2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二上学期期中考试数学理试题

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2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二上学期期中考试数学理试题

‎2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二上学期期中考试 数 学 ‎(理科)‎ ‎(全卷满分:90分 完成时间:100分钟)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共50分)‎ 一 、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是(  )‎ A. (1,1,1) B.(1,0,1) C. (1,0,0) D.(1,1,0)‎ ‎2.双曲线的渐近线方程是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3.与直线l:3x-5y+4=0关于原点对称的直线的方程为(  )‎ A.3x+5y+4=0 B.3x-5y-4=0 C.5x-3y+4=0 D.5x+3y+4=0‎ ‎4.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分别为(  )‎ A.3, -11 B.-3, -11 C.11, -3 D.11, 3‎ ‎5. 设点,若直线与线段没有交点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,点N(2,0),设A为圆上任一点,线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎7.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(  )‎ A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- ‎9.点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点.若点到抛物线的准线的距离为,则双曲线的离心率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点; ‎ ‎②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是相切的. ‎ ‎③设A、B为两个定点,k为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点P的轨迹为双曲线;‎ ‎④过定圆C上一点A作圆的动弦AB,O为原点,若则动点P的轨迹为椭圆.其中正确的个数是( )‎ A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个 ‎11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(  )‎ A. B.3 C. D.2 ‎ ‎12.已知圆C的方程,P是椭圆上一点,过P作圆的两条切线,切点为A、B,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题, 共100分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在题中横线上)‎ ‎13.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则x= .‎ ‎14.不论k为何实数,直线(2k﹣1)x﹣(k+3)y﹣(k﹣11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是 .‎ ‎15.已知直线l经过点P,且被圆截得的弦长为8,则直线l的方程是________________.‎ ‎16.已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知直线l1:2x+y+2=0;l2:mx+4y+n=0.‎ ‎(Ⅰ)若l1⊥l2,求m的值.‎ ‎(Ⅱ)若l1∥l2,且他们的距离为,求m,n 的值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某研究所计划利用“神十”‎ 宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载若干件新产品A、B,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排,有关数据如下表:‎ 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载 费用之和(万元)‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大资金额 ‎300万元 产品重量(千克)‎ ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载重量110千克 预计收益(万元)‎ ‎80‎ ‎60‎ 分别用x,y表示搭载新产品A,B的件数. 总收益用Z表示 ‎(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件,才能使总预计收益达到最大?并求出此最大收益.‎ y ‎20‎ ‎0‎ x ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知圆心在直线y=4x上,且与直线l:x+y-2=0相切于点P(1,1)‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(II)直线kx-y+3=0与该圆相交于A、B两点,若点M在圆上,且有向量 (O为坐标原点),求实数k.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线C:y2=2px(p>0),上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2,‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;并求其准线方程;‎ ‎(II)已知A (1 , -2),是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1、F2,离心率,P为椭圆E上的任意一点(不含长轴端点),且△PF1F2面积的最大值为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程; ‎ ‎(Ⅱ)已知直线与椭圆E交于不同的两点,且线段的中点不在圆内,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图,O为坐标原点,椭圆C1:的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2,已知e1e2=,且|F2F4|=﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求C1、C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.‎ 成都市”五校联考”高2015级第三学期期中试题 数学(理科)答案 一 、选择题 ‎1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题 ‎13. 3 14. (2,3) 15. x+4=0或4x+3y+25=0 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:.‎ ‎.……………………5分 ‎.,‎ ‎,..……………………10分 ‎18. 解析:(Ⅰ)解:由已知满足的数学关系式为,且,,该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.‎ ‎……………………6分 ‎(Ⅱ)解:设最大收益为万元,则目标函数.‎ 作出直线并平移,由图象知,‎ 当直线经过M点时,能取到最大值,‎ 由 解得且满足,即是最优解,‎ 所以(万元),‎ 答:搭载A产品9件,B产品4件,能使总预计收益达到最大值,最大预计收益为960万元.……………………12分 ‎19. 解:(1)设圆的方程为 因为直线相切,圆心到直线的距离,且圆心与切点连线与直线l垂直 可得a=0,r=,所以圆的方程为:…………………6分 ‎(2)直线与圆联立:,得:,‎ Δ=,解得.设A() B(),,‎ M()代入圆方程:‎ ,求得k=……………………………………12分 ‎20. 解:(Ⅰ)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,‎ 由抛物线的定义可知:|MF|=1﹣(﹣)=2,解得p=2,‎ 因此,抛物线C的方程为y2=4x;其准线方程为.………………5分 ‎(Ⅱ)假设存在符合题意的直线l ,其方程为y=-2x + t ,(OA的方程为:y=-2x)‎ 由,得y2 +2 y -2 t=0. ………………7分 因为直线l与抛物线C有公共点,所以得Δ=4+8 t,解得t ≥-1/2 . ………………8分 另一方面,由直线OA与l的距离d=,可得,解得t=±1. ………………10分 因为-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞),所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎………………12分 ‎21. 解:‎ ‎(Ⅰ)由题可知,又a2=b2+c2,‎ ‎∴,故------3分 所以椭圆的标准方程为 ----------4分 ‎ ‎ ‎22. 解:(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,‎ 从而F2(b,0),F4(b,0),于是b-b=|F‎2F4|=-1,‎ 所以b=1,a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1 …………5分 ‎(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1,‎ 由得(m2+2)y2-2my-1=0. …………6分 易知此方程的判别式大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.‎ 因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点为M,‎ 故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0. …………8分 由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,‎ 从而|PQ|=2=2. …………9分 设点A到直线PQ的距离为d,‎ 则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=.‎ 因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,‎ 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.‎ 又因为|y1-y2|==,所以2d=.‎ 故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2·. ……10分 而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取最小值2.‎ 综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2 …………12分
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