2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省蚌埠市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若复数i为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 复数为纯虚数，，解得，故选D.‎ ‎2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )‎ A．某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人 B．由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 D．在数列{an}中,a1=1,an= ,由此归纳出{an}的通项公式 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 演绎推理是由一般到特殊，所以可知选项.‎ ‎【详解】‎ 因为演绎推理是由一般到特殊，所以选项C符合要求，平行四边形对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以对角线互相平分.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了推理中演绎推理的概念，属于容易题.‎ ‎3．将极坐标化成直角坐标为（ ）‎ A．(0，-2) B．(0，2) C．(2，0) D．(-2，0)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用,即可得出直角坐标.‎ ‎【详解】‎ 因为, 极坐标化为直角坐标为,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标化为直角坐标，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.‎ ‎4．若，，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，展开后利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 且，,‎ 当且仅当时取等号．‎ 的最小值为2,故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎5．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意得 在(－∞，＋∞)上恒成立，即 ，选D.‎ ‎6．已知…，依此规律，若，则的值分别是（ ）‎ A．48，7 B．61，7 C．63，8 D．65，8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 仔细观察已知等式的数字可发现:,根据此规律解题即可.‎ ‎【详解】‎ 由, , , 归纳可得,‎ 故当时,, 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎7．若实数、满足：，则的取值范围是( )‎ A．[5，15] B．[10，15] C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴(为参数) ，∴ ‎ ‎，其中 ，又，∴，故的取值范围是，故选A．‎ 考点：椭圆参数方程的运用．‎ ‎8．已知函数,下列说法错误的是( )‎ A．函数最小正周期是 B．函数是偶函数 C．函数图像关于对称 D．函数在上是增函数 ‎【答案】D ‎【解析】函数 ,故函数是偶函数，最小正周期为，当 故函数图像关于对称，函数在上是减函数，因为函数的减区间为，故D不正确.‎ 故答案为：D.‎ ‎9．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原函数的图象可知在上先单调递增，后单调递减，再单调递增，在上单调递减；可确定出导函数在每个区间是大于零，还是小于零，分析各个选项中的图象，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由的图象可知：在先单调递增，后单调递减，‎ 再单调递增，而在上单调递减，‎ 故在区间上先大于0，后小于0，‎ 再大于0，在上恒小于0.‎ 分析选项中各个图象，只有选项符合，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查原函数图象与导函数图象的关系，属于基础题.原函数在区间上递增，则导函数图象在轴上方，原函数在区间上递减，则导函数图象在下方.‎ ‎10．用反证法证明命题：“已知.，若不能被7整除，则与都不能被7整除”时，假设的内容应为( )‎ A．, 都能被7整除 B．,不能被7整除 C．,至少有一个能被7整除 D．,至多有一个能被7整除 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．‎ 而命题“ 与都不能被7整除”的否定为“至少有一个能被7整除”，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键.‎ ‎11．以下命题，①若实数，则．‎ ‎②归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是由特殊到特殊的推理；‎ ‎③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0．2单位．‎ ‎④“若，则复数”类比推出“若，则”；‎ 正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由虚数不能比较大小判断①；由归纳推理与类比推理的定义判断②； 由回归方程的意义判断③；由类比推理以及无理数相等的性质判断④.‎ ‎【详解】‎ 因为虚数不能比较大小，故①错； ‎ 根据归纳推理与类比推理的定义可得②正确； ‎ 由回归方程意义知只是一个估计值，每增加一个单位时，平均增加0．2单位，③错；‎ 由类比推理以及无理数相等的性质可得，” ，④正确；‎ 即正确命题的个数为2，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查虚数的概念、归纳推理与类比推理、回归方程的意义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎12．已知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的图象上关于原点对称的点有2对，等价于函数的图象关于原点对称的函数的图象与直线的交点个数为2，画出函数图象，利用图象,结合导数的几何意义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 要使函数的图象上关于原点对称的点有2对，‎ 只需函数的图象关于原点对称的函数的图象与直线的交点个数为2即可.‎ 如图,可作出函数关于原点对称的函数的图象，‎ 当直线与的图象相切时,设切点为,‎ 又的导数为，则，解得，‎ 可得切线的斜率为1，结合图象可知时,函数的图象与直线有2个交点,即函数的图象上关于原点对称的点有2对,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的图象与性质以及导数的几何意义，考查了转换思想与数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将对称点问题转化为直线与曲线交点问题是解题的关键.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设复数 (i为虚数单位)，则＝_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以 .‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎14．关于的不等式的解集为，则实数________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，根据不等式的解集为列方程求解即可,‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 ,即,‎ 又关于的不等式的解集为，‎ ‎，且，‎ ‎，故选答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．‎ 非统计专业 统计专业 男 ‎15‎ ‎10‎ 女 ‎5‎ ‎20‎ 参考公式：‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．005‎ ‎0．001‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎7．879‎ ‎10．828‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．‎ 考点：独立性检验的应用．‎ ‎【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．‎ ‎16．已知在处有极值为10，则_______‎ ‎【答案】－7‎ ‎【解析】‎ f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，函数取得极值10，得解得或当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意舍去．而a＝4，b＝－11满足f′(x)在x＝1两侧异号，故a＋b＝－7.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在中，角，，的对边分别为，，，，， 且的面积为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求的周长 .‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦，余弦定理对式子化简求解即可；‎ ‎（2）利用余弦定理以及三角形的面积，求解三角形的周长即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.‎ ‎（2）∵，所以，，又，且 ，，的周长为 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式，也考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．设函数 ‎（1）求函数图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值是10，最小值是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性求得函数的极值，将极值与比较大小即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，可得，‎ 所以,可得,‎ 所以切线方程为 即；‎ ‎（2），列表如下：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴函数的单调递增区间是和，单调递减区间是 ‎∵，‎ ‎∴函数在[-1，2]上的最大值是10，最小值是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎19．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)直线经过定点，倾斜角为．‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线的普通方程．‎ ‎(2)设直线与曲线相交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）(为参数),；（2）14.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线经过定点，倾斜角为可得出直线的参数方程，由移项，两边平方可得曲线的普通方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，整理得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆 ： (为参数)的普通方程为，‎ 因为直线经过定点，倾斜角为，‎ 所以直线的参数方程为(为参数) ；‎ ‎(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程，整理，得 ‎，设，是方程的两根，则， ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线的参数方程，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.‎ ‎20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：‎ 日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 昼夜温差 就诊人数 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.‎ ‎（Ⅰ）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；‎ ‎（Ⅱ）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（Ⅱ）中所得到的线性回归方程是否是理想的？‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3） 该小组所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)该题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果；‎ ‎(2)根据所给的数据，求出的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和的平均数代入求的公式，求出的值，写出回归直线方程；‎ ‎(3)根据所求的回归直线方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值作差，差的绝对值不超过2，得到回归直线方程是理想的.‎ 详解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 ，所以 ‎ (2)由数据求得 , 由公式求得,‎ 再由 ‎ ‎ 所以关于的线性回归方程为 ‎ (3)当时,‎ 同理, 当时, ,,‎ 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.‎ 点睛：该题考查的是有关回归直线的问题，在解题的过程中，需要会用组合数来求对应的基本事件数，其次要会用回归直线方程中的有关系数的公式求方程中的系数，再者就是需要对题的意思认真分析，得到下一步要干的活是什么.‎ ‎21．已知，都是实数，，．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若对满足条件的所有，都成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简函数的解析式，由得或．求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题可得，由绝对值不等式可得的最小值为2，可得，再根据的解集，求得的解集.‎ 试题解析：（1），由得或 解得或，故所求实数的取值范围为．‎ ‎（2）由且，得，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵的解集为，∴的解集为，‎ ‎∴所求实数的取值范围为．‎ 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎22．已知函数， .‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若对任意，都有成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为， ，单调递减区间为;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，代入函数，求 ， 是函数的增区间， 是函数的减区间；（2）当成立，整理为 ，设 ，利用导数求函数的最小值，求整数的最大值.‎ 试题解析：（1）解：由题意可知函数的定义域为.‎ 当时， ，‎ ‎.‎ ‎①当或时， ， 单调递增.‎ ‎②当时， ， 单调递减.‎ 综上， 的单调递增区间为， ，单调递减区间为.‎ ‎（2）由，得，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴.‎ 令，则.‎ 令，∵，∴.‎ ‎∴在上递增， ，‎ ‎∴存在唯一的零点.‎ ‎∴，得.‎ 当时， ，‎ ‎∴在上递减；‎ 当时， ，‎ ‎∴在上递增.‎ ‎∴，‎ 要使对任意恒成立，只需.‎ 又，且，∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，分两步，第一步，利用导数求函数的单调区间，是一道比较常规的问题，第二步参变分离后，利用导数研究函数单调性，进而求最值，利用最值求参数取值范围，这一步涉及求二次导数，根据二次导数的恒成立，确定一次导数单调的，再根据零点存在性定理，得到函数的极值点的范围，思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.‎