2017-2018学年四川省绵阳市南山中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年四川省绵阳市南山中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省绵阳市南山中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用复数模的计算公式即可得结果.‎ 详解：，则，故选A.‎ 点睛：本题主要考查复数模的计算公式，意在考查对基本公式的掌握情况，属于简单题.‎ ‎2．已知命题则为 A． 　B．‎ C． 　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵“任意的”否定为“存在”， “>”否定为“≤”，∴为，故选C ‎3．不等式的解集是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据解绝对值不等式的解法，利用“大于看两边，小于看中间”的原则，将不等式化简，从而可得结果.‎ 详解：不等式可化为或，‎ 解得或，‎ 不等式的解集是或，故选A.‎ 点睛：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中利用“大于看两边，小于看中间”的原则 ，将含绝对值符号的不等式化为整式不等式是解答本题的关键.‎ ‎4．曲线在点处的切线方程是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意，由于曲线在点处的导数值为-3，故可知在该点的切线方程由点斜式方程得到，选B.‎ 考点：导数的几何意义 点评：解决的关键是通过导数值得到切线的斜率以及直线方程，属于基础题。‎ ‎5．已知，且，，则下列各式恒成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，两边同时乘以，得到，两边再同时乘以，变号，即，故选.‎ 考点：不等式的性质 ‎6．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，所以单调递增区间是，选D.‎ ‎7．下列求导数运算错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据导数的运算法则，对选项中的函数逐一求导，即可判断正误.‎ 详解：，对；‎ ‎，对；‎ ‎，错；‎ ‎ ，对，故选C.‎ 点睛：本题主要考查初等函数的求导公式以及导数的运算法则，意在考查对基本公式、基本运算法则掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎8．设函数在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数可能为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，当时，函数单调递增，故；‎ 当时，函数先增再减然后再增，故导函数的符号为先正再负然后再正．‎ 结合所给选项可得D符合题意．选D．‎ ‎9．给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题：‎ ‎②命题“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎③若“”为真命题，“”为假命题，则为真命题，为假命题；‎ ‎④函数有极值的充要条件是或 .‎ 其中正确的个数有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：①根据原命题与逆否命题的等价性可判断；②根据否命题的定义判断；③根据“或命题”与“且命题”的性质判断；④根据有两相异根的充要条件判断.‎ 详解：①因为命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题为真命题，①错；‎ ‎② “若，则”的否命题是“若，则”， ②正确；‎ ‎③若“”为真命题，“”为假命题，则真假，或假真，③错；‎ ‎④求得，方程有两个不同解的充要条件是 或，所以函数有极值的充要条件是或，④正确，故选B.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的极值、充要条件、四个命题之间的关系，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎10．是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据是的必要不充分条件，可得是解集的子集，根据包含关系列不等式求解即可.‎ 详解：因为是的必要不充分条件，‎ 所以是解集的子集，‎ 所以解集只能是，‎ 可得，即实数的取值范围是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件,集合的子集，意在考查学生综合应用所学知识解决问题的能力.‎ ‎11．若函数上是减函数，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.‎ 详解：因为在上是减函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即，即，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ ‎12．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，令，由可得，即函数为减函数，利用单调性结合选项，分析即可得结论. ‎ 详解：构造函数，‎ 则其导数，‎ 由，且恒有，‎ 可得，所以函数为减函数，‎ 又由，则有，‎ 即，可得，‎ 又由，则有，即，‎ 分析可得，故选C.‎ 点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数..‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．设，若复数(是虚数单位)的实部为，则 __________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：直接利用复数除法的运算法则，化简复数，根据实部的定义即可得结果.‎ 详解：因为，复数的实部为，‎ ‎，解得，故答案为.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎14．函数的最小值是__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：直接利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.‎ 详解：由均值不等式可得，‎ ‎ ，当且仅当时取等号，‎ 即函数的最小值是，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. ‎ ‎15．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为，它与曲线（‎ 为参数）,相交于两点和 ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程 ‎∴.‎ 视频 ‎16．知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：‎ ‎① 当时，；② 函数的单调递减区间是和；‎ ‎③ 对，都有. 其中正确的序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】①时，，错误；‎ ‎②当时，，则在单调递减，由奇函数对称性可知，在也单调递减，正确；‎ ‎③由导函数分析可知，，所以，正确。‎ 所以正确的命题是②③。‎ 点睛：本题考查函数的基本性质及导数的应用。奇偶性的性质求解析式，通过求导判断单调区间，以及通过单调区间判断最大最小值。本题中的最值判断，需要对原函数进行观察，可知。‎ 三、解答题 ‎17．已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的不等式的解集为.若为真命题，为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由为真命题，为假命题可知，、必定是一真一假.故先讨论“命题为真，命题”为真的情况，根据命题、一真一假，得到的取值范围．‎ 试题解析：若命题为真，因为函数的对称轴为，则 若命题为真，当时原不等式为，显然不成立 当时，则有 由题意知，命题、一真一假 故或 解得或 考点：1.简单的逻辑连接词；2.二次函数的单调性；3.一元二次不等式的解法.‎ ‎18．某产品每件成本元，售价元，每星期卖出件.如果降低价格，销售量可以增加，即：若商品降低（单位：元，），则一个星期多卖的商品为件.已知商品单件降低元时，一星期多卖出件.（商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本）‎ ‎（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；‎ ‎（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.‎ ‎【答案】（1）；（2）18‎ ‎【解析】分析：(1)若商品降低元，则一个星期多卖的商品为件，可得，解得，利用价格与销售产品数量之积减去成本可得一个星期的商品销售利润；（2）对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，与区间端点函数值比较即可的结果.‎ 详解： (1)若商品降低元，则一个星期多卖的商品为件.‎ 由已知条件，得，解得. ‎ 因为一个星期的商品销售利润为，则：‎ ‎.-‎ ‎(2) 根据(1)，有．‎ 令,解得:，当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎∴当时，取得极大值；当时，取得极小值 ‎∵，， ‎ ‎∴当时， ‎ 所以，定价为(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.‎ 点睛：本题主要考查的是导数在现实生活中的应用、利用导数研究函数的最值，属于中档题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.‎ ‎19．已知 ‎（1）求曲线在点出的切线方程；‎ ‎（2）设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2），等价于，，，利用导数研究函数的单调性，可得要满足对恒成立，只需，从而可得结果.‎ 详解：（1）由题知：,则，‎ ‎ ∴曲线在点处切线的斜率为 ‎ 所以，切线方程为，即. ‎ ‎ (2)由题知：，即，‎ 令，则，‎ 令解得，‎ ‎∴在单增；单减，‎ 又∵有唯一零点 所以，可作出函数的示意图， ‎ 要满足对恒成立，只需解得.即实数的取值范围是 ‎ 法二：令，则，‎ 令，则 ， 令，则，‎ ‎∴在单增，单减；，故对恒成立.‎ ‎∴在单减， ‎ 又∵对恒成立，令得 ‎∴，无论在有无零点，‎ ‎∴在上的最小值只可能为或，‎ 要恒成立，‎ ‎∴且， ‎ ‎∴.即实数的取值范围是 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎20．已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）18‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)将极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得：=.‎ 试题解析：‎ ‎（1）曲线C的极坐标方程即：，‎ 转化为直角坐标方程为：‎ 整理可得曲线C的直角坐标方程 ‎（2）由直线的参数方程可得：直线过点，倾斜角为，‎ 联立直线的参数方程与二次曲线方程可得：，‎ 则：=.‎ ‎21．设函数. ‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）如果，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】第一问考查含有多个绝对值的不等式的解法—零点分段讨论法！第二问考查不等式恒成立的时候求参数的取值范围。一般是分离参数或者