【数学】2021届一轮复习人教A版数学思想方法第1讲学案

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【数学】2021届一轮复习人教A版数学思想方法第1讲学案

‎ ‎ 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 数学思想解读 ‎1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点,描述两个量之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系,相互为用的.‎ ‎2.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:‎ ‎(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;‎ ‎(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.‎ 热点一 函数与方程思想 应用1 求解不等式、函数零点的问题 ‎【例1】 (1)(2018·衡阳市联考)设01)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是________.‎ 解析 (1)设f(x)=ex-x-1,x>0,则f′(x)=ex-1,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,f(x)>0,‎ ‎∴ex-1>x,即ea-1>a.‎ 又y=ax(0ae,‎ 从而ea-1>a>ae.‎ ‎(2)由f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,‎ 因为当x∈[-2,0]时,f(x)=-6.‎ 所以若x∈[0,2],有-x∈[-2,0],‎ 则f(-x)=-6=3x-6,‎ 因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=3x-6,x∈[0,2],‎ 由f(x)-loga(x+2)=0得f(x)=loga(x+2),‎ 作出函数f(x) 的图象如图.‎ 当a>1时,要使方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根,‎ 则等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足即 解得0恒成立,‎ ‎∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,‎ ‎∴当x=1时,f(x)min=f(1)=3,(bn)max=.‎ 要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立,‎ 则须使k≥(bn)max=,‎ ‎∴实数k的最小值为.‎ 应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用 ‎【例3】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.‎ ‎(1)若=6,求k的值;‎ ‎(2)求四边形AEBF面积的最大值.‎ 解 (1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).‎ 如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,‎ 故x2=-x1=.①‎ 由=6知x0-x1=6(x2-x0),‎ 得x0=(6x2+x1)=x2=;‎ 由D在AB上知x0+2kx0=2,‎ 得x0=.所以=,‎ 化简得24k2-25k+6=0,‎ 解得k=或k=.‎ ‎(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为 h1==,‎ h2==.‎ 又|AB|==,‎ 所以四边形AEBF的面积为 S=|AB|(h1+h2)‎ ‎=··= ‎=2=2≤2,‎ 当且仅当4k2=1(k>0),即当k=时,上式取等号.‎ 所以S的最大值为2.‎ 即四边形AEBF面积的最大值为2.‎ 探究提高 几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的求法来求解,这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.‎ ‎【训练3】 (1)(2018·平顶山一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=-x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B.2 C. D. ‎(2)已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.‎ 解析 (1)设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x-c)代入双曲线渐近线方程y=-x得A.‎ 由=2,可得B,把B点坐标代入-=1,得-=1.∴c2=5a2,‎ 所以离心率e==.‎ ‎(2)如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积V=a2h=,‎ 故a2h=32,即a2=.‎ 则其侧棱长为l==.‎ 令f(h)=+h2,则f′(h)=-+2h=,‎ 令f′(h)=0,解得h=2.‎ 显然当h∈(0,2)时,f′(h)<0,f(h)单调递减;‎ 当h∈(2,+∞)时,f′(h)>0,f(h)单调递增.‎ 所以当h=2时,f(h)取得最小值f(2)=+22=12,‎ 故其侧棱长的最小值l==2.‎ 答案 (1)C (2)2 热点二 数形结合思想 应用1 讨论函数的零点或方程的根 ‎【例4】 (1)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.‎ ‎(2)(2018·山东卷)已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________.‎ 解析 (1)由f(x)=|2x-2|-b有两个零点,‎ 可得|2x-2|=b有两个不等的实根,‎ 从而可得函数y=|2x-2|的图象与函数y=b的图象有两个交点,如图所示.‎ 结合函数的图象,可得0<b<2.‎ ‎(2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.‎ ‎∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m20.又m>0,解得m>3.‎ 答案 (1)(0,2) (2)(3,+∞)‎ 探究提高 1.本题利用数形结合思想,将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.‎ ‎2.探究方程解的问题应注意两点:(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数 ‎,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性,否则会得到错解.‎ ‎(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则,不要刻意去用数形结合.‎ ‎【训练4】 (2018·乐山二模)若函数f(x)满足f(x-1)=,当x∈[-1,0]时,f(x)=x,若在区间[-1,1)上,g(x)=f(x)-mx+m有两个零点,则实数m的取值范围为________.‎ 解析 ∵x∈[-1,0]时,f(x)=x.‎ ‎∴当x∈(0,1)时,-10).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ 解析 (1)在同一坐标系中作出三个函数y=x2+1,y=x+3,y=13-x的图象如图:‎ 由图可知,在实数集R上,min{x2+1,x+3,13-x}为y=x+3上A点下方的射线,抛物线AB之间的部分,线段BC,与直线y=13-x点C下方的部分的组合图.显然,在区间[0,+∞)上,在C点时,y=min{x2+1,x+3,13-x}取得最大值.‎ 解方程组得点C(5,8).‎ 所以f(x)max=8.‎ ‎(2)根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心C的坐标为(3,4),半径r=1,且|AB|=2m.‎ 因为∠APB=90°,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.‎ 要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.‎ 因为|OC|==5,‎ 所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.‎ 答案 (1)C (2)B 探究提高 1.第(1)题利用函数的图象求最值,避免分段函数的讨论;第(2)题利用几何直观,把m的值转化为圆上的点到原点的距离.‎ ‎2.运用数形结合思想求解最值问题 ‎(1)对于几何图形中的动态问题,应分析各个变量的变化过程,找出其中的相互关系求解.‎ ‎(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式,主要有:①比值——可考虑直线的斜率;②二元一次式——可考虑直线的截距;③根式分式——可考虑点到直线的距离;④根式——可考虑两点间的距离.‎ ‎【训练5】 (2018·九江十校联考)设A,B在圆x2+y2=1上运动,且|AB|=,点P在直线l:3x+4y-12=0上运动,则|+|的最小值为(  )‎ A.3 B.4 C. D. 解析 设AB的中点为D,则+=2,‎ ‎∴当且仅当O,D,P三点共线时,|+|取得最小值,‎ 此时OP⊥AB,且OP⊥l.‎ ‎∵圆心到直线的距离为=,‎ ‎|OD|==,‎ ‎∴|+|的最小值为2=.‎ 答案 D 应用3 数形结合求解不等式、参数问题 ‎【例6】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)‎ C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)‎ ‎(2)(2018·西安调研)已知变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m=(  )‎ A.-1 B.-2 C.1 D.2‎ 解析 (1)设g(x)=(x≠0),则g′(x)=.当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,‎ ‎∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上为减函数,且g(1)=f(1)=-f(-1)=0.‎ ‎∵f(x)为奇函数,∴g(x)为偶函数,∴g(x)的图象的示意图如图所示.‎ 当x>0时,由f(x)>0,‎ 得g(x)>0,由图知00,‎ 得g(x)<0,由图知x<-1,‎ ‎∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).‎ ‎(2)将目标函数变形为y=2x-z,当z取最大值时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,故当m≤时,不满足题意.‎ 当m>时,作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示(含边界).‎ y=2x-z过点B时,直线在y轴上的截距最小,此时z=2x-y取得最大值.‎ 易求点B,‎ ‎∴最大值为z=2×-=2,解得m=1.‎ 答案 (1)A (2)C 探究提高 1.第(1)题利用了数形结合思想,由条件判断函数的单调性,再结合f(-1)=0可作出函数的图象,利用图象即可求出x的取值范围.‎ ‎2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.‎ ‎【训练6】 (1)当x∈(1,2)时,(x-1)21.‎ 在同一坐标系内作出y=(x-1)2,x∈(1,2)及y=logax的图象.‎ 若y=logax过点(2,1),得loga2=1,所以a=2.‎ 根据题意,函数y=logax,x∈(1,2)的图象恒在y=(x-1)2,x∈(1,2)的上方.‎ 结合图象,a的取值范围是(1,2].‎ ‎(2)作线性约束条件表示的可行域如图所示.‎ 令t=表示可行域内的点P(x,y)与定点M(1,1)连线的斜率.‎ 易求点B(-1,0),kMB==,且x+y=0的斜率为-1.‎ ‎∴-1
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