人教A版理科数学课时试题及解析（58）二项式定理B

人教A版理科数学课时试题及解析（58）二项式定理B

课时作业(五十八)B　[第58讲　二项式定理]‎ ‎[时间：35分钟　　分值：80分]‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)‎ A．－‎27C B．‎27C C．－‎9C D．‎9C ‎2．二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(　　)‎ A．10 B．3‎ C．7 D．5‎ ‎3．若(1－x)n＝1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋xn(n∈N＋)，且a1∶a3＝1∶7，则a5等于(　　)‎ A．56 B．－56‎ C．35 D．－35‎ ‎4．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)‎ A．－150 B．150‎ C．300 D．－300‎ ‎5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，若‎2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ ‎6．若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ ‎7．设a＝sinxdx，则二项式6展开式的常数项是(　　)‎ A．160 B．20‎ C．－20 D．－160‎ ‎8.(1－t)3dt的展开式中x的系数是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－4 D．4‎ ‎9． 设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.‎ ‎10． (1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．‎ ‎11． 若已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋‎3a1＋‎5a2＋‎7a3＋‎9a4＋‎11a5的值为________．‎ ‎12．(13分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，n∈N*)．‎ ‎(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；‎ ‎(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数．‎ ‎13．(12分)设fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，其中a1，a2，a3，…，an是整数，若fn(2)和fn(3)都能被6整除，求证：fn(5)也能被6整除．‎ 课时作业(五十八)B ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n＝9，展开式的通项是Tr＋1＝C(3x2)9－rr＝(－1)r×39－rCx18－3r.令18－3r＝0，则r＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C＝‎27C.‎ ‎2．D　[解析] 展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，若二项式n的展开式中含有非零常数项，则3n－5r＝0，即n＝(r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，此时n的最小值是5.‎ ‎3．B　[解析] a1＝－C，a3＝－C，由a1∶a3＝1∶7，得n＝8，故a5＝－C＝－56.‎ ‎4．B　[解析] 由M＝n＝4n，N＝2n，所以M－N＝4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，‎ Tr＋1＝(－1)rC·54－r·x4－，由4－＝1⇒r＝2，‎ 则x的系数为(－1)‎2C·52＝150，选B.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] ∵a2＝C，an－5＝C(－1)n－5.∴‎2C＝C(－1)n－4，逐一代入检验，可知选B.‎ ‎6．C　[解析] 令x＝0得a0＝1，令x＝，‎ 得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 所以＋＋…＋＝－a0＝－1.‎ ‎7．D　[解析] a＝sinxdx＝(－cosx)＝2，所以二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C(2)6－rr＝C·26－r·(－1)rx3－r，当r＝3时，即第四项是二项展开式的常数项，该项的值是－‎23C＝－160.正确选项为D.‎ ‎8．B　[解析] (1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是－＝1.‎ ‎9．20　[解析] x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20.‎ ‎10．－5　[解析] 6的展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－C＝－20，当r＝4时，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5.‎ ‎11．－807　[解析] (2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，‎ 即(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.求出各个系数值进行计算．‎ a0＝1，a1＝－12，a2＝60，a3＝－160，a4＝240，a5＝－192.‎ 所以a0＋‎3a1＋‎5a2＋‎7a3＋‎9a4＋‎11a5＝－807.‎ ‎12．[解答] (1)由题意知C＋C＝19，‎ ‎∴m＋n＝19，∴m＝19－n.‎ x2的系数为C＋C＝C＋C＝(19－n)(18－n)＋n(n－1)＝n2－19n＋171＝2＋，‎ ‎∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值2＋＝81.‎ ‎(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，‎ x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.‎ ‎【难点突破】‎ ‎13．[解答] 证明：∵fn(2)＝‎2a1＋‎22a2＋‎23a3＋…＋2nan，‎ fn(3)＝‎3a1＋‎32a2＋‎33a3＋…＋3nan.‎ ‎∴fn(5)＝fn(2＋3)＝(2＋3)a1＋(2＋3)‎2a2＋(2＋3)‎3a3＋…＋(2＋3)nan＝fn(2)＋fn(3)＋‎6M，‎ 其中M＝Ca2＋(C·2＋C·3)a3＋…＋(C·2n－2＋…＋C·3n－2)an.‎ ‎∵fn(2)，fn(3)，‎6M均能被6整除，‎ ‎∴fn(5)也能被6整除．‎