2020版高中数学 第一章排列与排列数公式

2020版高中数学 第一章排列与排列数公式

第1课时　排列与排列数公式 学习目标　1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题．‎ 知识点一　排列的定义 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．‎ 思考　让你安排这项活动需要分几步？‎ 答案　分两步．第1步确定上午的同学；‎ 第2步确定下午的同学．‎ 梳理　一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ 知识点二　排列数及排列数公式 思考　从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？‎ 答案　4×3×2＝24(个)．‎ 梳理 排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 排列数表示法 A 排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)‎ 阶乘式 A＝ 性质 A＝n！，0！＝1‎ 备注 n，m∈N*，m≤n 11‎ ‎1．a，b，c与b，a，c是同一个排列．(　×　)‎ ‎2．同一个排列中，同一个元素不能重复出现．(　√　)‎ ‎3．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(　×　)‎ ‎4．从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．(　×　)‎ 类型一　排列的概念 例1　判断下列问题是否为排列问题：‎ ‎(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；‎ ‎(2)选2个小组分别去植树和种菜；‎ ‎(3)选2个小组去种菜；‎ ‎(4)选10人组成一个学习小组；‎ ‎(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；‎ ‎(6)某班40名学生在假期相互通信．‎ 考点　排列的概念 题点　排列的判断 解　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．‎ ‎(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．‎ ‎(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．‎ ‎(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．‎ ‎(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．‎ 所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．‎ 反思与感悟　判断一个具体问题是否为排列问题的思路 跟踪训练1　判断下列问题是否为排列问题．‎ 11‎ ‎(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？‎ ‎(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?‎ ‎(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？‎ 考点　排列的概念 题点　排列的判断 解　(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．‎ ‎(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．‎ 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；‎ 在双曲线－＝1中，不管a>b还是a13可表示为(　　)‎ A．A B．A C．A D．A 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式计算 答案　B 解析　从(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(个)数，所以根据排列数公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝A.‎ ‎4．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，不同的送法种数为(　　)‎ A．5 B．‎10 C．15 D．20‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 答案　D ‎5．解方程A＝‎140A.‎ 考点　排列数公式 题点　解含有排列数的方程或不等式 解　根据题意，原方程等价于 即 整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，‎ 解得x＝3.‎ ‎1．判断一个问题是否是排列问题的思路 排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．‎ ‎2．关于排列数的两个公式 11‎ ‎(1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．‎ ‎(2)排列数的第二个公式A＝用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N*，m≤n”的运用．‎ 一、选择题 ‎1．A＝9×10×11×12，则m等于(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式计算 答案　B ‎2．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点　排列的概念 题点　排列的判断 答案　B 解析　由排列的定义知①④是排列问题．‎ ‎3．与A·A不相等的是(　　)‎ A．A B．‎81A C．‎10A D．A 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式证明 答案　B 解析　A·A＝10×9×8×7！＝A＝‎10A＝A，‎81A＝‎9A≠A，故选B.‎ ‎4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)‎ A．6 B．‎4 C．8 D．10‎ 考点　排列的概念 题点　列举所有排列 答案　B 解析　列树状图如下：‎ 11‎ 丙甲乙乙甲　乙甲丙丙甲 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．‎ ‎5．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有(　　)‎ A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 答案　C 解析　不同结果有A＝4×3＝12(个)．‎ ‎6．下列各式中与排列数A相等的是(　　)‎ A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m)‎ C. D．AA 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式证明 答案　D 解析　A＝，而AA＝n×＝，‎ ‎∴AA＝A.‎ ‎7．四张卡片上分别标有数字“‎2”‎“‎0”‎“‎1”‎“‎1”‎，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为(　　)‎ A．6 B．‎9 C．12 D．24‎ 考点　排列的概念 题点　列举所有排列 答案　B 解析　这四位数列举为如下：‎ ‎1 012,1 021,1 102,1 120,1 201，‎ ‎1 210,2 011,2 101,2 110，共9个．‎ 二、填空题 ‎8．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．‎ 考点　排列的概念 题点　列举所有排列 答案　12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析　画出树状图如下：‎ 11‎ 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.‎ ‎9．若集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有________个元素．‎ 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式计算 答案　3‎ 解析　由题意知，m＝1,2,3,4，由A＝A，故集合P中共有3个元素．‎ ‎10．满足不等式>12的n的最小值为________．‎ 考点　排列数公式 题点　解含有排列数的方程或不等式 答案　10‎ 解析　＝＝>12，得(n－5)(n－6)>12，‎ 解得 n>9或n<2(舍去)．∴最小正整数n的值为10.‎ ‎11．2017北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________．‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 答案　60‎ 解析　由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．‎ ‎12．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________.‎ 考点　排列的应用 11‎ 题点　无限制条件的排列问题 答案　2‎ 解析　当x≠0时，有A＝24(个)四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，‎ 故24(1＋4＋5＋x)＝288，解得x＝2；‎ 当x＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不符合题意，‎ 综上可知，x＝2.‎ 三、解答题 ‎13．一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 解　由题意可得A－A＝58，‎ 即(n＋2)(n＋1)－n(n－1)＝58，‎ 解得n＝14.‎ 所以原有车站14个，现有车站16个．‎ 四、探究与拓展 ‎14．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　)‎ A．8 B．‎5 C．3 D．0‎ 考点　排列数公式 题点　利用排列数公式计算 答案　C 解析　1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120，而6！＝6×5！，7！＝7×6×5！，…，100！＝100×99×…×6×5！，所以从5！开始到100！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3.‎ ‎15．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？‎ 考点　排列的应用 题点　无限制条件的排列问题 解　对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A 11‎ 的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站．因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列数A＝21×20＝420(种)．所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．‎ 11‎