数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届湖北省武汉外国语学校高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y（个）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：‎ 气温（℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 销售量（个）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据，得线性回归方程y=﹣2x+a．当气温为﹣4℃时，预测销售量约为（　　）‎ A．68 B．66 C．72 D．70‎ ‎2．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）‎ A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.54 D．模型4的相关指数R2为0.35‎ ‎3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎4．已知函数f（x）=2（x﹣）﹣2ln x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）‎ A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+y﹣2=0 D．y=0‎ ‎5．函数的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+‎ ‎∞）‎ ‎6．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y≥1）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知随机变量X+Y=8，若X～B（10，0.6），则E（Y），D（Y）分别是（　　）‎ A．6和2.4 B．6和5.6 C．2和5.6 D．2和2.4‎ ‎9．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）=（　　）‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎10．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列式子正确的是（　　）‎ A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1） B．0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）‎ C．0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1） D．0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）‎ ‎12．为了旅游业的发展，某旅行社组织了14人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：‎ 答对题目个数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ 根据上表信息，若从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10）满足线性回归方程，则“（x0，y0）满足线性回归方程”是“，”的　　．条件．（填充分不必要、必要不充分、充要）‎ ‎14．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点若函数f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r•x2n﹣1+r+…+（﹣1）n•x3n﹣1，其中n∈N*，则f′（1）=　　．‎ ‎16．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）用0，1，2，3，4，5这6个数字．‎ ‎（1）能组成多少个物重复数的四位偶数？‎ ‎（2）能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数（无重复数字）？‎ ‎18．（10分）已知函数f（x）=+（2﹣b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．‎ ‎（1）证明a＞0；‎ ‎（2）若z=a+2b，求z的取值范围．‎ ‎19．（12分）目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（1）若从年龄在[15，25）、[25，35）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；‎ ‎（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．‎ 态度 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 中老年 总计 参考公式和数据：x2=‎ X2‎ ‎≤2.706‎ ‎＞2.706‎ ‎＞3.841‎ ‎＞6.635‎ A、B关联性 无关联 ‎90%‎ ‎95%‎ ‎99%‎ ‎20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎21．（12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．‎ ‎（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？‎ ‎22．（14分）（理）已知函数，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉外国语学校高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y（个）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：‎ 气温（℃）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 销售量（个）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据，得线性回归方程y=﹣2x+a．当气温为﹣4℃时，预测销售量约为（　　）‎ A．68 B．66 C．72 D．70‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】利用平均数公式求得样本的中心点的坐标，根据回归直线经过样本的中心点求得回归系数a的值，从而得回归直线方程，代入x=﹣4求预报变量．‎ ‎【解答】解： ==10， ==40，‎ ‎∴样本的中心点的坐标为（10，40），‎ ‎∴a=40+2×10=60．‎ ‎∴回归直线方程为y=﹣2x+60，‎ 当x=﹣4时，y=68．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了回归直线方程的性质及利用回归直线方程求预报变量，掌握回归直线经过样本的中心点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）‎ A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.54 D．模型4的相关指数R2为0.35‎ ‎【考点】相关系数．‎ ‎【分析】线性回归分析中相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，比较即可．‎ ‎【解答】解：线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，‎ 模型1的相关指数R2=0.98，模型2的相关指数R2=0.80，‎ 模型3的相关指数R2=0.54，模型4的相关指数R2=0.35；‎ 由模型1的相关系数最大，知其拟合效果最好．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相关系数对应模拟效果的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是（　　）‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【考点】独立性检验的基本思想．‎ ‎【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．‎ ‎【解答】解：∵计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892＞3.841，‎ 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：‎ 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了通过计算得到统计量值k2的观测值k，对照数表估计概率结论的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=2（x﹣）﹣2ln x，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（　　）‎ A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+y﹣2=0 D．y=0‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出原函数的导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=2（x﹣）﹣2ln x，f（1）=0．‎ 得y′=2+﹣，‎ ‎∴y′|x=1=2．即曲线f（x）=2（x﹣）﹣2ln 在点（1，0）处的切线的斜率为：2．‎ ‎∴曲线f（x）=2（x﹣）﹣2ln 在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=2×（x﹣1），‎ 整理得：2x﹣y﹣2=0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．函数的单调递增区间是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：f′（x）=a•，（a＞0），‎ 令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，‎ 故f（x）在（﹣1，1）递增，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握．‎ ‎　‎ ‎6．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎【分析】先求出三次都摸到蓝球的概率，再用1减去此概率，即为所求．‎ ‎【解答】解：试验共进行三次，由于次摸到蓝球的概率都是，则三次都摸到蓝球的概率是=，‎ 故至少摸到一次红球的概率是1﹣=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y≥1）等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．‎ ‎【分析】根据随机变量服从X～B（2，P）和P（X≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P的方程，解出P的值，再根据Y符合二项分布，利用概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵随机变量服从X～B（2，P），∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，解得P=．‎ ‎∴P（Y≥1）=1﹣P（Y=0）=1﹣（1﹣P）3=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X对应的概率值，列出方程，求出概率P的值．‎ ‎　‎ ‎8．已知随机变量X+Y=8，若X～B（10，0.6），则E（Y），D（Y）分别是（　　）‎ A．6和2.4 B．6和5.6 C．2和5.6 D．2和2.4‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】随机变量X+Y=8，X～B（10，0.6），先求出E（X），D（X），由此能求出E（Y），D（Y）．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X+Y=8，X～B（10，0.6），‎ ‎∴E（X）=10×0.6=6，D（X）=10×0.6×（1﹣0.6）=2.4，‎ ‎∴E（Y）=E（8﹣X）=8﹣E（X）=8﹣6=2，‎ D（Y）=D（8﹣X）=（﹣1）2D（X）=D（X）=2.4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎9．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）=（　　）‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），‎ ‎∴对称轴是x=3．‎ ‎∵P（X＜5）=0.8，‎ ‎∴P（X≥5）=0.2，‎ ‎∴PP（1＜X＜3）=0.5﹣0.2=0.3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．‎ ‎　‎ ‎10．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，‎ ‎∴a＞b＞0，a＜2b 它对应的平面区域如图中阴影部分所示：‎ 则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为 P==1﹣=，‎ 故选B．‎ ‎【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列式子正确的是（　　）‎ A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1） B．0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）‎ C．0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1） D．0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）‎ ‎【考点】函数的图象；函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】利用导数的几何意义，直线的斜率，判断求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，‎ 可知函数在x∈[1，2]是增函数，0＜f′（2）＜f′（1），‎ ‎∈（f′（2），f′（1）），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象的应用，导函数的几何意义，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．为了旅游业的发展，某旅行社组织了14人参加“旅游常识”知识竞赛，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表：‎ 答对题目个数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ 根据上表信息，若从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】从14人中任选3人，求出基本事件总数n=，记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，求出事件A包含的基本事件个数，由此利用列举法能求出从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率．‎ ‎【解答】解：∵从14人中任选3人，基本事件总数n=，‎ 记“3人答对题目个数之和为6”为事件A，‎ 则事件A包含的基本事件个数：‎ m=，‎ ‎∴从14人中任选3人，则3人答对题目个数之和为6的概率是：‎ P（A）==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本小题主要概率等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10）满足线性回归方程，则“（x0，y0）满足线性回归方程”是“，”的　必要不充分　．条件．（填充分不必要、必要不充分、充要）‎ ‎【考点】回归分析的初步应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，可得“（x0，y0）满足线性回归方程”是“，”的必要不充分条件．‎ 故答案为：必要不充分 ‎【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查四种条件，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点 ‎　‎ ‎14．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点（2017春•汉阳区校级月考）若函数f（x）=x2n﹣1﹣x2n+x2n+1﹣…+（﹣1）r•x2n﹣1+r+…+（﹣1）n•x3n﹣1，其中n∈N*，则f′（1）=　0　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】先化简函数f（x）的解析式，再求出f′（x），从而求得f′（1）的值．‎ ‎【解答】解：f（x）=x2n﹣1[Cn0﹣Cn1x+Cn2x2﹣+Cnr（﹣1）rxr+Cnnxn]=x2n﹣1（1﹣x）n，‎ f′（x）=（2n﹣1）x2n﹣2（1﹣x）n﹣x2n﹣1•n（1﹣x）n﹣1=x2n﹣2（1﹣x）n﹣1[2n﹣1﹣（3n﹣1）x]．‎ ‎∴f′（1）=0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n=‎ ‎=648，然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，求出3的倍数的三位数，由此能求出这个数能被3整除的概率．‎ ‎【解答】解：从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，‎ 基本事件总数n==648，‎ 然后根据题意将10个数字分成三组：‎ 即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，‎ 若要求所得的三位数被3整除，‎ 则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，‎ 所以3的倍数的三位数有：‎ ‎（A33+A33+A43﹣A32）+（C31C31C41A33﹣C31C31A22）=228个，‎ ‎∴这个数能被3整除的概率p==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）（2017春•汉阳区校级月考）用0，1，2，3，4，5这6个数字．‎ ‎（1）能组成多少个物重复数的四位偶数？‎ ‎（2）能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数（无重复数字）？‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】（1）组成不同的四位偶数有两种情况，当0在个位的四位偶数有A53个，当0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数选一个放在首位，应有A21A41A42，相加得到结果，‎ ‎（2）利用间接法和插空法，即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）组成不同的四位偶数有两种情况，‎ 当0在个位的四位偶数有A53个，‎ 当0不在个位时，先从2，4中选一个放在个位，再从余下的四个数选一个放在首位，应有A21A41A42，‎ 共有A53+A21A41A42=156，‎ ‎（2）先排偶数，形成了4个空，再把3个奇数插入，得到A33A43=144，其中0在首位的有A22A33=12，‎ ‎∴奇数数字互不相邻的六位数有144﹣12=132．‎ ‎【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题是一个数字问题，解题的关键是注意0不能在首位，注意分类和分步的应用．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=+（2﹣b）x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．‎ ‎（1）证明a＞0；‎ ‎（2）若z=a+2b，求z的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；简单线性规划．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导函数，因为函数在x=x1和x=x2取得极值得到：x1，x2是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为x＜x1函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到a的范围；‎ ‎（2）由0＜x1＜1＜x2＜2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：求出函数f（x）的导函数f'（x）=ax2﹣2bx+2﹣b．‎ ‎（1）由函数f（x）在x=x1处取得极大值，‎ 在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f'（x）=0的两个根．‎ 所以f'（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）‎ 当x＜x1时，f（x）为增函数，f'（x）＞0，‎ 由x﹣x1＜0，x﹣x2＜0，得a＞0．‎ ‎（2）在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于，‎ 即，‎ 化简得．‎ 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2﹣b=0，a﹣3b+2=0，4a﹣5b+2=0．‎ 所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：．‎ z在这三点的值依次为．‎ 所以z的取值范围为．‎ ‎【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•赣州模拟）目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：‎ 年龄（岁）‎ ‎[15，25）‎ ‎[25，35）‎ ‎[35，45）‎ ‎[45，55）‎ ‎[55，65）‎ ‎[65，75）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（1）若从年龄在[15，25）、[‎ ‎25，35）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数记为X，求X的分布列和期望；‎ ‎（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．‎ 态度 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 中老年 总计 参考公式和数据：x2=‎ X2‎ ‎≤2.706‎ ‎＞2.706‎ ‎＞3.841‎ ‎＞6.635‎ A、B关联性 无关联 ‎90%‎ ‎95%‎ ‎99%‎ ‎【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和期望；‎ ‎（2）根据所给做出的列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）X的取值为0，1，2，3…（1分）‎ P（X=0）=•=，P（X=1）=•+•=，‎ P（X=2）=•+•=，P（X=3）=•=…‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P EX=0×+1×+2×+3×=1.2…（6分）‎ ‎（2）2×2列联表如图所示…（9分）‎ 态度 年龄 赞成 不赞成 总计 中青年 ‎19‎ ‎11‎ ‎30‎ 中老年 ‎13‎ ‎7‎ ‎20‎ 总计 ‎32‎ ‎18‎ ‎50‎ X2=≈0.0145≤2.706…（11分）‎ 说明民众对“车辆限行”的态度与年龄没有关联…（12分）‎ ‎【点评】本题考查求X的分布列和期望、独立性检验的应用，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•日照二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证BC⊥平面ACFE，可根据面面垂直的性质定理进行证明，而AC⊥BC，平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，满足面面垂直的性质定理；‎ ‎（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH，根据二面角的平面角的定义可知∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DGH中，利用余弦定理即可求出二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，‎ 且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°‎ ‎∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°∴AC⊥BC（3分）‎ 又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，‎ ‎∴BC⊥平面ACFE ‎（Ⅱ）取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH∵DE=DF，‎ ‎∴DG⊥EF∵BC⊥平面ACFE∴BC⊥EF 又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，‎ 又∵GH∥FB，‎ ‎∴EF⊥GH ‎∴BE2=DE2+DB2∴∠DGH是二面角B﹣EF﹣D的平面角．（8分）‎ 在△BDE中，∴∠EDB=90°，‎ ‎∴．（9分）‎ 又．（10分）‎ 即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为 ‎【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•临汾校级模拟）学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响．‎ ‎（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？‎ ‎【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1，2，3，‎ ‎∴，，…（3分）‎ ‎∴考生甲正确完成题目数的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴…‎ ‎（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η．‎ ‎∵η～B（3，），其分布列为：‎ ‎∴…（6分）‎ ‎∵…（8分）‎ ‎∴Dξ＜Dη ‎∵，…（10分）‎ ‎∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）‎ ‎①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；‎ ‎②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，‎ 因此，可以判断甲的实验操作能力强．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查概率知识 ‎ 的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2014•宣城三模）（理）已知函数，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（Ⅰ）．令f'（2）=0，能求出a的值．‎ ‎（Ⅱ）当a=0时，．故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）．当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或．当0＜a＜1时，列表讨论f（x）与f'（x）的情况能求出f（x）的单调区间．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，由，知不合题意．当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎【解答】（理）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）解：．‎ 依题意，令f'（2）=0，解得．‎ 经检验，时，符合题意．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）解：①当a=0时，．‎ 故f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）．‎ ‎②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=0，或．‎ 当0＜a＜1时，f（x）与f'（x）的情况如下：‎ x ‎（﹣1，x1）‎ x1‎ ‎（x1，x2）‎ x2‎ ‎（x2，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎↘‎ f（x1）‎ ‎↗‎ f（x2）‎ ‎↘‎ 所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是（﹣1，0）和．‎ 当a=1时，f（x）的单调减区间是（﹣1，+∞）．‎ 当a＞1时，﹣1＜x2＜0，f（x）与f'（x）的情况如下：‎ x ‎（﹣1，x2）‎ x2‎ ‎（x2，x1）‎ x1‎ ‎（x1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ ‎↘‎ f（x2）‎ ‎↗‎ f（x1）‎ ‎↘‎ 所以，f（x）的单调增区间是；单调减区间是和（0，+∞）．‎ ‎③当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；单调减区间是（﹣1，0）．‎ 综上，当a≤0时，f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣1，0）；‎ 当0＜a＜1时，f（x）的增区间是，减区间是（﹣1，0）和；‎ 当a=1时，f（x）的减区间是（﹣1，+∞）；‎ 当a＞1时，f（x）的增区间是；减区间是和（0，+∞）．‎ ‎…（10分）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（0）=0，知不合题意．‎ 当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是，‎ 由，知不合题意．‎ 当a≥1时，f（x）在（0，+∞）单调递减，‎ 可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合题意．‎ 所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0时，a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．‎