专题39+数列+等比数列2-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题39+数列+等比数列2-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：等比数列 ‎　　（1） 理解等比数列的概念.‎ ‎　　（2） 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎　　（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎　　（4） 了解等比数列与指数函数的关系.‎ 二、知识概述：‎ ‎1、等比数列的概念 ‎（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用表示 ( )．‎ ‎（2）等比数列的通项公式为，通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．‎ ‎（3）如果 成等比数列，那么叫做与的等比中项，且， 进而可知与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ‎ ‎．‎ ‎（4）等比数列的前项和的公式为或 , 等比数列中没有“0”的项。用等比数列求和公式解题时，注意与两个不同的条件．‎ ‎2、等比数列的性质 ‎（1）在等比数列中，（）‎ ‎（2）在等比数列中，如果两项的序号和与另两项的序号和相等，那么，它们所对应的积相等，即若（），则．‎ ‎（3）在等比数列中，依次个项之和仍组成一个等比数列，即是前项之和，则，，，…，，…，也是等比数列．‎ ‎（4）对于正项等比数列，取，则即为等差数列。所以等比数列的许多性质都可以用等差数列来类比． ‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 令，则，，.‎ 于是，，进而由，得.‎ 设是中的最大数，为中的最大数，则.‎ 由（2）知，，于是，所以，即.‎ 又，故，从而，‎ 故，所以，即.‎ 综合①②③得，. ‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.设等比数列的前项和为.若，则数列的公比的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎2.在数列{an}中，a1＝﹣1，a2＝2，a4＝8，Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn+λ}为等比数列，则λ＝　 　．‎ ‎【分析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，根据{Sn+λ}为等比数列，‎ 可得1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，联立解得即可得出．‎ ‎【解析】S1+λ＝λ﹣1，S2+λ＝1+λ，S3+λ＝1+a3+λ，S4+λ＝9+a3+λ，‎ ‎∵{Sn+λ}为等比数列，‎ ‎∴1+a3+λ＝，9+a3+λ＝，‎ 相减化为：4（λ﹣1）2＝（λ+1）2，解得：λ＝或3．‎ ‎【答案】或3．‎ 3． 已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b10•b11＝2，则b7b14＝　 　，‎ a21＝　 　．‎ ‎【分析】根据所给的关系式，依次令n＝1、2、…、20列出20个式子，再将20个式子相乘化简，根据等比数列的性质和条件求出a21的值．‎ ‎【答案】：2，1024．‎ ‎4．设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若，则＝　 　．‎ ‎【分析】设该等比数列的公比为q，由已知条件得出，然后再利用等比数列求和公式可计算出答案．‎ ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，则，‎ 所以，．‎ ‎【答案】‎ ‎5．等比数列{an}前n项和Sn，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为　 　．‎ ‎【分析】等比数列{an}前n项和Sn，首项为10，公比为2，可得a3＝40，S3＝70．方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，通过分类讨论画出图形即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力 ‎【答案】200‎ ‎6．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则＝　 　．‎ ‎【分析】根据等比数列的求和公式，以及，可得q5＝2，再根据求和公式计算即可，本题考查等比数列的求和公式，考查了运算求解能力.‎ ‎【解析】设Sn是等比数列{an}的前n项和，，‎ ‎∵，∴，即1+q5＝3，∴q5＝2，‎ ‎∴，‎ ‎【答案】‎ ‎7．等比数列{an}前n项的和为2n﹣1，则数列前n项的和为　 　．‎ ‎【分析】先求出等比数列的前2项，从而求得首项和公比，从而得到数列 的首项和公比，再由等比数列的前n项和公式求出结果．‎ ‎【答案】‎ ‎8.已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an. 若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．‎ ‎【解析】∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列，Sn＝＝3n－1.‎ ‎【答案】3n－1‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn＋1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式是an＝________.‎ ‎【解析】当n≥2时，由得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，‎ 又因为当n＝1时，a2＝1＋1＝2，‎ 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝2n－1. ‎ ‎【答案】2n－1‎ ‎10.已知数列{ }的首项为1， 为数列的前n项和， ，其中q>0， .‎ ‎（Ⅰ）若成等差数列，求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知的递推式，一般是写出当时，，两式相减，利用，得出数列的递推式，从而证明为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；（Ⅱ）先利用双曲线的离心率定义得到的表达式，再由解出的值，要证明2016年高考四川理数不等式，一般想法是求出和，但数列的和不可求，因此我们利用放缩法得，从而有，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边．‎ 最后利用等比数列的求和公式计算证明.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.‎ 所以双曲线的离心率．‎ 由解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，‎ 故. ‎