解一元二次方程　　导学案

解一元二次方程　　导学案

‎21.2　解一元二次方程 ‎21.2.1　配方法(1)‎ ‎1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．‎ ‎2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．‎ 重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．‎ 难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？‎ 设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：‎ ‎__10×6x2＝1500__，‎ 由此可得__x2＝25__，‎ 根据平方根的意义，得x＝__±5__，‎ 即x1＝__5__，x2＝__－5__．‎ 可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.‎ 探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?‎ 方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±__，即将方程变为__2x－1＝和__2x－1＝－__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．‎ 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．‎ 方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__.‎ 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±.‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)‎ 解下列方程：‎ ‎(1)2y2＝8；　　　　　　　(2)2(x－8)2＝50；‎ ‎(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.‎ 解：(1)2y2＝8，　　　　　　(2)2(x－8)2＝50，‎ ‎　y2＝4，　　　　　　　　(x－8)2＝25，‎ ‎　y＝±2，　　　　　　　　x－8＝±5，‎ ‎　∴y1＝2，y2＝－2；　　x－8＝5或x－8＝－5，‎ ‎　　　　　　　　　　∴x1＝13，x2＝3；‎ 8‎ ‎(3)(2x－1)2＋4＝0，　　　(4)4x2－4x＋1＝0，‎ ‎　 (2x－1)2＝－4<0，　　　(2x－1)2＝0，‎ ‎　 ∴原方程无解；　　　　　　2x－1＝0，‎ ‎　　　　　　　　　　　∴x1＝x2＝.‎ 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)‎ ‎1．用直接开平方法解下列方程：‎ ‎(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；‎ ‎(3)9n2－24n＋16＝11.‎ 解：(1)；(2)－1±2；(3).‎ 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．‎ ‎2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．‎ 解：±1.‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)‎ 用直接开平方法解下列方程：‎ ‎(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；‎ ‎(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；‎ ‎(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；‎ ‎(7)x2＋2x＋1＝4.‎ 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－；‎ ‎　(2)x1＝2＋，x2＝2－；‎ ‎　(3)x1＝－1，x2＝；‎ ‎　(4)x1＝，x2＝－；‎ ‎　(5)x1＝，x2＝－；‎ ‎　(6)x1＝0，x2＝－10；‎ ‎　(7)x1＝1，x2＝－3.‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ ‎1．用直接开平方法解一元二次方程．‎ ‎2．理解“降次”思想．‎ ‎3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ 8‎ ‎21.2.1　配方法(2)‎ ‎1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．‎ ‎2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．‎ 重点：掌握配方法解一元二次方程．‎ 难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．‎ ‎(2分钟)‎ ‎1．填空：‎ ‎(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；‎ ‎(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；‎ ‎(3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2.‎ ‎2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．‎ 一、自学指导．(10分钟)‎ 问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？‎ 设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．‎ 探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?‎ 对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？‎ 解：移项，得x2＋6x＝16，‎ 两边都加上__9__即__()2__，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得 ‎__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，‎ 左边写成平方形式，得 ‎__(x＋3)2＝25__，‎ 开平方，得 ‎__x＋3＝±5__，　　(降次)‎ 即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，‎ 解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．‎ 归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．‎ 问题2：解下列方程：‎ ‎(1)3x2－1＝5；　　　(2)4(x－1)2－9＝0；‎ ‎(3)4x2＋16x＋16＝9.‎ 8‎ 解：(1)x＝±；(2)x1＝－，x2＝；‎ ‎(3)x1＝－，x2＝－.‎ 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：‎ ‎(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；‎ ‎(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；‎ ‎(3)方程两边同时除以二次项系数a；‎ ‎(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；‎ ‎(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)‎ ‎1．填空：‎ ‎(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；‎ ‎ (2)x2－x＋____＝(x－____)2；‎ ‎(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.‎ ‎2．解下列方程：‎ ‎(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；‎ ‎(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.‎ 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，‎ 配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，‎ 由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5.‎ ‎(2)移项，得2x2＋6x＝－2，‎ 二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，‎ 配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，‎ 由此可得x＋＝±，即x1＝－，‎ x2＝－－.‎ ‎(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，‎ ‎　 移项得x2＋4x＝1，‎ ‎　 配方得(x＋2)2＝5，‎ x＋2＝±，即x1＝－2，x2＝－－2.‎ 点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)‎ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？‎ 8‎ 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：‎ (8－x)(6－x)＝××8×6，‎ 即x2－14x＋24＝0，‎ ‎(x－7)2＝25，‎ x－7＝±5，‎ ‎∴x1＝12，x2＝2，‎ x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．‎ 答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．‎ 点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)‎ ‎1．用配方法解下列关于x的方程：‎ ‎(1)2x2－4x－8＝0；　　　　(2)x2－4x＋2＝0；‎ ‎(3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.‎ 解：(1)x1＝1＋，x2＝1－；‎ ‎(2)x1＝2＋，x2＝2－；‎ ‎(3)x1＝＋，x2＝－；‎ ‎(4)x1＝，x2＝－.‎ ‎2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值．‎ 解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.‎ ‎∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝.‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ ‎1．用配方法解一元二次方程的步骤．‎ ‎2．用配方法解一元二次方程的注意事项．‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ ‎21.2.2　公式法 8‎ ‎1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．‎ ‎2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．‎ 重点：求根公式的推导和公式法的应用．‎ 难点：一元二次方程求根公式的推导．‎ ‎(2分钟)‎ 用配方法解方程：‎ ‎(1)x2＋3x＋2＝0；　　　　(2)2x2－3x＋5＝0.‎ 解：(1)x1＝－2，x2＝－1；　(2)无解．‎ 一、自学指导．(8分钟)‎ 问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？‎ 问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝.‎ 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．‎ 探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：‎ ‎(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．‎ ‎(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．‎ ‎(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．‎ ‎(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．‎ ‎(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.‎ 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)‎ ‎　用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？‎ ‎(1)2x2－3x＝0；　　　　(2)3x2－2x＋1＝0；‎ ‎(3)4x2＋x＋1＝0.‎ 解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；‎ ‎　(2)x1＝x2＝；有两个相等的实数根；‎ ‎　(3)无实数根．‎ 点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．‎ 8‎ 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)‎ ‎1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　B　)‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 ‎2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，‎ ‎(1)有两个不相等的实数根？‎ ‎(2)有两个相等的实数根？‎ ‎(3)没有实数根？‎ 解：(1)m＜；　(2)m＝；　(3)m ＞.‎ ‎3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. ‎ 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，‎ ‎∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.‎ 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，‎ Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，‎ ‎∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．‎ 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)‎ ‎1．利用判别式判定下列方程的根的情况：‎ ‎(1)2x2－3x－＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；‎ ‎(3)x2－4x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x.‎ 解：(1)有两个不相等的实数根；‎ ‎　(2)有两个相等的实数根；‎ ‎　(3)无实数根；‎ ‎　(4)有两个不相等的实数根．‎ ‎2．用公式法解下列方程：‎ ‎(1)x2＋x－12＝0 ; 　(2)x2－x－＝0；‎ ‎(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; 　(4)x(x－4)＝2－8x；‎ ‎(5)x2＋2x＝0 ; 　(6)x2＋2x＋10＝0.‎ 解：(1)x1＝3，x2＝－4；‎ ‎　(2)x1＝，x2＝；‎ ‎　(3)x1＝1，x2＝－3；‎ ‎　(4)x1＝－2＋，x2＝－2－；‎ ‎　(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．‎ 点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；‎ ‎(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，‎ 8‎ 把a，b，c的值代入x＝(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；‎ ‎(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．‎ 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)‎ ‎ 1.求根公式的推导过程．‎ ‎ 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解．‎ ‎ 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．‎ 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)‎ 8‎