2012江苏高考数学试卷答案与详细解析

2012江苏高考数学试卷答案与详细解析

‎2012江苏高考数学试卷答案与详细解析 一.填空题：‎ ‎1．已知集合，，则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是 ，，，，所以答案为.‎ ‎【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.‎ ‎2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：人，答案 .‎ ‎【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．‎ ‎3. 设，（i为虚数单位），则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题，所以 从而 .‎ ‎【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.‎ ‎4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据循环结构的流程图，当时，此时；不满足条件，继续执行循环体，当时，；不满足条件，继续执行循环，当时，不满足条件，然后依次出现同样的结果，当时，此时，此时满足条件跳出循环，输出的值为．‎ ‎【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．‎ ‎5. 函数的定义域为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据题意得到 ，同时，＞ ，解得，解得，又＞，所以函数的定义域为： .‎ ‎【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略＞这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.‎ ‎6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】组成满足条件的数列为：从中随机取出一个数共有取法种，其中小于的取法共有种，因此取出的这个数小于的概率为.‎ ‎【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.‎ ‎7．如图，在长方体中，，‎ ‎，则四棱锥的体积为 cm3.‎ D A B C ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，连结交于点，因为 平面，又因为，所以，，所以四棱锥的高为，根据题意，所以，又因为，，故矩形的面积为，从而四棱锥的体积.‎ ‎【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥的高为，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎8. 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则m的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在轴上（否则不成立），因此＞，由离心率公式得到，解得 .‎ ‎【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.‎ A B C E F D ‎9. 如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 ‎，则的值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意所以 从而得到，又因为，所以 ‎.‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.‎ ‎10. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为 ．‎ ‎【答案】 .‎ ‎【解析】因为，函数的周期为，所以 ‎，根据得到，‎ 又，得到，结合上面的式子解得，所以.‎ ‎【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.‎ ‎11. 设为锐角，若，则的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据，，‎ 因为，所以 ，因为.‎ ‎【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意将此化成标准形式为：，得到，该圆的圆心为半径为 ，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心到直线的距离，即可，所以有，化简得解得，所以k的最大值是 .‎ ‎【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心到直线的距离即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎13. 已知函数的值域为，若关于x的不等式的 解集为，则实数c的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数，得到，又因为关于的不等式，可化为：，它的解集为，设函数图象与轴的交点的横坐标分别为，则，从而，，即，又因为 ‎，代入得到 .‎ ‎【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.‎ ‎14. 已知正数满足：则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.‎ 二、解答题 ‎15. （本小题满分14分）‎ 在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案及解析】‎ ‎【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.‎ ‎16. （本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点D 不同于点C），且为的中点．‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）直线平面ADE．‎ ‎【答案及解析】‎ ‎【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ x（千米）‎ y（千米）‎ O ‎（第17题）‎ ‎【答案及解析】‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案及解析】‎ ‎【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．‎ A B P O x y ‎（第19题）‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎【答案及解析】‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件 时，需要注意直线和直线平行这个条件.本题属于中档题．‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ ‎ 已知各项均为正数的两个数列和满足：．‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ A E B D C O ‎ 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．‎ 求证：．‎ ‎ （第21-A题）‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．‎ B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．‎ C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．‎ D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知实数x，y满足：求证：．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．‎ ‎ （1）求概率；‎ ‎ （2）求的分布列，并求其数学期望．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意的取值情况，不要遗漏的取值情况．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 设集合，．记为同时满足下列条件的集合A的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用n表示）．‎ ‎【答案与解析】‎ ‎ 【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.‎