专题4-6+新题原创强化训练+06-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题4-6+新题原创强化训练+06-2017年高考数学备考优生百日闯关系列

专题四 新题原创强化训练 第六关 一、选择题 ‎1．已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 考点：1.分段函数图象；2.利用导数求曲线的切线方程；3.图象的交点问题.‎ ‎2．已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，且，所以，即，因此，整理得，由此可得，点在正方形内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧上，如图2所示，易知圆心角，所以.故选C.‎ ‎3．椭圆左右焦点分别为为椭圆上任一点且最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】因为 ，因此 ，选B.‎ ‎4．设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎5．已知数列满足，，则（ ）‎ A．-6 B．6 ‎ C. -2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】同理,,而 ‎,故选A.‎ ‎6．已知是内的一点，且，，若，,的面积分别为，则的最小值为（ ）‎ A. 20 B. 18 C. 16 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ,又 ,所以 因此 ,当且仅当 时取等号,从而选B.‎ ‎7．在中，、、的对边分别为、、，且，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数（ ）‎ A．有最小值 B．有最小值 ‎ C．有最大值 D．有最大值 ‎【答案】D ‎【解析】 本题综合导数，曲线的切线，不等式恒成立等基础知识，难度较大．注意到函数，所以，即得，又点在直线上，所以，得．又，所以，，当时，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，根据不等式恒成立的意义可得，所以或，所以的最大值为，无最小值．故选D．‎ ‎9. 已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎10. 若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴．‎ 又，令，∴．‎ 设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．‎ ‎11. 函数的图象与直线从左至右分别交于点，与直线从左至右分别交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在同一坐标系中作出，，的图象，如图，设，，，，由，得，，由=，得，．依照题意得 ，∴，故选B．‎ ‎ ‎ ‎12. 在中，分别为边上的点，且，，若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ,故选B.‎ 二.填空题 ‎13．若对恒成立,则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当为偶数时，，而；当为奇数时，，而.所以的取值范围是.‎ 考点：不等式.‎ ‎14．已知函数在上是增函数，函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎15．如图，设G、H分别为△的重心、垂心，F为线段GH的中点，若△外接圆的半径为1，则 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设外心为则三点共线，且所以 ‎,同理可得，,因此 ‎16. 在△中，若，点，分别是，的中点，则的取值范围 为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设分别是的中点，‎ ‎, 所以由正弦定理得，‎ ‎，设，结合，由可得.‎ ‎,故答案为.‎ 三.解答题 ‎17．已知数列的前项和为，. ‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得： ，即： ‎ ，所以是以为首项，公比为3的等比数列， ‎ 由知 ‎ ，即 ‎ ‎（Ⅱ） ‎ 18．北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．‎ ‎（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？‎ ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．‎ 附：，其中．‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎3.74‎ ‎6.63‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，‎ 从而列联表如下：‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ‎ 因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意，从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ，．‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，分别为的中点，点在线段上．‎ ‎ （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，‎ 所以．由分别为的中点，得，所以． ‎ 因为侧面底面，且，所以底面． ‎ 又因为底面，所以． ‎ 又因为，平面，平面， ‎ 所以平面． ‎ ‎ ‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ 所以，即，所以 ，‎ 解得，或（舍）． 综上所得： ‎ ‎20．已知椭圆的离心率是，上顶点是抛物线的焦点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若是椭圆上的两个动点，且是坐标原点），由点作于,试求点的轨迹方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题设知 ①‎ 又 ②‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）若直线轴，设直线，并联立椭圆方程解出 ，，，，由得 定值；‎ 若直线不平行轴，设直线，，，联立椭圆 的方程消得，设，，，，由韦达定理得 ③， ④，由得，即，即，‎ 即 ⑤‎ 把③、④代入⑤并化简得 ，所以 又原点到直线的距离定值，所以动点的轨迹是以点 为圆心，为半径的圆，其方程为 ． ‎ ‎ 21．已知函数，其中常数.‎ ‎（Ⅰ）讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，若曲线上总存在相异两点，使曲线在两点处的切线互相平行，试求的取值范围.‎ ‎③当时，，‎ 所以时，；时， 所以函数在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得，且 即，化简得， 由，得 即对恒成立，‎ 令，则对恒成立 ‎∴在上单调递增，则，所以，‎ 所以，‎ 故取值范围为.‎ ‎22．在极坐标系中，已知三点.‎ ‎（Ⅰ）求经过的圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（为参数），若圆与圆外切，求实数的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，‎ ‎∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；‎ 过O，A，B三点的圆C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2，‎ 即x2-2x+y2-2y=0；‎ 化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，‎ 即5分