福建省泉州市惠安县第十六中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

福建省泉州市惠安县第十六中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

泉州第十六中学2019年秋季期中考试卷 高三数学（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则集合的子集个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，则的子集个数为个.‎ 考点：子集．‎ ‎2.已知a＞b，c＞d，c≠0，d≠0则下列命题正确的是（　　）‎ A. a﹣c＞b﹣d B. C. ac＞bd D. c﹣b＞d﹣a ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：,又，故A正确.‎ 考点：不等关系与不等式.‎ ‎3.若点在角的终边上，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，，故选A.‎ 考点：任意角三角函数定义.‎ ‎4.向量，，若，则（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，‎ 得得，故选C.‎ 考点：向量的垂直运算，向量的坐标运算.‎ ‎5.已知直线，平面，则是的 （ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得,则．故本题答案选C．‎ 考点：两角和的余弦公式．‎ ‎7.函数的零点所在的大致区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，，所以零点所在的大致区间为，选C.‎ 考点：零点存在定理 ‎8.函数y＝的图象大致为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先分析函数的定义域，可排除A,再根据函数的奇偶性为奇函数排除C，利用特值法区分答案B,D.‎ ‎【详解】函数y＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，A错；‎ 因为f(－x)＝＝－f(x)，f(x)是奇函数，排除C项；‎ 当x＝2时，y＝>0，排除D项，只有B项适合．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，特值法，利用上述性质区分函数图象，属于中档题.‎ ‎9.设a＝,b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　 )‎ A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. a＜c＜b ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由a=60.7＞60=1，0＜b=0.76＜0.7，c=log0.76＜log0.71=0，知c＜b＜a．‎ 详解：∵a=60.7＞60=1，‎ ‎0＜b=0.76＜0.7，‎ c=log0.76＜log0.71=0，‎ ‎∴c＜b＜a．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查对数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎10.若函数，则函数与函数的图象交点的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：作图可得函数与的图象有个交点，故选项为D.‎ 考点：函数图象的交点.‎ ‎11.如图，在正方形网格纸上，粗实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸.若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 多面体为两个正四棱锥的组合体（底面重合）.两顶点之间距离为，底面为边长为的正方形,所以 选C.‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎12.已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据可知，‎ 令为增函数，‎ 所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.‎ 考点：函数导数与不等式，恒成立问题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷的相应位置）‎ ‎13.设满足约束条件：，则的最小值为 ____________．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个开放区域，两条平行射线，一条线段AB及其内部，其中，所以直线过点B时取最小值-3.‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎14.在中，，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：正余弦定理解三角形 ‎15.已知，，，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：.‎ 考点：基本不等式.‎ ‎【方法点晴】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，和为定值时，可以巧用定值凑基本不等式的结构. 本题中将化为，把要求的式子变成，展开后得，由于为和的结构且为定值，利用均值不等式即可.‎ ‎16.已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 设等差数列的公差为.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴，即.‎ ‎∴或（舍去）‎ ‎∴等差数列的首项为，公差为，则.‎ ‎∴‎ 联立，即，解得.‎ ‎∴‎ ‎∴数列项中的最大值为 故答案为.‎ 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：‎ ‎（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；‎ ‎（2）可以用或；‎ ‎（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.‎ 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）分别求，；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数a的取值集合．‎ ‎【答案】（1），或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接根据条件求交集与补集并集等.‎ ‎(2)分情况当为空集和不为空集时讨论即可.‎ 详解】（1） ‎ 或或 ‎（2）① 当时，，此时；‎ ‎② 当时，，则；‎ 综合①②，可得的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查集合的交并补运算,属于基础题型.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的周长．‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:（1）将函数的解析式进行化简，先展开，再进行降幂，应用辅角公式转化为的形式.（2）由于只需求出的值，应用面积公式求出，再由余弦定理计算出的值，故 试题解析:（1）‎ ‎．‎ 当时，取最小值为．………………（6分）‎ ‎（2），，‎ ‎，，．，，‎ 由余弦定理得，‎ 即，，所以的周长为．………………（12分）‎ 考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.‎ ‎19.已知为等比数列的前项和，，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式及；‎ ‎（2）若，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设数列的公比为，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）得出，，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．‎ 试题解析：（1）设数列的公比为，‎ 由题意知，∴，∴.‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）可得，，‎ ‎∴，．‎ 考点：数列的通项公式；数列的求和．‎ ‎20.直三棱柱中，，，，点是线段上的动点.‎ ‎（1）当点是中点时，求证：平面；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，‎ 又点是的中点，由中位线定理得，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）当时平面平面.‎ 证明：因为平面，平面，所以．‎ 又，，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面，‎ 故点满足.‎ 因为，，，所以，‎ 故是以角为直角的三角形，‎ 又，所以.‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）求在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导后令,再根据导函数的正负确定的单调区间和极值即可. (2)根据(1)中的极小值,分析,,三种情况讨论在上的最小值即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 由，得；‎ 当时，；当时，；‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎ ，无极大值．‎ ‎（2）当，即时，在上递增，∴；‎ 当，即时，在上递减，∴；‎ 当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导函数求原函数的单调性与极值的问题,‎ 同时也考查了含参数的最值讨论问题,属于中等题型.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中参数，为常数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线的方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线相交于，两点，且，求常数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用平方关系消去参数可得圆的方程, 由直线的极坐标方程,可得直角极坐标方程；（2）利用直线参数的几何意义、韦达定理将用表示，解方程即可求得常数的值．‎ 试题解析：解：（1），，‎ 所以曲线的普通方程为：．‎ ‎（2）将曲线的方程变形为与直线的参数方程联立得：‎ ‎．‎ 首先，由韦达定理，．‎ 由参数的含义知：，‎ 即，满足，故，综上常数的值为．‎ 考点：1、简单曲线的极坐标方程；2、圆的参数方程及直线参数方程的应用．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）时，‎ ‎∴当时，不合题意；‎ 当时，，解得；‎ 当时，符合题意．‎ 综上，的解集为．‎ ‎（2）‎ 设，的图象和的图象如图，‎ 易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，‎ 从而．‎ ‎ ‎