高考理科数学专题复习练习3.1导数的概念及运算

高考理科数学专题复习练习3.1导数的概念及运算

第三章导数及其应用 ‎3.1导数的概念及运算 专题1‎ 导数的概念与几何意义 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,导数的概念与几何意义,选择题,理10)曲线y=‎1‎x(x>0)在点P(x0,y0)处的切线为l.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,则△OAB的周长的最小值为(　　)‎ A.4+2‎2‎ B.2‎‎2‎ C.2 D.5+2‎‎7‎ 解析:由y=‎1‎x,得y'=-‎1‎x‎2‎,则y'‎|‎x=‎x‎0‎=-‎1‎x‎0‎‎2‎,‎ ‎∴曲线y=‎1‎x(x>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为y-‎1‎x‎0‎=-‎1‎x‎0‎‎2‎(x-x0).‎ 整理,得x+x‎0‎‎2‎y-2x0=0.‎ 取y=0,得x=2x0,取x=0,得y=‎2‎x‎0‎.‎ ‎∴|AB|=‎4x‎0‎‎2‎+‎‎4‎x‎0‎‎2‎=2x‎0‎‎2‎‎+‎‎1‎x‎0‎‎2‎.‎ ‎∴△OAB的周长为|2x0|+‎2‎x‎0‎+2‎x‎0‎‎2‎‎+‎‎1‎x‎0‎‎2‎ ‎=2x‎0‎‎+‎‎1‎x‎0‎+2x‎0‎‎2‎‎+‎‎1‎x‎0‎‎2‎(x0>0)‎ ‎≥2×2x‎0‎‎·‎‎1‎x‎0‎+2‎2x‎0‎·‎‎1‎x‎0‎=4+2‎2‎.‎ 当且仅当x0=1时上式等号成立.故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数的概念与几何意义,填空题,理13)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为　　　　　　. ‎ 解析:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,对y=x3+ax+b求导,得y'=3x2+a,所以y'|x=1=3+a=2,解得a=-1,把(1,3)及a=-1代入曲线方程,得1-1+b=3,则b的值为3.‎ 答案:3‎ ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理9)直线y=‎1‎‎2‎x+b与曲线y=-‎1‎‎2‎x+ln x相切,则b的值为(　　)‎ A.-2 B.-1 C.-‎1‎‎2‎ D.1‎ 解析:设切点坐标为(m,n),由题意知曲线在该点切线斜率为y'|x=m=-‎1‎‎2‎‎+‎1‎m=‎‎1‎‎2‎,解得m=1,‎ ‎∵切点(1,n)在曲线y=-‎1‎‎2‎x+ln x的图象上,‎ ‎∴n=-‎1‎‎2‎,‎ ‎∵切点‎1,-‎‎1‎‎2‎又在直线y=‎1‎‎2‎x+b上,∴b=-1.故答案为B.‎ 答案:B ‎3.2导数与函数的单调性、极值、最值 专题1‎ 导数与函数的单调性 ‎■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y=‎1‎x B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg|x|‎ 解析:y=‎1‎x在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;y=e-x在(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C;y=lg|x|在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故排除D.‎ 答案:C ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理7)函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,则(　　)‎ A.a≤0 B.a<1‎ C.a<2 D.a≤‎‎1‎‎3‎ 解析:求导函数可得:f'(x)=3ax2-1.‎ ‎∵函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,‎ ‎∴f'(x)=3ax2-1≤0在R上恒成立.‎ ‎∴a≤0.故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(　　)‎ A.y=x+1‎ B.y=(x-1)2‎ C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)‎ 解析:由于函数y=x+1‎在(-1,+∞)上是增函数,故满足条件,‎ 由于函数y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,‎ 由于函数y=2-x在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件,‎ 由于函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数,故不满足条件,‎ 故选A.‎ 答案:A 专题2‎ 导数与函数的极值 ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的极值,选择题,理11)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)‎ C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)‎ D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)‎ 解析:由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0,当-22时,f'(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).故选D.‎ 答案:D 专题3‎ 导数与函数的最值 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,导数与函数的最值,选择题,理11)已知函数f(x)=‎-x‎2‎+2x,x≤0,‎ln(x+1),x>0,‎若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,0] B.(-∞,1]‎ C.[-2,1] D.[-2,0]‎ 解析:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,‎ 由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,直线l为曲线在x=0处的切线,当直线介于l和x轴之间符合题意,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,‎ 求其导数可得y'=2x-2,当x=0时,y'=-2,‎ 故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a∈[-2,0],故选D.‎ 答案:D ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的最值,解答题,理21)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.‎ ‎(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;‎ ‎(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.‎ 解:∵f(x)=ex-ax2-bx-1,‎ ‎∴g(x)=f'(x)=ex-2ax-b,‎ 又g'(x)=ex-2a,x∈[0,1],‎ ‎∴1≤ex≤e,‎ ‎∴①当a≤‎1‎‎2‎时,则2a≤1,g'(x)=ex-2a≥0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;‎ ‎②当‎1‎‎2‎0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,‎ g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b;‎ ‎③当a≥e‎2‎时,则2a≥e,g'(x)=ex-2a≤0,‎ ‎∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,‎ 综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为 g(x)min=‎‎1-b,a≤‎1‎‎2‎,‎‎2a-2aln(2a)-b,‎1‎‎2‎0⇒t0,‎g(1)=-a+1>0‎‎⇒‎a>e-2,‎a<1.‎ 又‎1‎‎2‎0,‎ ‎∴ln(1+sin 1)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,+∞)上为减函数.‎ ‎(2)解:由(1)得f(x)的极大值为f(1)=1,‎ 令g(x)=x2-2x+k,‎ 所以当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=k-1,‎ 又根据题意知方程f(x)=x2-2x+k有实数解,那么k-1≤1,即k≤2,‎ 所以实数k的取值范围是k≤2.‎ ‎(3)证明:∵函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,‎ 而1+‎1‎n>1(n∈N*,n≥2),‎ ‎∴f‎1+‎‎1‎n0,故函数f(x)递增,则f(x)max=f(1)=-6,故a≥-6;当x∈[-2,0)时,a≤x‎2‎‎-4x-3‎x‎3‎,记f(x)=x‎2‎‎-4x-3‎x‎3‎,令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍去正值),当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,故f(x)min=f(-1)=-2,则a≤-2.综上所述,实数a的取值范围是[-6,-2].‎ 答案:[-6,-2]‎ ‎■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,选择题,理11)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(1)>1,则f(x)>x的解集是(　　)‎ A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)‎ C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ 解析:设g(x)=f(x)-x,因为f(1)=1,f'(x)>1,所以g(1)=f(1)-1=0,g'(x)=f'(x)-1>0,所以g(x)在R上是增函数,且g(1)=0.所以f(x)>x的解集即是g(x)>0的解集(1,+∞).故选C.‎ 答案:C ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.‎ ‎(1)求a,b,c,d的值;‎ ‎(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x)恒成立,求k的取值范围.‎ 解:(1)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4,‎ 而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),‎ 故b=2,d=2,a=4,d+c=4,‎ 从而a=4,b=2,c=2,d=2.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1),‎ 设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,‎ 则F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1),‎ 由题设得F(0)≥0,即k≥1,‎ 令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2,‎ ‎①当1≤k0,‎ 即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=-x1(x1+2)≥0,x≥-2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.‎ ‎②当k=e2时,则F'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),从而当x∈(-2,+∞)时,F'(x)>0,‎ 即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.‎ ‎③当k>e2时,F(x)=2e2(x+2)(ex-e2),‎ F(-2)=‎2(e‎2‎-k)‎e‎2‎<0,所以当x>-2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,‎ 综上,k的取值范围是[1,e2).‎ ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数h(x)=xln x,φ(x)=ax‎2‎(a>0).‎ ‎(1)求g(x)=ax‎ ‎φ(t)dt;‎ ‎(2)设函数f(x)=h'(x)-g(x)-1,试确定f(x)的单调区间及最大最小值;‎ ‎(3)求证:对于任意的正整数n,均有e‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+…+‎‎1‎n‎≥‎enn!‎成立.‎ ‎(1)解:g(x)=ax‎ ‎φ(t)dt=ax‎ ‎at‎2‎dt=x-ax.‎ ‎(2)解:∵h'(x)=(xln x)'=ln x+1(x>0),‎ ‎∴f(x)=ln x+1-x-ax-1=ln x-x-ax(x>0),‎ f'(x)=‎1‎x‎-x-(x-a)‎x‎2‎=‎x-ax‎2‎(x>0),‎ ‎∵a>0,∴函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,‎ 函数f(x)的最小值为f(a)=ln a,函数f(x)无最大值.‎ ‎(3)证明:取a=1,由(2)知,f(x)=ln x-x-1‎x≥f(1)=0,‎ ‎∴ln x≥x-1‎x=1-‎1‎x,即‎1‎x≥1-ln x=lnex,亦即e‎1‎x‎≥‎ex,‎ 分别取x=1,2,…,n,得e‎1‎‎1‎‎≥e‎1‎,e‎1‎‎2‎≥e‎2‎,e‎1‎‎3‎≥‎e‎3‎,…,e‎1‎n‎≥‎en,‎ 将以上各式相乘,得e‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+…+‎‎1‎n‎≥‎enn!‎.‎ ‎■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理19)设函数f(x)=x+ax2+bln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)证明:f(x)≤2x-2.‎ ‎(1)解:f'(x)=1+2ax+bx,‎ 由已知条件,得f(1)=0,‎f'(1)=2,‎即‎1+a=0,‎‎1+2a+b=2.‎ 解之,得a=-1,b=3.‎ ‎(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知f(x)=x-x2+3ln x,‎ 设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,则 g'(x)=-1-2x+‎3‎x=-‎(x-1)(2x+3)‎x.‎ 当00;当x>1时,g'(x)<0,‎ ‎∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0,‎ 即当x>0时,函数g(x)≤0.‎ ‎∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立.‎ 专题4‎ 定积分在物理中的应用 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,定积分在物理中的应用,选择题,理8)曲线y=‎2‎x与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A.2ln 2 B.2-ln 2‎ C.4-ln 2 D.4-2ln 2‎ 解析:令x=4,代入直线y=x-1得A(4,3),同理得C‎4,‎‎1‎‎2‎.‎ 由‎2‎x=x-1,解得x=2,‎ 所以曲线y=‎2‎x与直线y=x-1交于点B(2,1).‎ ‎∴S阴=S梯形ABEF-SBCFC 而SBCFE=‎2‎‎4‎‎ ‎‎2‎xdx=2ln x‎|‎‎2‎‎4‎=2ln 4-2ln 2=2ln 2.‎ ‎∵S梯形ABEF=‎1‎‎2‎(1+3)×2=4,‎ ‎∴封闭图形ABC的面积S阴=S梯形ABEF-SBCFE=4-2ln 2,故选D.‎ 答案:D