【数学】2020届一轮复习人教B版直线与圆学案

【数学】2020届一轮复习人教B版直线与圆学案

‎1．直线方程的五种形式 ‎(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．‎ ‎(2)斜截式：y＝kx＋b.‎ ‎(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．‎ ‎(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．‎ ‎(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．‎ ‎2．三种距离公式 ‎(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：‎ ‎|AB|＝.‎ ‎(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．‎ ‎(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．‎ ‎3．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎ (1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．4 C. D．2 ‎(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB面积最小时，直线l的方程为(　　)‎ A．2x＋y－4＝0 B．x＋2y－5＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．2x＋3y－8＝0‎ ‎【答案】　(1)C　(2)A ‎【解析】　(1)由l1∥l2，得＝≠，解得a＝－1，‎ 所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，‎ l2：x－y＋＝0，‎ 所以l1与l2之间的距离d＝||＝.‎ 此时l的方程为＋＝1.‎ 即2x＋y－4＝0.‎ 解决直线方程问题应注意的问题 ‎(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．‎ ‎(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．‎ ‎(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．　 ‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为(　　)‎ A．15 B． C．6 D. ‎【答案】D.‎ ‎【解析】设M是AB的中点，由题意知AB的中点坐标为M(1，3)，kAB＝＝，‎ 所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．‎ 即2x＋y－5＝0.‎ 令y＝0，则x＝，即P点的坐标为(，0)．‎ 又|AB|＝＝2.‎ P到AB的距离为|PM|＝＝.‎ 所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.‎ ‎2．直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，l的方程为__________．‎ 答案：2x＋y－6＝0‎ 解析：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．‎ 令y＝0，可得A；‎ 令x＝0，可得B(0，4－k)．‎ ‎|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－ ‎＝5＋≥5＋4＝9.‎ 当且仅当－k＝且k<0，‎ 即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．‎ 这时l的方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎ ‎ 圆的方程及其应用 ‎1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．‎ ‎ (1)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. 　　　　　　　　 B． C. D. ‎(2)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)(x－2)2＋y2＝9‎ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程． ‎ 法三：如图，‎ 由直线方程与圆的方程知A(0，2)，设E为AB中点，‎ 则OE⊥AB.‎ 所以OE∥CA∥DB，‎ 所以|CD|＝2|OC|.‎ 由l的方程知 ‎∠AFC＝30°.‎ 所以∠ACO＝60°，所以|OC|＝＝＝2.‎ 所以|CD|＝4.‎ ‎6．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．‎ ‎【答案】：4π ‎【解析】：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.‎ ‎7．(2019·云南十一校跨区调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，－2)两点，过点M(1，－2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．‎ ‎【答案】：2 ‎8．已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】：(－15，1)‎ ‎【解析】：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，故10－a>0，即a<10.圆心(1，2)到直线3x－4y－15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1时，圆的半径r满足30得k>0，且有 x1＋x2＝，x1x2＝，②‎ 将②式代入①式整理得 ‎ ‎1－＋b2＝0，‎ 从而＝，‎ 又b∈.‎ 所以2<<，‎ 可得k的取值范围是(1，6－)∪(6＋，＋∞)．‎