四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

2020 年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．已知集合  3xA y y  ，  0,1,2,3B  ，则 A B  A． 1,2,3 B． 0,  C． 0,1,2 D． 0, 2．复数 2 iz 2 i   （i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知命题 ，则 为 A． B． C． D． 4．对于 ,a b 是任意非零实数，且 a b ，又 Rc ，则有 A． lg( ) 0a b  B． 2 2ac bc C． 1 1 a b  D． 1 1 3 3 a b          5．已知数列{ }na 为等差数列，且 5 5a  ，则 9S 的值为 A． 25 B．45 C． 50 D．90 6．若直线 1 : 6 0l x ay   与  2 : 2 3 2 0l a x y a    平行，则 1l 与 2l 间的距离为 A． 2 B． 8 2 3 C． 3 D． 8 3 3 7．函数 3 2, 0( ) , 0 xe x xf x x x x        ，的零点个数有 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 8．．设 m n、 是不同的直线， 是不同的平面,下列四个命题中，正确的是 A．若 / / , / /m n  ,则 //m n B．若 , ,m n   则 //m n C．若 , ,m    则 m  D．若 , , / / , / / ,m n m n     则 / /  9．已知函数 2( ) sin(2 )3f x x   ，则下列结论错误的是 A． ( )f x 的一个周期为  B． ( )f x 的图像关于点 5( ,0)6  对称 C． ( )f x 的图像关于直线 12x   对称 D． ( )f x 在区间 ( , )3 3   的值域为 3[ ,1]2  10．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是 , ,a b c ，当且仅当 a b c b 且 时称为“凹 数”，若  , , 1 2 3 4a b c ，，， ，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 A． 1 3 B． 5 32 C． 7 32 D． 7 12 11．已知定义在 R 上的函数  f x ，若  f x 是奇函数，  1f x 是偶函数，当 0 1x  时， 2( )f x x ，则 (2019)f  A． 1 B．1 C．0 D． 22015 12．过抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点 F 作斜率为 4 3 的直线 l 与 C 及其准线分别相交于 A，B， D 三点，则 | | | | AD BD   的值为 A．2 或 1 2 B．3 或 1 3 C．1 D．4 或 1 4 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知变量 X~B(n,p)，且 E(X) = 4，D(X) = 4 3 ，则 P(X ≤ 1) =__________. 14．若实数 x ， y 满足不等式组 2 2 0 1 0 2 x y x y y           ，则 z x y  的最大值为____________. 15．若 1 5tan tan 2    ， ( , )4 2    ，则 2 2 sin( 2 ) sin ( )2 cos( 2 ) 1 sin            的值为__________． 16．四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 4AD ， 2AB  ，且 8SA SD  ，当该四 棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）在 ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，且 ( )( ) 3a b c a b c ab     . （I）求角C 的值； （II）若 2c  ，且 ABC 为锐角三角形，求 a b的取值范围. 18．（12 分）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热 带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品， 但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解 A ， B 两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取 5 名学生进行调 查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十 位数字，叶表示个位数字）. （I）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？ （II）在被抽取的 10 名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于 20 颗的学生中随机抽取 3 名学生，求抽到 B 班学生人数 X 的分布列和数学期望. 19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 中，侧棱 PA 垂直于底面 ABCD ， 3AB AC AD   ， 2AM MD ， N 为 PB 的中点， AD 平行于 BC ， MN 平行于面 PCD ， 2PA  . (I)求 BC 的长； (II)求二面角 N PM D  的余弦值. 20．（12 分）已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 3 3 ，以原点为圆心，椭圆短半轴 长半径的圆与直线 2y x  相切． （I）求 a 与b ； （II）设该椭圆的左、右焦点分别为 1F 和 2F ，直线 1l 过 2F 且与 x 轴垂直，动直线 2l 与 y 轴垂 直， 2l 交 1l 与点 P ．求线段 1PF 垂直平分线与 2l 的交点 M 的轨迹方程，并指明曲线类型． 21．（12 分）已知函数 21( ) ln ( 1) ,( )2f x x ax a x a R     ． （I）当 1a  时，判断函数 ( )y f x 的单调性； （II）若关于 x 的方程 21 2f x ax（ ） 有两个不同实根 1 2x x， ，求实数 a 的取值范围，并证明 2 1 2•x x e＞ ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线C 的极坐标方程是 16cos 2sin 0       ,以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 经过点  3,3P , 倾斜角 3   ． （I）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程； （II）设 l 与曲线C 相交于 ,A B 两点, 求 AB 的值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知   2 2 1f x x x    ． （I）求不等式   6f x  的解集； （II）设 , ,m n p 为正实数，且  2m n p f   ，求证： 3mn np pm   . 2020 年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．D 13． 13 729. 14．5 15． 1 2 16． 76 3  17．（1）由题意知 ( )( ) 3a b c a b c ab     ，∴ 2 2 2a b c ab   ， 由余弦定理可知， 2 2 2 cos 1 2 2 a b cC ab    ， 又∵ (0, )C  ，∴ 3C  . （2）由正弦定理可知， 2 4 3sin sin 3sin 3 a b A B    ，即 4 43sin , 3sin3 3a A b B  ∴ 4 3(sin sin )3a b A B   4 23 sin sin3 3A A         2 3sin 2cosA A  4sin 6A      ， 又∵ ABC 为锐角三角形，∴ 0 2 20 3 2 A B A            ，即， 则 2 3 6 3A     ，所以 2 3 4sin 46A       ，综上 a b的取值范围为 (2 3,4]. 18．（1） A 班样本数据的平均值为  1 9 11 14 20 31 175      ， 由此估计 A 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为 17 颗， B 班样本数据的平均值为  1 11 12 21 25 26 195      ， 由此估计 B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为 19 颗. 故估计 B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多 （2）∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于 20 颗的学生中， A 班有 2 人， B 班有 3 人，共有 5 人， ∴ X 的可能取值为 1，2，3，   1 2 3 2 3 5 31 10 C CP X C    ，   2 1 3 2 3 5 32 5 C CP X C    ，   3 0 3 2 3 5 13 10 C CP X C    ， ∴ X 的分布列为： X 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 ∴ 3 3 1 91 2 310 5 10 5EX        . 19.解：(1)取 PC 的中点 E ，连接 EN 、 ED ， 因为 EN 平行于 BC ， AD 平行于 BC ，所以 EN 平行于 MD ， 所以 , , ,M N E D 四点共面， 因为 MN 平行于面 PCD ，面 PCD 与面 MNED 交与 ED ，所以 MN 平行于 ED ， 所以 MNED 为平行四边形. 所以 2EN MD  ， 2 4BC EN  . (2 取 BC 中点 F ，则 AF 垂直于 BC ，因为 AD 平行于 BC ，所以 AF 垂直于 AD ，于是以 A 点 为原点， AF 为 x 轴， AD 为 y 轴， AP 为 z 轴建立坐标系， 由 AF 垂直于 AD ， AF 垂直于 AP 知面 PMD 法向量为  1,0,0 ， 通过计算得面 PMN 的法向量为 6 ,2,1 5      . 经判断知二面角为钝角，于是其余弦为 6 61  . 20．解：（1） 2 2 31 3 c be a a     ， 6 2, 23 1 1 b ba     ， 3a  ． （2） 1F ， 2F 两点分别为 1,0 ， 1,0 ，由题意可设   1, 0P t t  那么线段 1PF 中点为 0, 2 tN      ，设  ,M x y 是所求轨迹上的任意点 由于 1MN PF ，即 1 1MN PFk k   ，所以 2 12 ty t x     ．又因为 y t ，消参t 得轨迹方程 为   2 04 yx x   .该曲线为抛物线（除掉原点）． 21．解：（1） 1a  时， 21( ) ln 2 ( 0)2f x x x x x    ，故 2 2 1 2 1( ) 2 0x xf x xx x        ， ( )f x 在 （0，+ ）上单调递增． （2）由题意可知 ln ( 1)x a x  有两解，设直线 y kx 与 lny x 相切，切点坐标为 0 0( )x y， ， 则 0 0 0 0 0 ln 1 y kx y x k x         ，解得 0 0 1, 1,x e y k e    ， 10 1a e     ，即 11 1a e     ． ∴实数 a 的取值范围是 11, 1e      ． 不妨设 2 1 0x x  ，则 1 1 2 2ln ( 1) , ln ( 1)x a x x a x    ， 两式相加得：    1 2 1 2ln ( 1)x x a x x   ，两式相减得：  2 2 1 1 ln ( 1)x a x xx    ，  1 2 1 2 2 2 1 1 ln ln x x x x x x x x    ，故   1 2 2 1 2 2 1 1 ln lnx x xx x x x x   • ， 要证 2 1 2x x e ，只需证 1 2 2 2 1 1 ln 2x x x x x x   • ，即证   2 2 1 12 21 1 2 1 2 12ln 1 x x x xx xx x x x        ， 令 2 1 1xt x   ，故只需证 2( 1)ln 1 tt t   在 1（ ， ）  恒成立即可．令 2( 1)( ) ln ( 1)1 tg t t tt    ， 则 2 2 2 1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1) tg t t t t t       ，∴ ( )g x 在 1（ ， ）  上单调递增， t 1 0g g （ ）＞（ ） ，即 2( 1)ln 1 tt t   在 1（ ， ）  恒成立． 2 1 2x x e • ． 22．（1）曲线C 化为 2 6 cos 2 sin 1 0        ，再化为直角坐标方程为 2 2 6 2 1 0x y x y     ，化为标准方程为 2 2( 3) ( 1) 9x y    ，直线 l 的参数方程为 3 cos 3{ 3 sin 3 x t y t       （t 为参数）． （2）将 l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得 2 4 3 7 0t t   ， 2(4 3) 4 7 20 0      ，则 1 2 4 3t t   ， 1 2 7t t  ，所以 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 2 5AB t t t t t t      ． 23．（1）不等式 2 2 1 6x x    等价于不等式组 1 3 3 6 x x      或 1 2 5 6 x x       或 2 3 3 6 x x     ， 所以不等式 2 2 1 6x x    的解集为 1,3 ； （2）证明：因为 3m n p   ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 9m n p m n p mn mp np         ， 因为 , ,m n p 为正实数，所以由基本不等式 2 2 2m n mn  （当且仅当 m n 时等号成立）， 同理 2 2 2 22 , 2m p mp p n pn    ，所以 2 2 2m n p mn mp np     ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 9 3 3 3m n p m n p mn mp np mn mp np            ， 所以 3mn mp np   .