数学理卷·2019届福建省闽侯第四中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届福建省闽侯第四中学高二上学期期末考试（2018-01）

福建省闽侯第四中学2017-2018学年高二上学期 期末考试试题数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设命题：，，则为（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A．若命题：，，则:，； ‎ B．命题已知，若，则或是真命题； ‎ C．设，则是的充分不必要条件； ‎ D．、，如果，则的否命题是，如果，则 ‎3.直线过点且与抛物线只有一个公共点，这样的直线共有（ ）‎ A．条 B．条 C．条 D．条 ‎ ‎4.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知枚的一元硬币中混有枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为、，则小球落入袋中的概率为（ ）‎ A． B． C. D.‎ ‎7.已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设为坐标原点，动点在圆:上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.已知，分别为双曲线的左，右焦点，点在双曲线上.若，则的面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：① ② ③ ④‎ 其中正确的式子的序号是（ ）‎ A．②③ B．①④ C.①③ D．②④‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.为了了解2000年学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为的样本，若第一组抽出的号码为，则第五组抽出的号码为 ．‎ ‎14.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和是，则椭圆的方程是 ．‎ ‎15.如图，椭圆的中心在坐标原点，顶点分别是、、、，焦点分别为、，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是 ．‎ ‎16.过轴上定点的动直线与抛物线交于、两点，若为定值，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和. ‎ ‎18.高二某班共有名男生，在一次体验中这名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：）的茎叶图如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；‎ ‎（2）从该班身高超过的名男生中随机选出名男生参加校篮球队集训，求这名男生至少有人来自第二组的概率；‎ ‎（3）在两组身高位于（单位：）的男生中各随机选出人，设这人中身高位于（单位：）的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19.已知点与点的距离比它的直线：的距离小.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2），是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由.‎ ‎20.已知动圆过定点且与定直线：相切，动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点作倾斜角为的直线，交曲线于，两点，求的面积.‎ ‎21.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面 ‎（2）已知，，求二面角的余弦值. ‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，点在线段上，且满足.‎ ‎（1）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程是（为参数），其中.与交于点，，求直线的斜率.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBCCD 6-10:DCBBC 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为，，成等差数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，因为数列是等比数列，所以，‎ 又，所以，所以数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎.‎ 故.‎ ‎18.（1）第一组学生身高的中位数为，‎ 第二组学生身高的中位数为；‎ ‎（2）记“这名男生至少有人来自第二组”为事件，‎ ‎，‎ 这名男生至少有人来自第二组的概率为；‎ ‎（3）的可能取值为，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎19.（1）由题意知动点到的距离比它到直线：的距离小，即动点到的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，则点的轨迹方程为；‎ ‎（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为，‎ 设直线的方程为，，联立方程 ‎，消去，可得，‎ 即，‎ ‎，，，‎ 由题意知，即，则，‎ ‎，，，‎ 直线的方程为，‎ 直线过定点，且定点坐标为；‎ 法二：假设存在定点，设定点，，， ‎ ‎，，，‎ 又、在抛物线上，即，代入上式，可得，‎ ‎，‎ 又、、三点共线，， ，‎ 假设成立，直线经过轴的定点，坐标为.‎ ‎20.解：（1）依题意知，点到定点和直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线的方程为，由，得，故曲线的方程为. ‎ ‎（2）直线的方程为，‎ 由消去整理得，‎ 设，，则，‎ ‎.‎ 所以，的面积为.‎ ‎21.解：（1）由，长轴长为 得：，所以 椭圆方程为 ‎（2）设，，由(1)可知椭圆方程为①，‎ 直线的方程为②‎ 把②代入①得化简并整理得 ‎，‎ 又 ‎22.（1）设点的极坐标，点的极坐标，‎ 由题意知，‎ 由得曲线的极坐标方程为，‎ 点的轨迹的直角坐标方程为；‎ ‎（2）法一：由直线的参数方程可知，直线过原点且倾角为，‎ 则直线极坐标方程为，联立 ‎，，‎ ‎，，‎ 或，或，直线的斜率为或；‎ 法二：由题意分析可知直线的斜率一定存在，且由直线的参数方程可得，直线过原点，设直线的普通方程为，‎ 到的距离，可得，‎ 直线的斜率为或.‎