四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高二期中考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足（其中是虚数单位），则 ‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎3．已知实数、满足约束条件，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎4．在边长为2的菱形中，，是的中点，则 A． B． C． D．‎ ‎5．已知，则“”是“是第三象限角”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在等差数列中，已知，，则等于 ‎ A．50 B．52 C．54 D．56‎ ‎7．在2018年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说的是假话，那么获得一等奖的代表队是 ‎ A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．无法判断 ‎8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 ‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎10.已知函数f（x）=是奇函数，若f（2m-1）+f（m-2）≥0，则m的 取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，，若对任意，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．函数在处的切线方程为__________．‎ ‎14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．‎ ‎15．若函数为偶函数，则__________．‎ ‎16．若函数在区间上有极值,则实数a的取值范围为_________.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17． （12分）山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.‎ ‎（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；‎ ‎（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.‎ ‎18．（12分）已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的取值范围.‎ ‎19．（12分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了人，得到如图示的列联表：‎ 闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过岁 年龄超过岁 合计 ‎（Ⅰ）能否有的把握认为闯红灯行为与年龄有关？‎ ‎（Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立与的回归方程，并估计该路口月份闯红灯人数.‎ 附： ，‎ 参考数据：，‎ ‎20．（12分）如图，在直角梯形中，，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图所示.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求点A到平面的距离.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（I）当时，求的最小值；‎ ‎（II）若存在实数，，使得，求的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）若的参数方程中的时，得到点，求的极坐标和曲线直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，和曲线交于两点，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 若函数的最小值为2．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若 ，且，证明：．‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高二期中考试 文科数学参考答案 ‎1-5:CACDB 6-10:CCBDB 11-12:AB ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05； ‎ ‎∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分) ‎ ‎(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；‎ ‎∴参加测试的总人数为=40人， ‎ ‎∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人， ‎ 设第一组50~60分数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90~100分数段的同学为B1，B2‎ 则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种 ‎ 则选出的两人为“帮扶组”的概率为 ‎18．（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0），‎ ‎∴，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2．‎ ‎∴切线方程为y+6＝﹣2（x﹣1），即2x+y+4＝0．‎ ‎（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx的定义域为（0，+∞），‎ 当a＞0时，，‎ 令f'（x）＝0得或，‎ ‎①当，即a≥3时，f（x）在[1，3e]上递增，‎ ‎∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（1）＝﹣6，符合题意；‎ ‎②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，‎ ‎∴f（x）在[1，3e]上的最小值为，不合题意；‎ ‎③当，即时，f（x）在[1，3e]上递减，‎ ‎∴f（x）在[1，3e]上的最小值为f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a的取值范围是[3，+∞）．‎ ‎19．（1）由列联表计算,‎ 所以有的把握认为闯红灯行为与年龄有关.‎ ‎（2）由题意得，，‎ 当时，‎ 所以估计该路口月份闯红灯人数为（也可）‎ ‎20．（1）因为，‎ 所以，‎ 因为平面平面，平面平面平面 平面;‎ ‎（2）由（1）知：BC为三棱锥的高，，‎ ‎，， 因为，‎ 即， 解得.‎ ‎21．（1），， ‎ 由，解得，‎ 由，解得，‎ 在单调递减，在单调递增，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ 当时，的最小值为.‎ ‎（2）设，‎ 则. ，则，即，‎ 故，，‎ ‎，，即，.‎ 令，则，‎ 因为和在上单调递增，‎ 所以在上单调递增，且，‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，取最小值，此时，即最小值是.‎ ‎22．（1）当时,点的直角坐标为,所以的极坐标为，曲线 的直角坐标方程： ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入,得:,得,‎ 设两点对应公的参数为,则 所以.‎ ‎23．（Ⅰ）解：当时， 最小值为， ‎ 当时，最小值为，（舍） ‎ ‎ 综上所述，. ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵ ‎ ‎ ∴ ‎