福建省龙岩市2020届高三毕业班5月教学质量检查数学（理科）试题

福建省龙岩市2020届高三毕业班5月教学质量检查数学（理科）试题

龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知复数满足，则的虚部为 A． B．1 C． D．‎ ‎2．已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎3．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情，疫情期间中小学生“停课不停学”．已知某地区中小学生人数情况如甲图所示，各学段学生在疫情期间“家务劳动”的参与率如乙图所示．为了进一步了解该地区中小学生参500名与“家务劳动”的情况，现用分层抽样的方法抽取4%小学初中高中学段的学生进行调查，则抽取的样本容量、抽取的高中生甲中参与“家务劳动”的人数分别为 A．2750，200 B．2750，110 C．1120，110 D．1120，200‎ ‎4．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5．某三棱锥的三视图如下图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为 A．4 B．8 C．12 D．24‎ ‎6．已知A，B，C三点不共线，若点E为线段AD的中点，且，则的 值为 A． B． C．1 D．‎ ‎7．已知函数，则下列命题中正确的是 A．的最小正周期为π B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上单调递减 ‎8．分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，科赫曲线是比较典型的分形图形，1904年瑞典数学家科赫第一次描述了这种曲线，因此将这种曲线称为科赫曲线．其生成方法是：（I）将正三角形（图（1））的每边三等分，以每边三等分后的中间的那一条线段为一边，向形外作等边三角形，并将这“中间一段”去掉，得到图（2）；（II）将图（2）的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图（3）；（Ⅲ）再按上述方法继续做下去……，设图（1）中的等边三角形的边长为1，并且分别将图（1）、图（2）、图（3）、…、图（n）、…中的图形依次记作，，，…，，…，设的周长为，则为 ‎（1） （2） （3）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，则的图像不可能是 A． B． C． D．‎ ‎10．设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为且满足，若在双曲线C的支上存在点P 使得成立，则双曲线C的离心率的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．在棱长为2的正方体中，P是正方形内（包括边界）的动点，M是CD的中点，且，则当的面积最大时，的值为 A． B． C． D．‎ ‎12．己知各项都为正数的数列满足，，，其中表示不超过 的最大整数，则的值为（参考数据：，，）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．在的展开式中，常数项为_____________．‎ ‎14．已知抛物线的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为_____________．‎ ‎15．实现国家富强．民族复兴．人民幸福是“中国梦”的本质内涵．某商家计划以“全民健身促健康，同心共筑中国梦”为主题举办一次有奖消费活动，此商家先把某品牌乒乓球重新包装，包装时在每个乒乓球上印上“中”“国”“梦”三个字样中的一个，之后随机装盒（1盒4个球），并规定：若顾客购买的一盒球印的是同一个字，则此顾客获得一等奖；若顾客购买的一盒球集齐了“中”“国”二字且仅有此二字，则此顾客获得二等奖；若顾客购买的一盒球集齐了“中”“国”“梦”三个字，则此顾客获得三等奖，其它情况不设奖，则顾客购买一盒乒乓球获奖的概率是_____________．‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则_____________‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求A的值；（2）若，求面积的取值范围．‎ ‎18．（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，且平面平面ABCD．（1）求证：；（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上任意一点，当时，的面积为，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知线l经点，与椭圆C交于同的两点P，Q，且，求直线l的方程．‎ ‎20．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．每年交强险最终保险费计算方法是：交强险最终保险费，其中a为交强险基础保险费，A为与道路交通事故相联系的浮动比率，同时满足多个浮动因素的，按照向上浮动或者向下浮动比率的高者计算．按照我国《机动车交通事故责任强制保险基础费率表》的规定：普通6座以下私家车的交强险基础保险费为950元，交强险费率浮动因素及比率如下表：‎ 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类型 浮动因素 浮动比率 上一个年度未发生有责任道路交通事故 上两个年度未发生有责任道路交通事故 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及以上有责任道路交通事故 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计结果如下表：‎ 类型 数量 ‎25‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎10‎ 以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）记X为一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望（数学期望值保留到个位数字）；（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将经销商购车后下一年的交强险最终保险费高于交强险基础保险费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损3000元，购进一辆非事故车盈利5000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有一辆是事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望．‎ ‎21．（12分）已知．（1）证明在处的切线恒过定点；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框内涂黑．‎ ‎22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，1与C交于M，N两点．（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；（2）求线段MN中点H的轨迹的参数方程．‎ ‎23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 已知函数，且的最大值为3（1）求m的值；（2）若正数a，b，c满足，证明：．‎ 龙岩市2020年高中毕业班教学质量检查 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可在评卷组内讨论后根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步仅出现严谨性或规范性错误时，不要影响后续部分的判分；当考生的解答在某一步出现了将影响后续解答的严重性错误时，后继部分的解答不再给分．‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C C A B D C B C D A ‎11题略解：‎ 由题意可知，，‎ 以AD所在直线为x轴，AD的中垂线为y轴建立直角坐标系，‎ 则，，‎ 设，所以，‎ 即，‎ 所以点P的轨迹是以为圆心，半径长为的圆（在面内的部分）．‎ 所以的最大值为．‎ ‎12题略解：‎ 设，所以，‎ 当时，单调递增，，，‎ 所以当时，‎ 又因为，‎ ‎∴，，，所以．‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎16题略解：‎ 由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆；‎ 当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；‎ 当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆；‎ 当，顶点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆，‎ 与的形状相同，‎ 因此函数的图像在恰好为一个周期的图像；‎ 所以函数的周期是8；‎ ‎∴，其图像如下：‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由余弦定理得．‎ ‎∵．‎ ‎∴‎ 由正弦定理得 ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）由（1）得设，则，‎ ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∴，，∴‎ 由正弦定理得 ‎∵，∴‎ 由得，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，‎ ‎∴面积的取值范围是．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：过点P在面PAD内作，垂足为O，连接BO、OC ‎∵面面ABCD，‎ ‎∴面ABCD，∴‎ ‎∵，，‎ ‎∴是等边三角形，∴‎ 又∵，‎ ‎∴四边形OBCD是正方形，∴，‎ 又，∴面POC，‎ 又面POC，∴．‎ ‎（2）∵面ABCD，，如图，建立空间直角坐标系﹐‎ 则，，，，‎ 假设在线段PA上存在一点M，使二面角大小为 设，，则，‎ ‎∴，，‎ 设面MBC的法向量为，‎ 则，即，‎ 可取，面ABCD的一个法向量为 ‎∵二面角M-BC-D大小为，‎ ‎∴‎ ‎∴或（舍），‎ 所以在线段PA上存在点M满足题设条件且．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设，，则，‎ 在中，，‎ 即，由余弦定理得 ‎，‎ 即 代入计算得，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）由题意知直线l存在斜率．‎ 设直线l的方程为，‎ 将其代入整理可得 ‎，‎ 则，得.‎ 设，‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ 得 化简得，‎ 解得，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴直线l的方程为，‎ 即．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由题意可知X的所有可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a，‎ 由统计数据可知：‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎∴．‎ ‎（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率，‎ 则三辆车中至少有一辆事故车的概率为，‎ ‎②设该销售商购进一辆二手车获得的利润为Y，‎ 则Y的所有可能取值为，5000．‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎5000‎ 所以．‎ 所以该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌的二手车获得利润的期望为 万元．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵，所以 又因为，‎ 所以在处的切线方程 即 所以在处的切线恒过定点．‎ ‎（2）∵，其中，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，，‎ 则在单调递增，‎ 在上至多有一个零点，‎ 即在上至多有一个零点，‎ ‎∴至多只有一个极值点，不合题意，舍去．‎ 当时，设，，‎ ‎∴，∴在上单调递减，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，使得，即2，‎ 当时，，此时，‎ ‎∴在单调递增，‎ 当时，，此时，‎ ‎∴在单调递减，‎ ‎∴在有极大值，‎ 即 若，则，‎ ‎∴，在单调递减，不合题意，‎ 若，‎ 设，，‎ ‎∴在单调递增，‎ 又，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴在单调递增，‎ ‎∴，即，‎ 此时，‎ ‎∵，‎ 在单调递增，‎ ‎，使得，‎ 当时，，‎ ‎∴，在上单调递减，‎ 当时，，‎ ‎∴，在上单调递增，‎ ‎∴在处取得极小值．‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∵在单调递减，，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，使得，‎ 当时，，‎ ‎∴，在上单调递增，‎ 当时，，‎ ‎∴，在上单调递减，‎ ‎∴在处取得极大值．‎ 综上所述，若有两个极值点，则实数的取值范围为．‎ ‎（注：利用当时，，当时，，证明存在两个极值点，得1分）‎ ‎22．（10分）‎ 解：（1）C的直角坐标方程为，‎ 即，是以原点为圆心的单位圆 当时，显然直线l与曲线C相离，不合题意．‎ ‎∴，所以直线l的斜率存在．‎ ‎∴直线l的方程可写为 ‎∵直线l与曲线C交于M，N两点，‎ ‎∴圆心O到直线l的距离，‎ 解得 ‎∴或．‎ ‎（2）（法一）直线l的参数方程为 ‎（t为参数，或）‎ 设M，N，H对应的参数分别为，，，则，‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：‎ ‎∴，∴，‎ 又点H的坐标满足，‎ ‎（t为参数，或）‎ ‎∴点H的轨迹的参数方程为 即（为参数，或）‎ ‎（法二）‎ 设点，则由可知，‎ 当时有 即，整理得 当时，点H与原点重合，也满足上式．‎ ‎∴点H的轨迹的参数方程为 ‎（为参数，且或）．‎ ‎23．（10分）‎ ‎（1）解：‎ 当时，取得最大值，‎ ‎∵的最大值为3，‎ ‎∴，解得．‎ ‎（2）证明：由（1）得，‎ ‎∴，即 又a，b，c为正数，‎ 且 ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎∴．‎