2018届二轮复习直线与圆课件（全国通用）

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专题 7 　解析几何 第 26 练　直线与圆 直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查 . 单独考查时，一般为填空题，难度不大，属低中档题 . 直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 1.(2015· 广东改编 ) 平行于直线 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 且与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 5 相切的直线的方程是 __________________ _ ________. 解析　 设所求直线方程为 2 x ＋ y ＋ c ＝ 0 ， 所以所求直线方程为 2 x ＋ y ＋ 5 ＝ 0 或 2 x ＋ y － 5 ＝ 0. 2 x ＋ y ＋ 5 ＝ 0 或 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 1 2 3 4 5 解析答案 2.(2015· 课标全国 Ⅱ 改编 ) 过三点 A (1,3) ， B (4,2) ， C (1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M 、 N 两点，则 MN ＝ ________. 即 AB ⊥ BC ，故过三点 A ， B ， C 的圆以 AC 为直径 ， 得 其方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 25 ， 1 2 3 4 5 解析答案 3.(2016· 课标全国甲改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 8 y ＋ 13 ＝ 0 的圆心到直线 ax ＋ y － 1 ＝ 0 的距离为 1 ，则 a ＝ ________. 解析　 由圆的方程 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 8 y ＋ 13 ＝ 0 得圆心坐标为 (1,4) ， 1 2 3 4 5 解析答案 4.(2016· 上海 ) 已知平行直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，则 l 1 ， l 2 的距离为 ________. 1 2 3 4 5 解析答案 返回 所以 CD ＝ 4. 4 高考 必会题型 题型一　直线方程的求法与应用 例 1 　 (1) 若点 P (1,1) 为圆 C ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线的方程为 ______________. 由 k CP · k MN ＝－ 1 ，得 k MN ＝ 2 ， 所以弦 MN 所在直线的方程是 2 x － y － 1 ＝ 0. 2 x － y － 1 ＝ 0 解析答案 解析答案 (2) 已知 △ ABC 的顶点 A (3 ，－ 1) ， AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ＋ 10 y － 59 ＝ 0 ， ∠ B 的平分线所在直线方程为 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 ，求 BC 边所在直线的方程 . 点评 点评 解　 设 B (4 y 1 － 10 ， y 1 ) ， 由 AB 中点在 6 x ＋ 10 y － 59 ＝ 0 上， ∴ B (10,5 ). 设 A 点关于 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 的 对称点为 A ′ ( x ′ ， y ′ ) ， 故 BC 边所在直线的方程是 2 x ＋ 9 y － 65 ＝ 0. 点评 (1) 两条直线平行与垂直的判定 ① 若两条不重合的直线 l 1 ， l 2 的斜率 k 1 ， k 2 存在，则 l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 ＝ k 2 ， l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 k 2 ＝－ 1 ； ② 判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况 . (2) 求直线方程的常用方法 ① 直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果； ② 待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数 . 解析答案 变式训练 1 　 已知直线 l 经过直线 3 x ＋ 4 y － 2 ＝ 0 与直线 2 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的交点 P ，且垂直于直线 x － 2 y － 1 ＝ 0. (1) 求直线 l 的方程； 所以点 P 的坐标是 ( － 2,2) ，又因为直线 x － 2 y － 1 ＝ 0 ， 故直线 l 的方程为： y － 2 ＝－ 2( x ＋ 2) ，即 2 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0. 解析答案 (2) 求直线 l 关于原点 O 对称的直线方程 . 解　 直线 l 的方程 2 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是－ 1 与－ 2 ， 则直线 l 关于原点对称的直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 1 与 2 ， 题型二　圆的方程 例 2 　 (1)(2015· 湖北 ) 如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1,0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A ， B ( B 在 A 的上方 ) ，且 AB ＝ 2. ① 圆 C 的标准方程为 _______ _ ______________. 解析答案 解析　 由题意，设圆心 C (1 ， r )( r 为圆 C 的半径 ) ， ② 圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 ________. 解析 答案 所以直线 BC 的斜率为 k BC ＝－ 1 ， 解析 (2) 已知圆 C 经过点 A (2 ，－ 1) ，并且圆心在直线 l 1 ： y ＝－ 2 x 上，且该圆与直线 l 2 ： y ＝－ x ＋ 1 相切 . ① 求圆 C 的方程； 解析答案 解　 设圆的标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ， 故圆 C 的方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 2. 解析答案 解　 由 ① 知圆心 C 的坐标为 (1 ，－ 2) ， 点评 设直线 l 3 的斜率为 k 3 ，由 k 3 · k CB ＝－ 1 ，可得 k 3 ＝ 2. 即 4 x － 2 y － 13 ＝ 0. 求圆的方程的两种方法 (1) 几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程 . (2) 代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 . 点评 解析答案 变式训练 2 　已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上一定点 A (2,0) ， B (1,1) 为圆内一点， P ， Q 为圆上的动点 . (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程； 解　 设 AP 的中点为 M ( x ， y ) ，由中点坐标公式可知 ， P 点坐标为 (2 x － 2,2 y ). 因为 P 点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上， 所以 (2 x － 2) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ， 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1. 解析答案 (2) 若 ∠ PBQ ＝ 90° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 . 解　 设 PQ 的中点为 N ( x ， y ) ，连结 BN . 在 Rt △ PBQ 中， PN ＝ BN . 设 O 为坐标原点，连结 ON ，则 ON ⊥ PQ ， 所以 OP 2 ＝ ON 2 ＋ PN 2 ＝ ON 2 ＋ BN 2 ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － x － y － 1 ＝ 0. 题型三　直线与圆的位置关系、弦长问题 点评 例 3 　 (1)(2015· 重庆改编 ) 已知直线 l ： x ＋ ay － 1 ＝ 0( a ∈ R ) 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴，过点 A ( － 4 ， a ) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝ ________. 解析答案 解析 　 根据直线与圆的位置关系求解 . 由于直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴 ， ∴ 圆心 C (2,1) 在直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 上， ∴ 2 ＋ a － 1 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 1 ， ∴ A ( － 4 ，－ 1). ∴ AC 2 ＝ 36 ＋ 4 ＝ 40. 又 r ＝ 2 ， ∴ AB 2 ＝ 40 － 4 ＝ 36. ∴ AB ＝ 6 . 6 (2) 已知圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0. ① 写出圆 C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小； 解析答案 解　 圆 C 的标准方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 9 ， 则圆心 C 的坐标为 (1 ，－ 2) ，半径为 3. 点评 ② 是否存在斜率为 1 的直线 m ，使 m 被圆 C 截得的弦为 AB ，且 OA ⊥ OB ( O 为坐标原点 ). 若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，请说明理由 . 解析答案 点评 解　 假设存在这样的直线 m ，根据题意可设直线 m ： y ＝ x ＋ b . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 解析答案 得 2 x 2 ＋ 2( b ＋ 1) x ＋ b 2 ＋ 4 b － 4 ＝ 0 ， 因为直线与圆相交，所以 Δ >0 ， 即 b 2 ＋ 6 b － 9<0 ， 点评 则 y 1 ＝ x 1 ＋ b ， y 2 ＝ x 2 ＋ b ， 所以 x 1 x 2 ＋ ( x 1 ＋ b )( x 2 ＋ b ) ＝ 2 x 1 x 2 ＋ b ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ b 2 ＝ 0 ， 即 b 2 ＋ 3 b － 4 ＝ 0 得 b ＝－ 4 或 b ＝ 1 ， 且均满足 b 2 ＋ 6 b － 9<0 ， 故所求的直线 m 存在，方程为 y ＝ x － 4 或 y ＝ x ＋ 1. 研究直线与圆位置关系的方法 (1) 研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题 . (2) 与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d 及半 弦长 　 ， 构成直角三角形的三边，利用其关系来处理 . 点评 (1) 求证： △ OAB 的面积为定值； 解析答案 令 y ＝ 0 ，得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 2 t ， 即 △ OAB 的面积为定值 . 返回 (2) 设直线 y ＝－ 2 x ＋ 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程 . 解析答案 解析答案 解 　 ∵ OM ＝ ON ， CM ＝ CN ， ∴ OC 垂直平分线段 MN . 圆 C 与直线 y ＝－ 2 x ＋ 4 相交于两点 . 返回 圆 C 与直线 y ＝－ 2 x ＋ 4 不相交， ∴ t ＝－ 2 不符合题意，舍去 . ∴ 圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 5. 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 已知 x ， y 满足 x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 ，则 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 的最小值为 ________. 解析　 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 表示点 P ( x ， y ) 到点 Q (1,1) 的距离的平方 . 由 已知可得点 P 在直线 l ： x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 上， 所以 PQ 的最小值为点 Q 到直线 l 的距离， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. “ m ＝ 3 ” 是 “ 直线 l 1 ： 2( m ＋ 1) x ＋ ( m － 3) y ＋ 7 － 5 m ＝ 0 与直线 l 2 ： ( m － 3) x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 垂直 ” 的 ___________ _ ___ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 解析 　 由 l 1 ⊥ l 2 得 2( m ＋ 1)( m － 3) ＋ 2( m － 3) ＝ 0 ， ∴ m ＝ 3 或 m ＝－ 2. ∴ m ＝ 3 是 l 1 ⊥ l 2 的充分不必要条件 . 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3. 若动点 A ， B 分别在直线 l 1 ： x ＋ y － 7 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 5 ＝ 0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 ________. 解析　 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l 1 ： x ＋ y － 7 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 5 ＝ 0 的距离都相等的直线， 则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点 M 所在直线的方程为 l ： x ＋ y ＋ m ＝ 0 ， 即 l ： x ＋ y － 6 ＝ 0 ，根据点到直线的距离公式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 相交 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 ＝ a ， ∴ M (0,2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标 N (1,1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ， r 1 － r 2 ＝ 1. ∴ r 1 － r 2 ＜ MN ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 5. 设直线 l 1 ： mx － ( m － 1) y － 1 ＝ 0( m ∈ R ) ，则直线 l 1 恒过定点 ________ ；若直线 l 1 为圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 的一条对称轴，则实数 m ＝ ________. 解析　 ∵ 直线 l 1 ： mx － ( m － 1) y － 1 ＝ 0( m ∈ R ) ， ∴ ( x － y ) m ＋ y － 1 ＝ 0 ， ∵ 直线 l 1 ： mx － ( m － 1) y － 1 ＝ 0( m ∈ R ) 为圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 的一条对称轴， ∴ 直线 l 1 ： mx － ( m － 1) y － 1 ＝ 0( m ∈ R ) 经过圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 的圆心 (0 ，－ 1) ， ∴ m × 0 － ( m － 1) × ( － 1) － 1 ＝ 0 ，解得 m ＝ 2. (1,1 ) 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 如图，已知点 A 为圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 9 与圆 C ： ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 16 在第一象限内的交点 . 过点 A 的直线 l 被圆 O 和圆 C 所截得的弦分别为 NA ， MA ( M ， N 不重合 ). 若 NA ＝ MA ，则直线 l 的方程是 ________________. 即 5 kx － 5 y ＋ 12 － 9 k ＝ 0 ， ∴ 直线 l 的方程为 7 x － 24 y ＋ 45 ＝ 0. 7 x － 24 y ＋ 45 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 7.(2016· 山东 ) 在 [ － 1,1] 上随机地取一个数 k ，则事件 “ 直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 5) 2 ＋ y 2 ＝ 9 相交 ” 发生的概率为 ________. 解析　 由已知得，圆心 (5,0) 到直线 y ＝ kx 的距离小于半径， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 － 8 x ＋ 15 ＝ 0 ，若直线 y ＝ kx － 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ________. 解析　 圆 C 的标准方程为 ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，圆心为 (4,0). 由题意知 (4,0) 到 kx － y － 2 ＝ 0 的距离应不大于 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上有且仅有三个点到直线 12 x － 5 y ＋ c ＝ 0 的距离为 1 ，则实数 c 的值为 ________. ±13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知直线 l 过点 ( － 2,0) ，当直线 l 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 x 有两个交点时，其 斜 率 k 的取值范围是 ________________. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为已知直线过点 ( － 2,0) ， 那么圆的方程 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 x 配方为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， 表示 的是圆心为 (1,0) ，半径为 1 的圆， 设过点 ( － 2,0) 的直线的斜率为 k ， 则直线方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，则点到直线距离等于圆的半径 1 ， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 已知过点 A (0,1) ，且方向向量为 a ＝ (1 ， k ) 的直线 l 与圆 C ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 相交于 M ， N 两点 . (1) 求实数 k 的取值范围； 解　 ∵ 直线 l 过点 A (0,1) 且方向向量为 a ＝ (1 ， k ) ， ∴ 直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， 将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ， 得 (1 ＋ k 2 ) x 2 － 4(1 ＋ k ) x ＋ 7 ＝ 0 ， ＝ (1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 已知圆 M ∶ x 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 1 ， Q 是 x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆 M 于 A ， B 两点 . (1) 若 Q (1,0) ，求切线 QA ， QB 的方程； 解　 设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x ＝ my ＋ 1 ， 则 圆心 M 到切线的距离为 1 ， ∴ 切线 QA ， QB 的方程分别为 3 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0 和 x ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求四边形 QAMB 面积的最小值； 解　 ∵ MA ⊥ AQ ， ∴ S 四边形 MAQB ＝ MA · QA ＝ QA 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 设 AB 与 MQ 交于点 P ，则 MP ⊥ AB . ∵ MB ⊥ BQ ， 在 Rt △ MBQ 中， MB 2 ＝ MP · MQ ，