【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题02函数的性质及应用学案
专题二 函数的性质及应用
【函数的单调性】
单调性的定义：
1、对于给定区间 D 上的函数 f（x），若对于任意 x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有 f（x1）＜
f（x2），则称 f（x）是区间上的增函数；当 x1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f
（x）是区间 D 上的减函数。
2、如果函数 y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数 y=f（x）在区间 D 上具有（严
格的）单调性，区间 D 称为函数 f（x）的单调区间。如果函数 y=f（x）在区间 D 上是增函
数或减函数，区间 D 称为函数 f（x）的单调增或减区间
【函数的奇偶性】
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）=f（x），则
称函数 f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）＝-f（x），
那么函数 f（x）是奇函数。
【指数函数的图象与性质】
指数函数 y=ax（a＞0，且 a≠1）的图象和性质：
0
1
图像
定义域 R
值域 （0，+∞）
图像 恒过定点 图像恒过定点（0,1），即当 x 等于 0 时，y=1
单调性 在（-∞，+∞）上是减函数 在（-∞，+∞）上是增函数
当 x<0 时，y>1 当 x<0 时，00 时，00 时，y>1
【对数函数的定义】
一般地，我们把函数 y=logax（a＞0，且 a≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定
义域是（0，+∞），值域是 R。
对数函数的解析式：
y=logax（a＞0，且 a≠1）
在解有关对数函数的解析式时注意：
在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的
取值范围。
【2017 年高考全国 1 卷，文】
已知函数 ，则
A． 在（0，2）单调递增 B． 在（0，2）单调递减
C．y= 的图像关于直线 x=1 对称 D．y= 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【考点】函数性质
【点拨】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的
图像有对称轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有
( ) ln ln(2 )f x x x= + −
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
( )f x x D∀ ∈ x D∀ ∈ ( ) ( )f a x f b x+ = −
2
a bx
+= ( )f x x D∀ ∈ x D∀ ∈
，那么函数 的图像有对称中心 ．
答题思路
【命题意图】这类问题主要考查函数的性质及其应用，重点以指数函数、对数函数的性质及
其应用为主.综合考查函数的单调性、奇偶性、对称性等.与方程、不等式等相互联系，意在
考查考生的分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思考以及运算求解能力.
【命题规律】对于函数性质的考查，一般不单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、单调性、
对称性的综合考查，以指数函数、对数函数或相关分段函数为载体，主要考查学生的综合能
力、创新能力、视图用图的数形结合能力.多以选择题或填空题的形式考查，难度以低、中
档为主，偶有高档题目．
常见的命题角度有：
(1)求函数的定义域；
(2)比较函数值的大小；
(3)简单方程、不等式的解法；
(4)指数函数、对数函数的综合问题．
【答题模板】
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自
变量的取值范围．
【方法总结】
（1）应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算
求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.
(2)当给出函数值或函数值的范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析
式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值
范围.
（3）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转
化到同一个单调区间上进行比较，更为复杂的问题，常借助 1，0，-1 等中间量作为媒介进
行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
( ) ( )f a x f b x− = − + ( )f x ( ,0)2
a b+
（4）与指数函数、对数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数、对数函
数的图象，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，要注意底数 a＞1 和 0＜a＜1 的两种不
同情况.
（5）有些与方程、不等式有关的复杂问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是
数形结合思想的重要体现.
1.【2017 年高考北京卷，文数】已知函数 ，则
（A）是偶函数，且在 R 上是增函数
（B）是奇函数，且在 R 上是增函数
（C）是偶函数，且在 R 上是减函数
（D）是奇函数，且在 R 上是增函数
【答案】B
【解析】
试题分析： ，所以函数是奇函数，并且
是增函数，
【点拨】
2．【2017 年高考全国Ⅰ，文数 9】已知函数 ，则
A． 在（0，2）单调递增 B． 在（0，2）单调递减
C．y= 的图像关于直线 x=1 对称 D．y= 的图像关于点（1，0）对
称
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意知， ，所以 的图象关于直线
1( ) 3 ( )3
x xf x = − ( )f x
( ) ( )1 13 33 3
x x
x xf x f x
−
− − = − = − = − 3x
1
3
x
( ) ln ln(2 )f x x x= + −
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
(2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x =
对称，C 正确，D 错误；又 （ ），在 上单调递增，
在 上单调递减，A，B 错误，故选 C．
【考点】函数性质
【点拨】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的
图象有对称轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有
，那么函数 的图象有对称中心 ．
3.【2017 年高考全国Ⅱ卷，文数 3】函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意 ，故选 C.
【考点】正弦函数周期
【点拨】函数 的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4) 由 求 增 区 间 ; 由
求减区间;
4.【2017 四川资阳 4 月模拟】已知 ， ，下列不等式成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由指数函数 单调递减可得： ，选项 错误；
由幂函数 单调递增可得： ，选项 错误；
1 1 2(1 )'( ) 2 (2 )
xf x x x x x
−= − =− − 0 2x< < (0,1)
[1,2)
( )f x x D∀ ∈ x D∀ ∈ ( ) ( )f a x f b x+ = −
2
a bx
+= ( )f x x D∀ ∈ x D∀ ∈
( ) ( )f a x f b x− = − + ( )f x ( ,0)2
a b+
π( ) sin(2 )3f x x= +
4π 2π π π
2
2
2T
π π= =
sin( ) (A 0, 0)y A x Bω ϕ ω= + + > >
max min= +y A B y A B= −，
2 .T
π
ω=
π π( )2x k kω ϕ+ = + ∈Z
π π2 π 2 π( )2 2k x k kω ϕ− + ≤ + ≤ + ∈Z
π 3π2 π 2 π( )2 2k x k kω ϕ+ ≤ + ≤ + ∈Z
0 1c< < 1a b> >
a bc c> c ca b< a b
a c b c
>− − log loga bc c>
( ) xf x c= a bc c< A
( ) cf x x= c ca b> B
，选项 错误；
本题选择 D 选项.
5.【2017 河北五邑四模】已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6.【2017 三湘名校联盟三次大联考】已知 且 ，函数 满足
， ，则 （ ）
A. -3 B. -2 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】由 ， 可得 ，可得 ，那么
．故本题选 ．
7. 【2017 宁夏中卫二模】若函数 （ 且 ）过定点 ，且
在定义域 上是减函数，则 的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可以知道 ,计算得出 ,所以 ,又因为是减函
数,所以 .此时 也是单调减的,且过点 .所以 A 选项是
正确的符合题意.所以 A 选项是正确的.
8.【2017 陕西咸阳模拟三】若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
( ) 1x kf x a −= −
( )
( )( ) 0,c b aa b a b
a c b c a c b c a c b c
−− = < ∴ <− − − − − − C
lnx x= 5log 2y = 0.5z e−=
x y z< < x z y< < z y x< < y z x< <
0a > 1a ≠ ( ) 1
3
log , 0
{
, 0x
x x
f x
a b x
>
=
+ ≤
( )0 2f = ( )1 3f − = ( )( )3f f − =
( )0 2f = ( )1 3f − = 11 2, 3b a b−+ = + = 1 , 12a b= =
( )( ) ( )3
1
3
13 1 9 log 9 22f f f f
− − = + = = = −
B
0a > 1a ≠ ( )2,0
( )f x R ( ) ( )logag x x k= +
( )2 0f = 2k = ( ) 2 1xf x a −= −
0 1a< < ( ) ( )log 2ag x x= + ( )1,0−
1
47
9a
− =
1
59
7b = 2
7log 9c =
b a c< < b c a< < c a b< < c b a< <
【解析】解：由题意可知： ，据此有： .
本题选择 D 选项.
9．【2017 河北武邑三模】定义在 上的函数 满足 ，则
（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A
10.【2017 福建漳州 5 月质检】已知函数 ，若 ，则
（ ）
A. -1 B. -4 C. -9 D. -16
【答案】B
【解析】当 时，函数值非正，据此可得 ，即： ，由
可知： ，则 .本题选择 B 选项.
11．【2017 安徽黄山二模】函数 与 的图象上存在
关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】去特殊值法：当 时，函数 与 的图象
上存在关于 轴对称的点，则 ，当 =
，得 有解即可，令： ，显然
为递增函数，当 ，所以必然有解，所
1,0 1, 0a b c> < < < c b a< <
R ( )f x ( ) ( )
( )2log 8 , 0{ 1 , 0
x xf x f x x
− ≤= − >
( )3f =
2log 9 2log 7
( ) ( )
1
2
2 , 1
={
2 , 1
x x
f x
x x
− ≤
− − >
( ) 1
4f m =
( )1f m− =
1x > 1m ≤ 1 12 34
m m− = ⇒ = ± 1m ≤
3m = ( ) ( ) ( )21 4 4 2 4f m f− = = − − = −
( ) ( )
( 0)
{
0
lnx x
f x
x x
>
=
− − ≤
( ) 1g x x a= + +
y a
R ( ], e−∞ −
[ ),e +∞ ∅
a e= ( ) ( )
( 0)
{
0
lnx x
f x
x x
>
=
− − ≤
( ) 1g x x a= + +
y ( ) ( )f x g x= − 0 ( ) lnx f x x> ⇒ =
1 1x e x e− + − = − − − ln 1 0x x e+ + + = ( ) ln 1h x x x e= + + +
( )h x 0 ( ) , ( )x f x x f x→ ⇒ → −∞ → +∞ ⇒ → +∞
以 成立.
当 且 时， ，而 显然
为增函数，所以有最大值在 0 处取得为 0，而 ，所以不存在有解，所以不成立，综
合的只能选择 C
12.【2016 年高考全国Ⅰ卷，文 9】函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：函数 f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于 轴对称，因为
，所以排除 选项；当 时， 有
一零点，设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函
数．故选 D.
【考点】函数的图像与性质
【点拨】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题
目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般
是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.
13.【2016 年高考北京卷，文 4】下列函数中，在区间 上为减函数的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：由 在 上单调递减可知 D 符合题意，故选 D.
( 1,1)−
1
1y x
= − cosy x= ln( 1)y x= + 2 xy −=
12 ( )2
x xy −= = R
a e=
a e= − 0x ≤ 1 1 1x x e x e x x e− − = − − − = − − ⇒ + − = + x x+ −
1 0e+ >
y
2 2(2) 8 e ,0 8 e 1f = − < − < A,B [ ]0,2x∈ ( ) = 4 exf x x′ −
0x 0(0, )x x∈ ( )f x 0( 2)x x ,∈ ( )f x
【考点】函数单调性
【点拨】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)
函数；
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区
间上有相反的单调性.
