2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高二上学期期中考试 数学(文)试题(Word版)

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2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高二上学期期中考试 数学(文)试题(Word版)

安徽省安庆市第一中学2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学(文)试题 一、选择题(共60题,每题5分。每题仅有一个正确选项。)‎ ‎1.下列说法正确的是 ( )‎ A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 ‎2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,‎ 其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 ( )‎ A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 ‎3.已知直线是异面直线,直线分别与都相交,则直线的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 ‎ C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能 ‎4.在正四面体的6条棱中随机抽取2条,则其2条棱互相垂直的概率为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥,则( )‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎6.直线与的位置关系是( )‎ A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与的值有关 ‎7.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为(  )‎ A.y=2x+5   B.y=2x+3 C.y=3x+5 D.y=-x+ ‎8.是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面平行的是 ( )‎ A.是平面内两条直线,且 B.内不共线的三点到的距离相等 ‎ C.都垂直于平面 D.是两条异面直线,,且 ‎9.某工作的三视图如图3所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=‎ 新工件的体积/原工件的体积)( )‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎10.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值是( )‎ ‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎12.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是AB、BC的中点,过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为V1、V2(V1<V2),则V1:V2=(  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(共20分,每题5分)‎ ‎13.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是________________.‎ ‎14. 四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,点都在同一个球面上,则该球的体积为_________.‎ ‎15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;② 一尺等于十寸)‎ ‎16.如果三棱锥的底面是正三角形,顶点在底面上的射影是△的中心,则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论:‎ ‎① 正三棱锥所有棱长都相等; ‎ ‎② 正三棱锥至少有一组对棱(如棱与)不垂直;‎ ‎ ③ 当正三棱锥所有棱长都相等时,该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值;‎ ‎ ④ 若正三棱锥所有棱长均为,则该棱锥外接球的表面积等于.‎ ‎⑤ 若正三棱锥的侧棱长均为2,一个侧面的顶角为,过点的平面分别交侧棱,于.则△周长的最小值等于.‎ 以上结论正确的是 (写出所有正确命题的序号).‎ 三、解答题(共70分,每题必需要有必要的解答过程)‎ ‎17(10分).如图,在四棱锥中,平面⊥平面,,分别是的中点.求证:‎ ‎(1)直线∥平面;‎ ‎(2)平面⊥平面.‎ ‎18(12分).如图,在三棱锥中,,, ,,.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求点C到平面距离. ‎ ‎19(12分).已知点P到两个定点M(-1,0),N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.‎ ‎20(12分).如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M为CD的中点,BD⊥PM.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(2)若∠APD=90°,四棱锥P﹣ABCD的体积为,求三棱锥A﹣PBM的高.‎ ‎21(12分).如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.‎ ‎(1)证明:AD∥平面EFGH;‎ ‎(2)设AB=2AA1=2a,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E,F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值.‎ ‎22(12分).如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(Ⅰ)证明:G是AB的中点;‎ ‎(Ⅱ )在图中作出点E在平面PAC内的正投影F ‎(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.‎ ‎2018—2019学年第一学期期中考试 高二数学试题(文)‎ ‎(考试时间:120分钟 满分:150分)‎ 注意事项:‎ 1、 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。‎ 2、 选择题答案请用2B铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置,非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置,否则不得分。‎ 3、 考试结束后,请将答题卡和答题卷一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题(共60题,每题5分。每题仅有一个正确选项。)‎ ‎1.下列说法正确的是 (B )‎ A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 ‎2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,‎ 其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是 (C )‎ A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般的平行四边形 ‎3.已知直线是异面直线,直线分别与都相交,则直线的位置关系 A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 ‎ C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能 答案 C ‎4.在正四面体的6条棱中随机抽取2条,则其2条棱互相垂直的概率为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ C ‎5.已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥,则( )‎ A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n ‎【答案】C ‎6.直线与的位置关系是( )‎ A.平行 B.垂直 C.斜交 D.与的值有关 B ‎7.设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线方程分别为x=0,y=x,则直线BC的方程为(  )‎ A.y=2x+5   B.y=2x+3 C.y=3x+5 D.y=-x+ 答案:A ‎8.是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面平行的是 ( )‎ A.是平面内两条直线,且 B.内不共线的三点到的距离相等 ‎ C.都垂直于平面 D.是两条异面直线,,且 D ‎9.某工作的三视图如图3所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)( )‎ A、 B、 C、 D、 ‎ ‎【答案】A ‎10.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎11.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值是( )‎ ‎ A.2 B. C. D. ‎ D ‎12.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是AB、BC的中点,过点D1、E、F的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为V1、V2(V1<V2),则V1:V2=( C )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题(共20分,每题5分)‎ ‎13.直线l:ax+(a+1)y+2=0的倾斜角大于45°,则a的取值范围是________________.‎ 答案 (-∞,-)∪(0,+∞)‎ ‎14. 四棱锥的底面边长和各侧棱长都为,点都在同一个球面上,则该球的体积为_________.‎ 解析: 如图所示,根据对称性,只要在四棱锥的高线SE上找到一个点 使得,则四棱锥的五个顶点就在同一个球面上.在中,‎ ‎,故.设球的半径为,则 中,,,即点E即为球心,‎ 故这个球的体积 ‎15. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;② 一尺等于十寸)‎ 答案:3‎ 解析:本题考查圆台的体积公式.做出圆台的轴截面如图,由题意知,BF=14(单位寸,下同),OC=6,OF=18,OG=9,即G是OF中点,所以GE为梯形的中位线,所以GE==10,即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(100π+36π+)=588π.盆口的面积为142π=196π,所以=3,即平地降雨量是3寸.‎ ‎16.如果三棱锥的底面是正三角形,顶点在底面上的射影是△的中心,则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论:‎ ‎① 正三棱锥所有棱长都相等; ‎ ‎② 正三棱锥至少有一组对棱(如棱与)不垂直;‎ ‎ ③ 当正三棱锥所有棱长都相等时,该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值;‎ ‎ ④ 若正三棱锥所有棱长均为,则该棱锥外接球的表面积等于.‎ ‎⑤ 若正三棱锥的侧棱长均为2,一个侧面的顶角为,过点的平面分别交侧棱,于.则△周长的最小值等于.‎ 以上结论正确的是 ▲ (写出所有正确命题的序号).‎ 答案:③,④,⑤‎ 三、解答题(共70分,每题必需要有必要的解答过程)‎ ‎17(10分).如图,在四棱锥中,平面⊥平面,,分别是的中点.求证:‎ ‎(1)直线∥平面;‎ ‎(2)平面⊥平面.‎ 解析:(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,‎ 所以EF∥PD.‎ 又因为平面PCD,PD⊂平面PCD,‎ 所以直线EF∥平面PCD.‎ ‎(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.‎ 因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF,‎ 所以平面BEF⊥平面PAD.‎ ‎18(12分).如图,在三棱锥中,,,,,.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求点C到平面距离.‎ ‎18.解:(1)过作交于一点,‎ ‎,‎ ‎.‎ 在中,,,则,.‎ 面积.‎ 四面体体积.‎ ‎(2)在中,连接.则,.‎ ‎,.‎ 在中,,,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 设点到平面距离为,由等体积法可知.‎ ‎.‎ ‎.从而.‎ 点到平面距离为.‎ ‎19(本题满分12分)已知点P到两个定点M(-1,0),N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程.‎ 解:设点P的坐标为(x,y),由题设有=,‎ 即=·,‎ 整理得x2+y2-6x+1=0.①‎ 因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为±,‎ 直线PM的方程为y=±(x+1).②‎ 将②式代入①式整理得x2-4x+1=0,‎ 解得x=2±,代入②式得点P的坐标为(2+,1+)或(2-,-1+)或(2+,-1-)或(2-,1-),‎ ‎∴直线PN的方程为y=x-1或y=-x+1.‎ ‎20(12分).如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,且∠DAB=60°,PA=PD,M为CD的中点,BD⊥PM.‎ ‎(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;‎ ‎(2)若∠APD=90°,四棱锥P﹣ABCD的体积为,求三棱锥A﹣PBM的高.‎ ‎20证明:(1)取AD的中点E,连接PE,EM,AC.‎ 底面ABCD为菱形, 又 EM ∥AC, 又BD⊥PM,‎ 则.‎ , 平面PAD⊥平面ABCD ‎(2)设, 由∠APD=90°,可得 由(1)知,则 ,则 连接,可得 .‎ 设三棱锥A﹣PBM的高为,则由,可得 即.‎ ‎21(12分).如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1不重合),且EH∥A1D1.过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G.‎ ‎(1)证明:AD∥平面EFGH;‎ ‎(2)设AB=2AA1=2a,在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点,记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p.当点E,F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时,求p的最小值.‎ ‎(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥A1D1,‎ 又因为EH∥A1D1,所以AD∥EH.‎ 因为AD平面EFGH,EH平面EFGH,‎ 则AD∥平面EFGH.‎ ‎(2)解:设BC=b,则长方体ABCD-A1B1C1D的体积V=AB·AD·AA1=2a2b.‎ 几何体EB1F-HC1C的体积V1=(EB1·B1F·B1C1)=EB1·B1F.‎ 因为,‎ 所以EB1·B1F.‎ 当且仅当EB1=B1F=时等号成立.‎ 从而V1≤.‎ 故≥.‎ 当且仅当EB1=B1F=时等号成立.‎ 则p的最小值为.‎ ‎22(12分).如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.‎ ‎(Ⅰ)证明:G是AB的中点;‎ ‎(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据题意分析可得PD⊥平面ABC,进而可得PD⊥AB,同理可得DE⊥AB,结合两者分析可得AB⊥平面PDE,进而分析可得AB⊥PG,又由PA=PB,由等腰三角形的性质可得证明;‎ ‎(Ⅱ)由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC,可得F为E在平面PAC内的正投影.由棱锥的体积公式计算可得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:∵P﹣ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影,‎ ‎∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB,‎ 又E为D在平面PAB内的正投影,‎ ‎∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB,‎ ‎∵PD∩DE=D,‎ ‎∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,‎ 则AB⊥PG,‎ 又PA=PB,‎ ‎∴G是AB的中点;‎ ‎(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.‎ ‎∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,‎ ‎∴PB⊥PA,PB⊥PC,‎ 又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,‎ 即点F为E在平面PAC内的正投影.‎ 连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.‎ 由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.‎ 由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC.‎ 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=3,PE=2.‎ 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.‎ 所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=.‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用,解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系.‎
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