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文档介绍
【数学】2021届一轮复习人教A版数学思想方法第1讲学案
第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 数学思想解读 1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点,描述两个量之间的依赖关系,刻画数量之间的本质特征,在提出数学问题时,抛开一些非数学特征,抽象出数量特征,建立明确的函数关系,并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系,列出方程(组),进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系,相互为用的. 2.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面: (1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质; (2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确. 热点一 函数与方程思想 应用1 求解不等式、函数零点的问题 【例1】 (1)(2018·衡阳市联考)设01)恰有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是________. 解析 (1)设f(x)=ex-x-1,x>0,则f′(x)=ex-1, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,f(x)>0, ∴ex-1>x,即ea-1>a. 又y=ax(0ae, 从而ea-1>a>ae. (2)由f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4, 因为当x∈[-2,0]时,f(x)=-6. 所以若x∈[0,2],有-x∈[-2,0], 则f(-x)=-6=3x-6, 因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=3x-6,x∈[0,2], 由f(x)-loga(x+2)=0得f(x)=loga(x+2), 作出函数f(x) 的图象如图. 当a>1时,要使方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数根, 则等价于函数f(x)与g(x)=loga(x+2)有3个不同的交点,则满足即 解得0恒成立, ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴当x=1时,f(x)min=f(1)=3,(bn)max=. 要使对任意的正整数n,不等式bn≤k恒成立, 则须使k≥(bn)max=, ∴实数k的最小值为. 应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用 【例3】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点. (1)若=6,求k的值; (2)求四边形AEBF面积的最大值. 解 (1)依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4, 故x2=-x1=.① 由=6知x0-x1=6(x2-x0), 得x0=(6x2+x1)=x2=; 由D在AB上知x0+2kx0=2, 得x0=.所以=, 化简得24k2-25k+6=0, 解得k=或k=. (2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为 h1==, h2==. 又|AB|==, 所以四边形AEBF的面积为 S=|AB|(h1+h2) =··= =2=2≤2, 当且仅当4k2=1(k>0),即当k=时,上式取等号. 所以S的最大值为2. 即四边形AEBF面积的最大值为2. 探究提高 几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的求法来求解,这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法. 【训练3】 (1)(2018·平顶山一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=-x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为( ) A. B.2 C. D. (2)已知正四棱锥的体积为,则正四棱锥的侧棱长的最小值为________. 解析 (1)设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x-c)代入双曲线渐近线方程y=-x得A. 由=2,可得B,把B点坐标代入-=1,得-=1.∴c2=5a2, 所以离心率e==. (2)如图所示,设正四棱锥的底面边长为a,高为h.则该正四棱锥的体积V=a2h=, 故a2h=32,即a2=. 则其侧棱长为l==. 令f(h)=+h2,则f′(h)=-+2h=, 令f′(h)=0,解得h=2. 显然当h∈(0,2)时,f′(h)<0,f(h)单调递减; 当h∈(2,+∞)时,f′(h)>0,f(h)单调递增. 所以当h=2时,f(h)取得最小值f(2)=+22=12, 故其侧棱长的最小值l==2. 答案 (1)C (2)2 热点二 数形结合思想 应用1 讨论函数的零点或方程的根 【例4】 (1)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________. (2)(2018·山东卷)已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________. 解析 (1)由f(x)=|2x-2|-b有两个零点, 可得|2x-2|=b有两个不等的实根, 从而可得函数y=|2x-2|的图象与函数y=b的图象有两个交点,如图所示. 结合函数的图象,可得0<b<2. (2)作出f(x)的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2. ∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2查看更多
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