2017-2018学年河南省商丘市九校高二下学期期末联考数学（文）试题-解析版

2017-2018学年河南省商丘市九校高二下学期期末联考数学（文）试题-解析版

绝密★启用前 河南省商丘市九校2017-2018学年高二下学期期末联考数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．下列关于残差图的描述错误的是（　　）‎ A. 残差图的横坐标可以是编号 B. 残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量 C. 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D. 残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．‎ 详解：A残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB正确；‎ 可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．‎ 则对应相关指数越大，故选项D正确，C错误.‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．‎ ‎2．集合 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：解出集合A，B中的元素，按照集合的交集运算得到结果即可.‎ 详解：， ‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ 点睛：本题考查了集合的交集，以及二次不等式的解法，较为简单.‎ ‎3．在一次试验中，测得的四组值分别是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），则y与x之间的回归直线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．‎ 详解：∵， ‎ ‎∴这组数据的样本中心点是（4，5）‎ 把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法．‎ ‎4．若复数（是虚数单位，是实数），则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：把等式左边的部分化简成a+bi（a，b∈R）的形式，然后由实部等于且虚部等于0解得b的值．‎ 详解： ‎ ‎ ‎ 则. ‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎5．命题的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此的否定为 考点：全称命题和特称命题 ‎6．设a＝,b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 )‎ A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. a＜c＜b ‎【答案】A ‎【解析】分析：由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．‎ 详解：∵a=60.7＞60=1，‎ ‎0＜b=0.76＜0.7，‎ c=log0.76＜log0.71=0，‎ ‎∴c＜b＜a．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎7．某个命题与正整数n有关，如果当 时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ）‎ A. 当n=7时该命题不成立 B. 当n=7时该命题成立 C. 当n=9时该命题不成立 D. 当n=9时该命题成立 ‎【答案】A ‎【解析】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．‎ 详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立， ‎ 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A．‎ 点睛：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．‎ ‎8．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，则f(x)的零点所在的区间是(　　)‎ A. (0，1) B. (1，2) C. (2，4) D. (4，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．‎ 详解：∵f（x）=﹣log2x，‎ ‎∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，‎ 满足f（2）f（4）＜0，‎ ‎∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查还是零点的判断，属基础题．‎ ‎9．“<2”是“” 成立的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ 详解：由x（x﹣1）＜0得0＜x＜1，‎ 则“x＜2”是“x（x﹣1）＜0”成立的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．‎ ‎10．函数f(x)=，满足对任意 成立，则实数a的取值范围是( ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：若对任意的实数成立，则函数f（x）=在R上单调递增，进而可得答案．‎ 详解：∵对任意的实数成立，‎ ‎∴函数f（x）=在R上单调递增，‎ ‎∴ ‎ 解得：a∈[6，8），‎ 故选：B ．‎ 点睛：本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.‎ ‎11．若函数f（x）=ax－lnx在区间（2，+）单调递增，则ａ的取值范围是（　）‎ A. [,+ ) B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：求出函数的导数，利用导函数的符号，结合单调区间，求解即可．‎ 详解：∵函数y=ax﹣lnx在（2，+∞）内单调递增，∴当x＞2时，y′=a﹣≥0恒成立，‎ 即a≥，∴a≥ ，‎ 即a的取值范围为[，+∞），‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.‎ ‎12．定义在上的函数满足.当时，，当时，,则f（1）+f（2）+…+f（2015）=（ ）‎ A. 333 B. 336 C. 1678 D. 2015‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由已知得到函数的周期为6，找到与2015函数值相等的（-3，3）的自变量，按照周期求值．‎ 详解：由已知函数周期为6，并且2015=6×335+5， 并且f（1）=1， f（2）=2， f（3）=f（-3+6）=f（-3）=-（-3+2）2=-1， f（4）=f（-2+6）=f（-2）=0， f（5）=f（-1+6）=f（-1）=-1， f（6）=f（0）=0， 所以f（1）+f（2）+…+f（6）=1， 所以f（1）+f（2）+…+f（2015）=1×335+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=335+1=336； 故选：B．‎ 点睛：本题考查了函数的周期性的运用；关键是由已知明确所求是几个周期的函数值另外加上前几个自变量的函数值，函数有些结论积累，有助于做题例如： 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(4)= __________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：设幂函数f（x）=xα，把点（9，3）代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f（4）的值．‎ 详解：设幂函数f（x）=xα，‎ ‎∵函数f（x）的图象经过（9，3），∴9α=3，解得，‎ 则f（x）= ，∴f（4）=2，‎ 故答案为：2．‎ 点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．‎ ‎14．已知,(n )经计算得,，由此可推得一般性结论为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据已知中的等式：,我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．‎ 详解：观察已知中等式：‎ 得 ，‎ f（4）＞2，‎ ‎，‎ f（16）＞3，‎ ‎…，‎ 则f（2n）≥（n∈N*）‎ 故答案为：f（2n）≥（n∈N*）‎ 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.‎ ‎15．已知偶函数在单调递减，若f（x－１）＞ｆ(2)，则的取值范围 是__________.‎ ‎【答案】（-1,3）‎ ‎【解析】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．‎ 详解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，‎ ‎∴不等式f（x﹣1）＞f（2）等价为f（|x﹣1|）＞f（2），‎ 则|x﹣1|＜2，‎ 即﹣2＜x﹣1＜2，‎ 则﹣1＜x＜3，‎ 即不等式的解集为（﹣1，3），‎ 故答案为：（﹣1，3）‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ ‎16．已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可转化为函数与函数y= x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．‎ 详解：∵函数g（x）=f（x）﹣x﹣b有且仅有两个零点，‎ ‎∴函数与函数y= x+b的图象有且仅有两个交点，‎ 作函数f（x）=与函数y= x+b的图象如下，‎ ‎ ‎ 当b=0时，有一个交点，是一个临界值，‎ 当直线y= x+b与f（x）=相切时，‎ f′（x）= ‎ 故切点为（1，1）；‎ 故b=1﹣=；‎ 结合图象可得，‎ ‎0＜b<；‎ 故答案为：0＜b<．‎ 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数满足: 求的值 ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出.‎ 详解：‎ 设，而即 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下：‎ ‎ （Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（Ⅱ）能否有99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。‎ 是否需要志愿者 性别 ‎ 男 ‎ 女 ‎ ‎ ‎ 需要 ‎ 40‎ ‎ 30‎ ‎ 不需要 ‎ 160‎ ‎ 270‎ ‎ ‎ 参考数据：‎ ‎ ‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】(1) 见解析(2) 见解析（3）见解析 ‎ ‎【解析】分析：（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．‎ 详解：‎ ‎(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为％ ‎ ‎(2),由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.   ‎ ‎（3）由(2)的 结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好． ‎ 点睛：本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．‎ ‎19．设命题:实数满足其中;命题：实数满足,‎ ‎（1）若命题中，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】分析：（1）a=1时，得出命题p：x＞2，或x＜0，命题q：﹣2＜x＜3，而由p∧q为真得到p，q都为真，从而解不等式组即得实数x的取值范围；（2）先求出命题￢p：x＜1﹣a，或x＞1+a，a＞0，从而由￢p是q的必要不充分条件得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．‎ 详解：‎ ‎（1）当时，: ‎ ‎ ： ‎ 又真，所以都为真 ‎ 由 得 ‎ ‎（2） ‎ ‎: ‎ ‎∴满足条件的解集A= ‎ ‎：B= ‎ 是的必要不充分条件 ‎ ‎ ‎ 点睛：考查含绝对值不等式的解法，根据指数函数的单调性解不等式，一元二次不等式的解法，以及由命题p能写出命题￢p，必要不充分条件的概念．‎ ‎20．设写出S1，S2，S3，S4的归纳并猜想出结果，并给出证明．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：由已知分别求出S1= ，S2=，S3= ，S4= ，归纳猜想：Sn=，再利用裂项求和法进行证明．‎ 详解：‎ 当n=1，2，3，4时，‎ 计算得原式的值分别为：S1=，S2=，S3=，S4=． ‎ 观察这4个结果都是分数，‎ 每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1．‎ 归纳猜想：Sn=． ‎ 证明∵‎ ‎∴Sn=‎ ‎= . ‎ 点睛：本题考查数列的前n项和的求法及证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）判断在上的增减性，并证明你的结论 ‎（2）解关于的不等式 ‎（3）若在上恒成立，求的取值范围 ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）{a | a<0或a≥} .‎ ‎【解析】分析：（1）根据定义法来证明函数的单调性；（2）即,分两种情况a>0和a<0分类讨论得到解集即可；（3）在恒成立即，，由均值不等式可求右侧函数的最值.‎ 详解：‎ ‎（1）f(x)在上为减函数 证明方法一：设 ‎ ‎ 在上为减函数 方法二：利用导数证明:f′(x)= <0‎ ‎∴f(x)在上为减函数 ‎ ‎（2）不等式即即 当，不等式的解当a<0,‎ ‎∵x>0 ∴恒成立 ‎ 不等式的解 ‎ 综上所述当a>0时 不等式的解{x|}‎ 当a<0时，不等式的解{x|x>0}， ‎ ‎（3）若 在恒成立即 所以因为的最小值为4 ‎ 所以即或a≥ ‎ 所以 a的取值范围是{a |a<0或a≥} .‎ 点睛：对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎【答案】(1) x2＋(y－)2＝5(2) 3. ‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由圆C的方程为ρ＝2sin θ，能求出圆的直角方程；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2－3t＋4＝0，再由点P的坐标为（3，），能求出|PA|+|PB|．‎ 详解：‎ ‎(1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，‎ 即x2＋(y－)2＝5. ‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得(3－t)2＋(t)2＝5， ‎ 即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ 所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3. ‎ 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎(I)若不等式的解集为，求实数a的值；‎ ‎(II)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）a=1 （Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和存在问题的求法等基础知识，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思想和转化思想.第一问，先解绝对值不等式，得到x的取值范围，由已知条件可知解出的x的取值范围与完全相同，列出等式，解出a；第二问，在第一问的基础上，的解析式确定，若存在n使成立，则，构造新的函数，去掉绝对值使之化为分段函数，求出最小值代入上式即可.‎ 试题解析：（1）由得，∴，即，‎ ‎∴，∴. 5分 ‎（2）由（1）知,令，‎ 则，‎ ‎∴的最小值为4，故实数的取值范围是. 10分 考点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值函数的最值.‎