤≤，，解得≤≤，，‎ 所以f(x)的单调增区间为．‎ ‎16．证明：（1）取中点，连，，中，且，‎ 又，，得，四边形是平行四边形，‎ 得，面，面，面 ‎ ‎（2）过点作的垂线，垂足为，‎ 面面，面面，，面 面，面，‎ 平面，平面，‎ ‎，、面，面，‎ 面， ‎ ‎17．解：（1）由题意得， ‎ 又因为，所以直线的斜率，故直线的方程为，‎ 即． ‎ ‎（2）由（1）易知，即．‎ 令得，令得．‎ 由题意解得． ‎ ‎． ‎ 令，则． ‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴所求面积的最大值为． ‎ ‎18．解：（1）设椭圆E的方程为，由已知得：‎ ‎ ，椭圆E的方程为 ‎ ‎（2）设，，则，‎ 直线:，与椭圆方程联立，‎ 得，得，‎ 点在直线上，则，‎ 直线方程：，化简得：，‎ 则直线过定点 ‎ ‎19．解：（1）3项子列；(答案不唯一)‎ ‎（2）由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2－b1<0．‎ 若b1=1，若{bn}为{an}的一个5项子列，得b2≤，所以d=b2－b1≤－1=－，‎ 又b5=b1＋4d，b5>0，所以4d=b5－b1=b5－1>－1，即d>－，与d≤－矛盾，所以b1≠1．‎ 所以b1≤，因为b5=b1＋4d，b5>0，所以4d=b5－b1≥b5－>－，即d>－，‎ 所以．‎ ‎（3）由题意，设{cn}的公比为q，则：c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)，‎ 因为{cn}为{an}的一个m项子项，所以q为正有理数，且q<1，c1=≤1(a∈N*)，‎ 设q=，且K，L互质，L≥2)，‎ 当K=1时，因为q=≤，所以c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)≤‎ ‎1＋＋＋……＋=2－；‎ 当K≠1时，因为cm=c1qm－1=是{an}的项，且K、L互质，所以a=Km－1×M(M∈N*)‎ 所以c1＋c2＋c3＋……＋cm=c1(1＋q＋q2＋……＋qm－1)=‎ 因为L≥2，M∈N*，所以c1＋c2＋c3＋……＋cm≤1＋＋＋……＋=2－；‎ 综上，c1＋c2＋c3＋……＋cm≤2－．‎ ‎20．解：（1）当时， ，‎ 在上单调递增，在上单调递减 ‎（2） ‎ i: ，在上单调递减．‎ ii: 时，‎ ① 当时， ‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ ② 当时， ‎ 在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（3）设 则是方程的二个根，且，‎ 令， ，在上单调递增 ‎， 即 ‎， ‎ ‎ ‎ 第II卷 参考答案与解析 ‎21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 解：连接OD，BC，设BC交OD于点M．‎ 因为OA=OD，所以OAD=ODA；又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE 所以OD//AE；又 因为ACBC，且DEAC，所以BC//DE．‎ 所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD 由，设AC=3x，AB=5x，则OM=，又OD=，‎ 所以MD=-=x，所以AE=AC+CE=4x，因为OD//AE，所以=． ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 解：（1）由已知，即，‎ ‎ ，所以； ‎ ‎（2）设曲线上任一点，在作用下对应点，则 即，解之得，代入得，‎ 即曲线在的作用下的新曲线的方程是．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，‎ 圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0．‎ 圆C的圆心(2，0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝．又圆C的半径r＝2，‎ 因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2． ‎ D．选修4—5：不等式选讲 解：， ， ‎ ‎， ‎ ‎， 当且仅当，或时 ‎ ‎ 的最小值是1． ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．解：（1）以O为原点，分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立直角坐标系 A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，0)‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2），设平面ABE的法向量为，‎ 则由，得 平面BEC的法向量为 ‎， 二面角的正弦值为．‎ ‎23．解：（1）当3时，P{1，2，3 }，‎ 其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，‎ 则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，‎ ‎ ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a3； ‎ ‎（2）设A中的最大数为k，其中，整数3，‎ 则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：，‎ ‎ B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能 都不在B中，故B的个数为：， ‎ 从而集合对(A，B)的个数为，‎ 所以an． ‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（三）‎ 第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）‎ 苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{x|x3 then ‎ x←x-3‎ Else ‎ x←3-x EndIf Print x 为 ▲ ．‎ ‎4．右边是一个算法的伪代码，若输入x的值为1，则输出的x的值是 ▲ ．‎ ‎5．有三张大小形状都相同的卡片，它们的正反面分别写有1和2、3和4、5和6，现将它们随机放在桌面上，则三张卡片上显示的数字之和大于10的概率是 ▲ ．‎ ‎6．已知为等差数列，其前n项和为，若，则 ▲ ．‎ ‎7．已知正四棱锥的底面边长是2，这个正四棱锥的侧面积为16，则该正四棱锥的体积为 ▲ .‎ ‎8．设，且．则的值为 ▲ ．‎ ‎9．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值为 ▲ ．‎ ‎10．若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．椭圆C:的左、右焦点分别是，为椭圆上一点，，与y轴交与点，若，则椭圆离心率的值为 ▲ ．‎ ‎12．已知二次函数（）的图象与轴交于两点，则线段长度的最小值 ▲ ．‎ ‎13．如图，在正△ABC中，点G为边BC上的中点，线段AB，AC上的动点D，E分别满足，，设DE中点为F，记，则的取值范围为 ▲ ．‎ ‎14．设二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）若cosA＝，求sinC的值；‎ ‎（2）若b＝，a＝‎3c，求三角形ABC的面积．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，已知四棱锥中，，底面是菱形，， E、F分别是棱BC、PA上的点，//平面，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为‎2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设．‎ ‎（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．‎ ‎（2）若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，设A、B分别为椭圆E：的左、右顶点，P是椭圆E上不同于A、B的一动点，点是椭圆E的右焦点，直线l是椭圆E的右准线．若直线AP与直线：和l分别相交于C、Q两点，FQ与直线BC交于M．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若椭圆E的离心率为，直线的方程为 ‎，求椭圆E的方程．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列{}、{}满足：.‎ ‎（1）求；　　　　　 ‎ ‎（2）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求实数a为何值时恒成立．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数满足，当x∈(0，2)时，，当时，的最大值为 - 4．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）设b≠0，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．‎ 第II卷 （附加题 分值40分）‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA＝，PB＝1，求∠ABC的大小．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A和A的逆矩阵．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C： （j为参数）的右焦点F．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝1，‎2a2＋3b2＋‎6c2＋d2＝25，求实数d的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，正方体ABCD－A1B‎1C1 D1的所有棱长都为1，M、N分别为线段BD和B‎1C上的两个动点．‎ ‎（1）求线段MN长的最小值；‎ ‎（2）当线段MN长最小时，求二面角B－MN－C的大小．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，用数学归纳法证明：，．‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（三）‎ 第Ⅰ卷 参考答案与解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．3 2． 3．1.04 4．2 5． 6． 10.2 7． ‎ ‎8． 9．1 10． 11． 12．12 13． 14． ‎ 解析：‎ ‎2．由|(1+i)z| =|4|和|(1+i)z| =|1+i||z| 可知|z|＝.‎ ‎3．由题意知，只要求83，84，84，85，86的方差，得到.‎ ‎4．1<3，故x=3-1=2.‎ ‎5．1+3+5=9，1+3+6=10，1+4+5=10，1+4+6=11，2+3+5=10，2+3+6=11，2+4+5=11，2+4+6=12共8种其中和大于10的有4种，故概率为.‎ ‎6．由条件得，故 ‎9．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，由得∴zmin＝2－1＝1.‎ ‎11．设，，因为，所以，解得，‎ 又因为，所以，解得，因为点在椭圆上，所以，即，又即，从而，解得.‎ ‎12．因式分解可得，于是两点的坐标分别是，于是线段的长度等于．记，，于是在上单调递减，在上单调递增，从而的最小值就是．‎ ‎13．，不妨设三角形边长为1，则 ‎ ‎，又由点D，E分别在线段上可知即有，那么.‎ ‎14．设，再令；那么由在上存在零点可知：，使得成立；即，‎ 则有：；化简得到． ‎ 又在上恒成立，那么；‎ 综上可知．‎ 另解：以aOb建立平面坐标系，则原点到直线的距离满足，下略.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）由余弦定理，cosB．又B为三角形内角，则B＝．‎ 因为cosA＝，且A为三角形内角，则sinA＝，‎ 故sinC＝sin(B＋A)＝sin(＋A)＝ cosA＋sinA＝．‎ ‎（2）由a＝‎3c，由余弦定理知：b2＝ a2＋c2－2accosB，则7＝‎9c2＋c2－‎3c2，解得c＝1，则a＝3．面积S＝acsinB＝．‎ ‎16．证明：（1） ；‎ ‎（2）过F作FG//AD交棱PD于点G，连结CG．‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎；‎ ‎ ‎ ‎17．解：（1）由题，， ‎ 取BC中点M，连结OM．则，．‎ ‎∴． ‎ 同理可得，． ‎ ‎∴．‎ 即．∴当，即时，有． ‎ ‎（2），，．‎ ‎∴． ‎ ‎∴ ‎ ‎∵，∴解得，列表得 ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ 递增 极大值 递减 ‎∴当时，有． ‎ 答：（1）当时，观光道路的总长l最长，最长为‎5km；‎ ‎（2）当时，鲜花种植面积S最大． ‎ ‎18．解：（1）设，则直线AP：， ‎ 分别令和得，． ‎ ‎∵，则直线FQ：． ‎ 令得，∴. ‎ ‎（2）∵椭圆E的离心率为，∴，椭圆E：． ‎ ‎∵PM：，故，解得． ‎ ‎∵，代入得，∴或． ‎ 当时，，，故点P与B重合，舍去． ‎ ‎∴椭圆E的方程为． ‎ ‎19．解：（1）‎ ‎ ∵ ∴． ‎ ‎（2）∵ ∴．‎ ‎ ∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列．‎ ‎ ∴ ∴． ‎ ‎（3）． ‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由条件可知恒成立即可满足条件设，‎ a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立．‎ a 0时，> 0，g(x)是增函数，B = ．‎ ‎∴．．‎ ‎② b < 0时，< 0，g(x)是减函数，B = ．‎ ‎∴．．‎ 由①，②知，，或．‎ ‎ ‎ 第II卷 参考答案与解析 ‎21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 解：连接AO，由弦切角等于同弦所对的圆周角知∠PAB＝∠ACP，‎ 又∠APB＝∠APC，所以△APB∽△CPA，于是＝，即 PA2＝PB·PC，由题设得PC＝3，由于PB＝1，所以BC＝2，‎ 从而AO＝1，‎ PO＝2，AP＝，于是∠APO＝30o，∠PAO＝90o，又由于PB＝BO，所以，∠ABC＝60o.‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，即c＋d＝6； ‎ 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，即‎3c－2d＝－2， ‎ 解得即A＝，A逆矩阵是A－1＝.‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得，‎ 则点的坐标为.‎ 直线经过点.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，并整理得：‎ ‎.‎ 设点在直线参数方程中对应的参数分别为，则 ‎=‎ 当时，取最大值；‎ 当时，取最小值 D．选修4—5：不等式选讲 解：由柯西不等式得，‎ 当且仅当时取等号．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即．解得．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．解：（1）以为单位正交基底，如图建立空间直角坐标系．‎ 设，则．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴当，即时，有．‎ ‎∴线段MN长的最小值为．‎ ‎（2）由（1）可知，当MN取得最小值时，．‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角B－MN－C的大小等于向量与向量的夹角，即向量与向量的夹角．‎ ‎∵，，∴．‎ ‎∴二面角B－MN－C的大小为．‎ ‎23．解：（1）， ‎ 令，得或或，‎ 易知当与时，；当与时，，‎ 所以函数的单调增区间为和，减区间为和．‎ ‎（2）设．‎ 当时，只需证明当时，，‎ 由，得在上为增函数，‎ 所以，原不等式成立． ‎ 假设当时，不等式成立，即当时，，‎ 则当时，因为，所以，‎ 即在上为增函数，所以，‎ 所以当时，不等式也成立． ‎ 综上可知，当时，对，成立． ‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（四）‎ 第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）‎ 苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．设集合，，则= ▲ ．‎ ‎2．已知复数满足（其中为虚数单位），则 ▲ ．‎ ‎3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 ▲ ．‎ ‎4．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任意取两个球，则这两个球颜色不相同的概率 为 ▲ ．‎ ‎5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．‎ ‎6．给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两个平面相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线与另一个平面平行． 其中，真命题的序号 ▲ ．‎ ‎7．已知，且，则的值为 ▲ ．‎ ‎8．在平行四边形中, , , 为的中点．若, 则的长 为 ▲ ． ‎ ‎9．已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的取值范围是 ▲ ．‎ ‎10．已知均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的，总有，‎ 则 ▲ ．‎ ‎11．已知双曲线的左右焦点，梯形的顶点在双曲线上且 ‎，，则双曲线的离心率的取值范围是 ▲ ．‎ ‎12．已知R，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围为 ▲ ．‎ ‎13．已知函数若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．已知圆与轴的两个交点分别为（由左到右），为上的动点，过点且与相切，过点作的垂线且与直线交于点，则点到直线的距离的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）设△的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知为锐角，，，，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ A M A1‎ C B B1‎ C1‎ N 如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,, ,点分别为和的中点． ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 冬训期间，某足球队进行射门训练． 如图，已知这种训练用足球场地的球门框的长AB为米，一名队员位于垂直于AB的直线CD上的点D处，已知CD为米，且BC=米．‎ ‎（1）若该队员一直沿着射线方向突破，则他跑几米后起脚射门可以使得射门角度(即射门瞬间足球与球框两端点连线所成角)最大？‎ ‎（2）假设该队员沿任何方向直线突破6米后，总有对方球员来干扰而迫使他射门，则要使此时射门角度最大他该向哪个方向跑？‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（）上的点A，C关于y轴对称，点A，B关于原点对称．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，且A（，），求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设D为直线BC与x轴的交点，E为椭圆上一点，且A，D，E三点共线，若直线AB，BE的斜率分别为，，试问，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请加以说明．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当，时，求证：；‎ ‎（3）若函数在上的最小值为3，求的值；‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．‎ 第II卷 （附加题 分值40分）‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如下图，是圆的两条平行弦，，交于、交圆于，过点的切线交的延长线于，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求证：．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 的极坐标分别为，曲线的参数方程为为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线和曲线有且只有一个公共点，求正实数的值．‎ D．选修4—5：不等式选讲 设实数满足，求证：．‎ ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎2015年苏州承办世乒赛，现有甲、乙等六名志愿者，被随机地分到世乒赛的A、B、C、D四个场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者．‎ ‎（1）求甲、乙两人同时被分到A场馆的概率； ‎ ‎（2）记随机变量X表示这六名志愿者中被分到C场馆的人数，试求X的分布列与数学期望E（X）．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知p(p≥2)是给定的某个正整数，数列{ak}满足：a1＝1，(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，其中k＝1, 2, 3，…，p－1．‎ ‎（1）设p＝4，求a2，a3，a4；‎ ‎（2）求a1＋a2＋a3＋…＋ap．‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（四）‎ 第Ⅰ卷 参考答案与解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．={0，1} 2． 3． 808 4． 5．20 6．②③ 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． ‎ 解析：‎ ‎3．由分层抽样的定义可知，总人数；‎ ‎6．解：①缺少条件：两直线相交，因此错误；②即两平面垂直的判定定理，因此正确；③正确；④也可能会是直线在平面内，因此错误．所以答案为②③；‎ ‎8．由题设有，打开即有，所以；‎ ‎9．由得，；又得．；‎ ‎10．设的公比分别为，因为对任意的，总有，所以均不为1．令，则，再分别令，则有，解得，；‎ ‎11．设点，则，所以，因，所以；又，故；‎ ‎12．二次函数的对称轴为，所以3个整数为：3，4，5．所以，解得；‎ ‎13．由函数的图像可得，要使得函数有6个不同的零点，必须保证方程 在上有两个不同的根，，解得；‎ ‎14．连接，则，所以的轨迹为圆，圆心到直线的距离为，所以点到直线的距离的最大值为．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）‎ ‎ ‎ ‎∵，∴，．‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由，得，‎ 又为锐角，所以，又，，‎ 所以，． ‎ 由，得，又，从而，．‎ 所以， ‎ ‎16．（1）证明：在中，‎ 在中，．‎ ‎，即为等腰三角形． ‎ 又点为的中点，． ‎ 又四边形为正方形,为的中点， ‎ ‎,平面,平面 ‎ 平面 ‎ ‎（2）证明：连接 ‎ 由题意知,点分别为和的中点，． ‎ 又平面,平面, ‎ 平面． ‎ ‎17．解：（1）设则．记，‎ ‎，则当时，有最大值，又因为是锐角，故此时最大．‎ 故当他跑米后起脚射门可以使得射门角度最大．‎ ‎（2）队员突破6米后在以为圆心，6为半径的圆上．问题转化为圆上的动点与点连线所成的角最大．以为弦作圆，当圆与圆相切时，切点所在位置的射门角度最大（可以利用三角形外角计算公式及圆中圆周角的性质证明这个基本事实）．此时，设圆的半径为，点M到AB的距离为a, 则；又在中，‎ ‎,，由勾股定理，联立解得，，故，所以．要使此时射门角度最大他该沿偏离靠向球门大小的方向跑．‎ ‎18．解：（1）因为椭圆的离心率，所以．又椭圆经过点A（，），所以．联立方程，解得，，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）不妨设点A（，），，，由椭圆的对称性可知点C，B的坐标分别为（，），（，），D（，0）．设点E的坐标为（，），‎ 因为点A，E都在椭圆上，所以有和，‎ 即有，即．‎ 又直线AB的斜率，直线BE的斜率，‎ 由题意得．‎ 因为A，D，E三点共线，所以与相等，‎ 即，所以为定值．‎ 故为定值．‎ ‎19．解：（1）f(x)定义域为R的奇函数 ∴f(0)＝0 ，当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－ln(－x) ‎ ‎ ∴f(x)＝ ‎ ‎（2）只需证：当x >1时，．‎ 设j(x)=，j¢(x)=>0（x >1）‎ j(x)在(1,+¥)上单调递增，又j(x)在[1,+¥)上不间断，当x >1时，j(x)> j(1)=0‎ 当a=，x >1时，< ‎ ‎（3）h(x)＝lnx＋∴h¢(x)＝－＝，由h¢(x)＝0得x＝a ‎①当a≤1时，f(x)在[1,e]上单调递增∴h(x)min＝h(1)＝a∴a＝3，不符合a≤1，舍去 ‎ ‎②当1＜a＜e时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,e]上单调递增 ‎∴h(x)min＝h(a)＝lna+1=3 ∴a＝，不符合1＜a＜e，舍去 ‎ ‎③当a≥e时，f(x)在[1,e]上单调递减∴h(x)min＝h(e)＝1＋ ∴1＋＝3，即a＝2e ‎ 综上所述：当a＝2e时，h(x)＝f(x)＋在[1,e]上的最小值为3 ‎ ‎20．解：（1）由，，成等差数列可得，，①‎ 由，，成等差数列可得，， ②‎ ①②得，，‎ 所以是以6为首项、为公比的等比数列． ‎ ‎（2）由（1）知，，③‎ ①②得，， ④‎ ③④得，， ‎ 代入，得，‎ 所以，‎ 整理得，，‎ 所以， ‎ 由是不超过100的正整数，可得，‎ 所以或，‎ 当时，，此时，则，符合题意；‎ 当时，，此时，则，符合题意．‎ 故使成立的所有数对为，． ‎ 第II卷 参考答案与解析 ‎21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．‎ A．选修4—1：几何证明选讲解：‎ 解：（1），，‎ 又， ，，，．‎ ‎（2），，而，‎ ‎，．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 解：设A=NM，则A， ‎ 设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，‎ 则 ， 即∴ ‎ 又点在曲线上，∴ ，即． ‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）的直角坐标为， ‎ 所以直线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）将参数方程化为普通方程为，表示圆． ‎ 若直线和圆有且只有一个公共点，则直线和圆相切，‎ 所以． ‎ D．选修4—5：不等式选讲 解：，‎ 所以，也就是，所以，．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．解：（1）记“甲、乙两人同时被分到A场馆”为事件M，则，‎ 故甲、乙两人同时被分到A场馆的概率为．‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．‎ ‎， ，‎ ‎．‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E（X）=．‎ ‎23．解：（1）由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，得＝p×，k＝1,2,3，…，p－1，‎ 即＝－4×＝－6，a2＝－‎6a1＝－6；＝－4×＝－，a3＝16，‎ ＝－4×＝－1，a4＝－16． ‎ ‎（2）由(k＋1)ak＋1＝p(k－p)ak，得＝p×，k＝1, 2, 3，…，p－1，‎ 即＝－p×，＝－p×，…，＝－p×，‎ 以上各式相乘得＝(－p)k—1×， ‎ ‎∴ ak＝(－p)k－1× ‎＝(－p)k－1×＝× ‎＝－(－p)k－2×C＝－C(－p)k，k＝1,2,3，…，p， ‎ ‎∴ a1＋a2＋a3＋…＋ap＝－[C(－p)1＋C(－p)2＋C(－p)3＋…＋C(－p)p]＝－[(1－p)p－1]． ‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（五）‎ 第Ⅰ卷 （必做题 分值160分）‎ 苏州市高中数学学科基地 苏州市高中数学命题研究与评价中心 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．已知全集，集合，，则集合 ‎= ▲ ．‎ ‎2．已知，为虚数单位，，则的值为 ▲ ．‎ ‎3．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人．‎ ‎4．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于26的概率是 ▲ ．‎ ‎5．已知定义域为的函数是奇函数，则 ▲ ．‎ ‎6．在中，若，则角的大小为 ▲ ．‎ ‎7．设变量，满足约束条件且目标函数的最大值为3，则 ▲ ．‎ ‎8．若函数，则实数m的取值范围是 ▲ ．‎ ‎9．在等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn．若数列{Sn＋}也是等比数列，则Sn等于 ▲ ．‎ ‎10．在样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形， 若第一个长方形的面积为0．02， 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600， 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ ．‎ ‎11．已知圆，直线 ‎．若对任意的实数，直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎12．圆与曲线有两个交点，则的值是 ▲ ．‎ ‎13．将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎14．设是不全为0的实数，则的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值和最小正周期；‎ ‎（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值． ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 在直三棱柱中，，，，，E、F分别是的中点．‎ A B C E F P ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）证明：平面ABE；‎ ‎（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 在一段笔直的斜坡上竖立两根高16米的电杆，过架设一条十万伏高压电缆线．假设电缆线呈抛物线形状，现以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线恰与电缆线相切于点．‎ ‎（1）求电缆线所在的抛物线的方程；‎ ‎（2）若高压电缆周围10米内为不安全区域，试问一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于A、B点，‎ ①求O到AB的距离；‎ ②求的取值范围． ‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前 项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）令，则时有两个不同的根，求的取值范围；‎ ‎（3）存在且，使成立，求的取值范围．‎ 第II卷 （附加题 分值40分）‎ ‎21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 A B P F O E D C ‎·‎ 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 若点A（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵M的逆矩阵．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点、分别在曲线（为参数）和曲线上，求的最大值 ． ‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知x，y，z均为正数．求证：．‎ ‎【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 有一枚质地均匀的硬币，抛掷次，‎ ‎（1）当，记正面向上的次数为，求的分布列及期望；‎ ‎（2）当，求正面不连续出现的概率． ‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设等差数列的首项为1，公差d（），m为数列中的项．‎ ‎（1）若d=3，试判断的展开式中是否含有常数项？并说明理由；‎ ‎（2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，的展开式中均不含常数项．‎ ‎2015年江苏高考数学模拟试卷（五）‎ 第Ⅰ卷 参考答案与解析 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1． 2． 3．690 4． 5．2 6． 7． 8． ‎ ‎9． 10．360 11．0 12． 13． 14．‎ 解析：‎ ‎4．共有12，13，14，15，21，22，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个基本事件，其中31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共12个基本事件，故所求的概率为；‎ ‎6．．‎ ‎7．过时取最大值，．‎ ‎8．得单调递增，恒成立， 恒成立，‎ ‎14．‎ 当且仅当时等号成立 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）， 则的最小值是－2， ‎ ‎ 最小正周期是； ‎ ‎（2），则，‎ ‎ ， ，，‎ ‎，由正弦定理，得，① ‎ 由余弦定理，得，即， ②‎ 由①②解得． ‎ ‎16．（1）证明：在，∵AC=2BC=4， ‎ ‎∴，∴，∴‎ 由已知， ∴‎ 又∵ ‎ ‎（2）证明：取AC的中点M，连结 在，‎ 而，∴直线FM//平面ABE 在矩形中，E、M都是中点，∴‎ 而，∴直线 又∵ ∴‎ 故 ‎ ‎（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）‎ ‎（3）取的中点，连结，则且，‎ 由（1），∴，‎ ‎∵P是BE的中点，∴ ‎ ‎17．解：（1）设电缆所呈现的抛物线方程为，∴‎ ‎∵点的坐标为，则抛物线在点处的切线的斜率为，‎ 又∵直线的斜率为，由题意可得，即 ①‎ ‎∵点在抛物线上，∴ ②‎ 由①②可得，即抛物线方程为．‎ ‎（2）坡面所在直线方程为，作直线轴且分别与抛物线及交于，‎ 则 ‎（当且仅当时取等），‎ 这说明电缆线与坡面的铅直距离的最小值为12米，这个距离大于米，‎ ‎∴这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的．‎ ‎18．解：（1）由题意得， 方程为： ‎ ‎（2）①解法1：当不存在时易得 当存在时，设AB为，，‎ ‎ ‎ OAOB，，‎ 即，，‎ 经检验式 >0，所以点O到直线AB的距离为 解法2：设A，B即B OA=，OB=，AB=，‎ ‎，‎ 同理：，两式相加得：，‎ ②当k不存在或为0时易得 当k存在且不为0时 ‎=AB，‎ 综上 ‎19．解：（1）（法一）在中，令，，‎ 得 即 ‎ 解得，，‎ 又时，满足， ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（法二）是等差数列， ‎ ‎． ‎ 由，得 ， ‎ 又，，则． ‎ ‎(求法同法一)‎ ‎（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，‎ 即需不等式恒成立． ‎ ‎ ，等号在时取得． 此时 需满足． ‎ ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． ‎ 是随的增大而增大， 时取得最小值． ‎ 此时 需满足． ‎ 综合①、②可得的取值范围是．‎ ‎（3）， ‎ 若成等比数列，则，即．‎ 由，可得，即，‎ ‎． ‎ 又，且，所以，此时．‎ 因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列． ‎ 另解：因为，故，即，‎ ‎，（以下同上）．‎ ‎20．解：（1），令得，时，，单调递增； ‎ 时，，单调递减．‎ 综上， 单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）‎ ‎①当时，，单调递减，故不可能有两个根，舍去 ‎②当时，时，，单调递减，‎ 时，，单调递增．所以得．‎ 综上，‎ ‎（3）不妨设，由(1)知时，单调递减． ‎ ‎，等价于 即 存在且，使成立 令，在存在减区间 ‎<0有解，即有解，即 令，，时， ，单调递增，‎ 时， ，单调递减，，‎ ‎．‎ 第II卷 参考答案与解析 ‎21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．‎ ‎（第21-A题）‎ A B P F O E D C ‎·‎ A．选修4—1：几何证明选讲 证明：∵AE=AC，∠CDE＝∠AOC，‎ 又∠CDE＝∠P+∠PDF，∠AOC＝∠P+∠OCP，‎ 从而∠PDF＝∠OCP．‎ 在△PDF与△POC中，‎ ‎∠P＝∠P，∠PDF＝∠OCP，‎ 故△PDF∽△POC． ‎ B．选修4—2：矩阵与变换 ‎ 解： ，即 ，‎ 所以 解得 ‎ 所以．由，得． ‎ 另解： ＝1， ．‎ 另解：，看作绕原点O逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：曲线，曲线 ‎，所以的最大值为8．‎ D．选修4—5：不等式选讲 证明：因为x，y，z都是为正数，所以． ‎ 同理可得，‎ 当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． ‎ 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． ‎ ‎22．解：（1）=0，1，2，3，；‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（2）10次均为反面只有1次，只有1次正面种，只有2次正面且不连续出现有种，只有3次正面且不连续出现有种，只有4次正面且不连续出现有种，只有5次正面且不连续出现有种，6次正面肯定会连续出现 所求概率为．‎ ‎23．解：（1）因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以．‎ 假设的展开式中的第r+1项为常数项（）， ‎ ‎，于是．‎ 设，则有，即，这与矛盾． ‎ 所以假设不成立，即的展开式中不含常数项． ‎ ‎（2）证明：由题设知an=，设m=，‎ 由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，‎ 必须有：对于，满足=0的r无自然数解，‎ 即． ‎ 当d=3k时，． ‎ 故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项．‎