2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1

1.5.2 　全称量词命题和存在量词命题的否定 必备知识 · 自主学习 1. 全称量词命题的否定 全称量词命题 p ﹁ p 结论 ∀x∈M ， p(x) _________________ 全称量词命题的 否定是存在量词命题　　 ∃x∈M ， ﹁ p(x) 2. 存在量词命题的否定 存在量词命题 p ﹁ p 结论 ∃x∈M ， p(x) ________________ 存在量词命题的 否定是全称量词命题 ∀x∈M ， ﹁ p(x) 【 思考 】 对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定？ 提示： 对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时，可先根据题意补上适当的量词，再对命题进行否定 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的 . ( 　　 ) (2)∃x∈M ， p(x) 与∀ x∈M ， ﹁ p(x) 的真假性相反 . ( 　　 ) (3) 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 不唯一，如 “ 所有的菱形都是平行四边形 ” ，它的否定是 “ 存在一个菱形不是平行四边形 ” ，也可以是 “ 有些菱形不是平行四边形 ” . (2)√. 任意一个命题与其否定只能是一真一假 . (3)×. 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，先对量词进行变化，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论 . 2. 命题“∀ x∈N ， x 2 >1” 的否定为 ( 　　 ) 　 A.∀x∈N ， x 2 ≤1 B.∃x∈N ， x 2 ≤1 C.∀x∈N ， x 2 <1 D.∃x∈N ， x 2 <1 【 解析 】 选 B. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以，命题 “ ∀ x∈N ， x 2 >1 ” 的否定为 “ ∃ x∈N ， x 2 ≤1 ” . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 命题“∃ x∈R ， x 2 +2x+3=0” 的否定是 _______.  【 解析 】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题 “ ∃ x∈R ， x 2 +2x+3=0 ” 的否定是 “ ∀ x∈R ， x 2 +2x+3≠0 ” . 答案： ∀ x∈R ， x 2 +2x+3≠0 关键能力 · 合作学习 类型一　全称量词命题的否定 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 辽阳高一检测 ) 命题“∀ x∈Z ， x∈R” 的否定是 ( 　　 ) A.∀x∈Z ， x∉R B.∃x∈Z ， x∈R C.∀x∉Z ， x∉R D.∃x∈Z ， x∉R 2.(2020· 北京高一检测 ) 命题“∀ x∈A ， |x|+1≥1” 的否定是 _______.  3. 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R ， 1- ≤1. (2) 所有的正方形都是矩形 . (3) 对任意 x∈Z ， x 2 的个位数字不等于 3. (4) 正数的绝对值是它本身 . 【 解析 】 1. 选 D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，所以 “ ∀ x∈Z ， x∈R ” 的否定是∃ x∈Z ， x∉R. 2. 命题 “ ∀ x∈A ， |x|+1≥1 ” 是全称量词命题，它的否定是 “ ∃ x∈A ， |x|+1<1 ” . 答案： ∃ x∈A ， |x|+1<1 3.(1) 该命题的否定：∃ x∈R ， 1- >1 ， 因为∀ x∈R ， ≥ 0 ，所以 - ≤0 ， 1- ≤1 恒成立，所以这是一个假命题 . (2) 该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题 . (3) 该命题的否定：至少存在一个 x∈Z ， x 2 的个位数等于 3 ，因为 0 2 =0 ， 1 2 =1 ， 2 2 =4 ， 3 2 =9 ， 4 2 =16 ， 5 2 =25 ， 6 2 =36 ， 7 2 =49 ， 8 2 =64 ， 9 2 =81 ， … ，所以这是一个假命题 . (4) 该命题省略了量词 “ 所有的 ” ，该命题是全称量词命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身 . 这是一个假命题 . 【 解题策略 】 1. 对全称量词命题否定的两个步骤 (1) 改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词 . (2) 否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等 . 2. 全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可 . 【 拓展延伸 】 　　　常见的词语的否定： 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 【 拓展训练 】 已知全集 U=R ， A⊆U ， B⊆U ，如果命题 p ： ∈ (A∪B) ，则命题 ﹁ p 是 __________________.  【 解析 】 因为 p ： ∈ (A∪B) ， 所以 ﹁p ： ∉ A 且 ∉ B ， 即 ﹁p ： ∈ (∁ U A)∩(∁ U B). 答案： ∈ (∁ U A)∩(∁ U B) 【 补偿训练 】 1. 设 x∈Z ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集 . 已知命题∀ x∈A ， 2x∈B ，则该命题的否定是 ( 　　 ) A.∃x∈A ， 2x∈B B.∃x∉A ， 2x∈B C.∃x∈A ， 2x∉B D.∃x∉A ， 2x∉B 【 解析 】 选 C. “ ∀x∈A ， 2x∈B ” 是全称量词命题，它的否定是 “ ∃ x∈A ， 2x∉B ” . 2. 写出下列全称量词命题的否定： (1) 对所有正数 x ， >x+1. (2)∀x∈R ， x 3 +1≠0. (3) 所有被 5 整除的整数都是奇数 . (4) 每一个四边形的四个顶点共圆 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定：存在正数 x ， ≤ x+1. (2) 该命题的否定：∃ x∈R ， x 3 +1=0. (3) 该命题的否定：存在一个被 5 整除的整数不是奇数 . (4) 该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 . 类型二　存在量词命题的否定 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 命题“∃ x∈ ∁ R Q ， x 3 ∈Q” 的否定是 ( 　　 ) 　　　 A.∃x∈ ∁ R Q ， x 3 ∉Q B.∃x∉ ∁ R Q ， x 3 ∈Q C.∀x∉ ∁ R Q ， x 3 ∉Q D.∀x∈ ∁ R Q ， x 3 ∉Q 2. 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假： (1) 有些分数不是有理数 . (2)∃x ， y∈Z ， 3x-4y=20. (3) 在实数范围内，有些一元二次方程无解 . (4) 有些梯形的对角线相等 . 【 思路导引 】 1. 存在量词改为全称量词，属于改为不属于 . 2. 先把存在量词改为全称量词，再否定结论 . 【 解析 】 1. 选 D. 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题 “ ∃ x∈ ∁ R Q ， x 3 ∈Q ” 的否定是 “ ∀ x∈ ∁ R Q ， x 3 ∉Q ” . 2.(1) 该命题的否定：任意分数都是有理数，这是一个真命题 . (2) 该命题的否定：∀ x ， y∈Z ， 3x-4y≠20 ，当 x=4 ， y=-2 时， 3x-4y=20. 因此这是一个假命题 . (3) 该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个 假命题 . (4) 该命题的否定：所有梯形的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等， 因此这是一个假命题 . 【 解题策略 】 1. 对存在量词命题否定的两个步骤 (1) 改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词 . (2) 否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等 . 2. 存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可 . 【 题组训练 】 1. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( 　　 ) A.∀x∈R ， |x|>0 B.∃x∈R ， |x|>0 C.∀x∈R ， |x|≤0 D.∃x∈R ， |x|≤0 【 解析 】 选 C. “ 有些实数的绝对值是正数 ” 的否定是 “ ∀ x∈R ， |x| ≤0 ” . 2. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1) 某些梯形的对角线互相平分 . (2)∃x∈{x|x 是无理数 } ， x 2 是无理数 . (3) 在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等 . (4) 存在 k∈R ，函数 y=kx+b 随 x 值的增大而减小 . 【 解析 】 (1) 假命题 . 该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分 . (2) 真命题 . 该命题的否定为：∀ x∈{x|x 是无理数 } ， x 2 是有理数 . (3) 假命题 . 该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等 . (4) 真命题 . 该命题的否定为：任意 k∈R ，函数 y=kx+b 不随 x 值的增大而减小 . 【 补偿训练 】 　 　写出下列存在量词命题的否定，并判断真假 . (1) 有一个奇数不能被 3 整除 . (2)∃x∈Z ， x 2 与 3 的和等于 0. (3) 有些三角形的三个内角都为 60°. (4) 存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定为：每一个奇数都能被 3 整除 . 假命题 . (2) 该命题的否定为：∀ x∈Z ， x 2 与 3 的和不等于 0. 真命题 . (3) 该命题的否定为：任意一个三角形的三个内角不都为 60°. 假命题 . (4) 该命题的否定为：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 . 真命题 . 类型三　含有一个量词命题的否定的综合问题 ( 逻辑推理 ) 角度 1 　含有一个量词命题的否定  【 典例 】 写出下列命题的否定，并判断真假： (1) 被 8 整除的数能被 4 整除； (2)∀x∈Q ， x 2 + x+1 是有理数； (3)∃x∈R ， x 2 +2x+3≤0 ； (4) 至少有一个实数 x ，使 x 3 +1=0. 【 思路导引 】 一方面改量词，另一方面否定结论 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定：存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除，这是一个假命题 . (2) 该命题的否定：∃ x∈Q ， x 2 + x+1 不是有理数，这是一个假命题 . (3) 该命题的否定：∀ x∈R ， x 2 +2x+3>0. 因为∀ x∈R ， x 2 +2x+3=(x+1) 2 +2≥2>0 恒成立，所以这是一个真命题 . (4) 该命题的否定：∀ x∈R ， x 3 +1≠0. 因为当 x=-1 时， x 3 +1=0 ，所以这是一个假命题 . 【 变式探究 】 把本例 (1) 的命题改为“所有能被 3 整除的整数都是奇数”，结果又如何？ 【 解析 】 该命题的否定：存在一个能被 3 整除整数不是奇数 . 因为 6 能被 3 整除且不是奇数 . 所以这是一个真命题 . 角度 2 　知命题真假求参数的范围  【 典例 】 命题“存在 x>a ，使得 2x+a<3” 是假命题，求实数 a 的取值构成的集合 . 【 思路导引 】 根据已知命题的否定是真命题，列不等式求实数 a 的取值构成的集合 . 【 解析 】 命题 “ 存在 x>a ，使得 2x+a<3 ” 是假命题， 所以此命题的否定 “ 任意 x>a ，使得 2x+a≥3 ” 是真命题，因为对任意 x>a 有 2x+a>3a ，所以 3a≥3 ， 解得 a≥1. 所以实数 a 的取值范围是 { a|a≥1}. 【 解题策略 】 1. 含有一个量词命题的否定的步骤与方法 (1) 确定类型：是存在量词命题还是全称量词命题 . (2) 改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词 . 注意无量词的全称命题要先补回量词再否定 . (3) 否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等 . 2. 知命题真假求参数的范围的两个关注点 (1) 命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化 . (2) 求参数范围问题，通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围 . 【 题组训练 】 1. 命题“∃ x>0 ， x+a-1=0” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　 A.{a|a ＜ 1} B.{a|a≤1} C.{a|a ＞ 1} D.{a|a≥1} 【 解析 】 选 D. 命题 “ ∃ x>0 ， x+a-1=0 ” 是假命题，所以此命题的否定为 “ ∀ x>0 ， x+a-1≠0 ” ，即∀ x>0 ， x≠1-a. 所以 1-a≤0 ，即 a≥1. 所以实数 a 的取值范围是 . 2. 写出下列命题的否定，并判断真假： (1)∃x∈{-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2} ， |x-2|<2. (2) 对所有的正实数 p ， 0 或 x-b≤0” ，其中 a ， b 是常数 . (1) 写出命题 p 的否定 . (2) 当 a ， b 满足什么条件时，命题 p 的否定为真？ 【 解析 】 (1) 命题 p 的否定：对任意实数 x ，有 x-a≤0 且 x-b>0. (2) 要使命题 p 的否定为真， 则需要使 的解集不为空集， 所以 a ， b 应满足的条件是 b3” 的否定是 _______.  【 解析 】 全称量词命题的否定是存在量词命题，全称量词 “ 任意 ” 改为存在量词 “ 存在 ” ，并把结论否定 . 答案： ∃ x∈R ，使得 |x-2|+|x-4|≤3 4.( 教材二次开发：练习改编 ) 命题“∃ x∈Q ， x 2 =5” 的否定是 _______ ， 该命题的否定是 _______ 命题 .( 填“真”或“假” )  【 解析 】 “ ∃x∈Q ， x 2 =5 ” 的否定是 “ ∀ x∈Q ， x 2 ≠5 ” . 因为由 x 2 =5 解得 x=± ∉Q ，所以该命题的否定是真命题 . 答案： ∀ x∈Q ， x 2 ≠5 　真 5. 设集合 A={1 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ，试写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：∀ n∈A ， n<12. (2)q ：∃ x∈{x|x 是奇数 } ， x∈A. 【 解析 】 (1) ﹁p ：∃ n∈A ， n≥12. 因为当 n=12 时， ﹁p 成立，所以 ﹁p 是真命题 . (2) ﹁q ：∀ x∈{x|x 是奇数 } ， x∉A. ﹁q 是假命题 .