数学文·江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试文数试题+Word版含解析]

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全*品*高*考*网， 用后离不了！江西省吉安市第一中学2017届高三上学期期中考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.集合，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：集合运算 ‎【方法点睛】‎ ‎1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．‎ ‎2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．‎ ‎3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对应的点位于第三象限，选C.‎ 考点：复数几何意义 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3.“”是“”的 （ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 ‎【答案】B 考点：充要关系 ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．‎ ‎4.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象向左平移个单位，得到 ‎，所以，选A.‎ 考点：三角函数图像变换 ‎ ‎【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin (ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).‎ ‎5.已知向量，若间的夹角为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C 考点：向量的模 ‎【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎6.实数满足条件，则目标函数的最大值为 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过A点时取最大值5，选D.‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎7.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示： ‎ ‎（月份）‎ ‎（万盒）‎ 若线性相关，线性回归方程为，估计该制药厂月份生产甲胶囊产量为（ ）‎ A． 万盒 B．万盒 C. 万盒 D．万盒 ‎ ‎【答案】A 考点：线性回归方程 ‎【名师点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a，，写出回归方程，回归直线方程恒过点(，).‎ ‎8.已知等差数列的前项和为 ，且，则 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，选B.‎ 考点：等差数列基本量运算 ‎9.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：几何体为长方体去掉一个三棱柱，长方体长宽高为4,2,2; 三棱柱的高为2，底为等腰三角形，底边长为2，底边上高为1，因此几何体的体积为，选C.‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎10.已知抛物线的焦点为，其上有两点满足，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D 考点：抛物线定义 ‎【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．‎ ‎2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎11.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】A 考点：三棱柱外接球 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎12.已知 ，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，因为，所以令，函数先减后增，所以，因此实数的取值范围为，选D.‎ 考点：利用函数研究不等式恒成立问题 ‎【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知是第二象限角，则__________.‎ ‎【答案】‎ 考点：同角三角函数关系 ‎14.运行如图所示的程序框图，输出的结果为 __________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；结束循环，输出 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎15.已知正项等比数列满足，且，则数列的前项和为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，因为，所以，因此数列的前项和为 考点：等差数列公比 ‎16.已知且，函数，其中，则函数的最大值与最小值之和为_________.‎ ‎【答案】8‎ 考点：函数对称中心 ‎【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）已知向量，函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及值域； ‎ ‎（2）已知 中,角、、所对的边分别为、、，若，求的周长.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据向量数量积得，再利用倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，最后根据余弦函数性质求周期及值域（2）先根据及三角形内角范围得，再根据余弦定理得，即得，因此的周长为.‎ 考点：余弦定理，二倍角公式及配角公式 ‎【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.‎ ‎18.（本小题满分12分）某校高三文科名学生参加了月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取名学生的成绩进行统计分析，抽出的名学生的数学、语文成绩如下表.‎ ‎（1）将学生编号为:, 若从第行第列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的 个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行)‎ ‎（2）若数学优秀率为，求的值；‎ ‎（3）在语文成绩为良的学生中，已知，求数学成绩“优”比“良”的人数少的概率.‎ ‎【答案】（1）（2），（3）‎ 试题解析：（1）编号依次为:.‎ ‎（2）由,得,因为，得.‎ ‎（3）由题意且,所以满足条件的有,共种,且每组出现都是等可能的.记: “数学成绩“优”比“良”的人数少” 为事件，则事件包含的基本事件有,共种,‎ 所以.‎ 考点：古典概型概率 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面四边形为平行四边形，其中，且相交于.‎ ‎（1） 求证: 平面;‎ ‎（2）若,点是中点求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ 试题解析：（1）证明: 依题意，平行四边形中， ，故四边形为菱形，故，因为，所以所以， 因为，故，又平面平面，故 平面.‎ ‎（2）依题意, 是等边三角形,,所以,过点作,垂足为点.由（1）知,,故平面.在 中,,故三棱锥的体积. ‎ 考点：线面垂直判定定理，三棱锥体积 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆和圆分别与射线交于两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若不经过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，且，证明:线段中点 的坐标满足.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般只需两个独立条件即可，一是得，二是由得即（2）三角形面积一般选用底乘高的一半，其中底长为弦长MN，高为点O到直线距离，设直线的方程为，由直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理得，再根据点到直线距离公式得，代入得，从而 ‎（2）设,设直线的方程为,由,得,所以，而,原点到直线的距离为，‎ 所以，所以，即 ‎，即，则，①‎ ‎ ，② 由①，②消去得.‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【思路点睛】‎ 解析几何证明问题，一般解决方法为以算代证，即设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到证明．其中直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的在处的切线方程; ‎ ‎（2） 若，证明: 方程无解.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由导数几何意义得，利用导数可得斜率为，再根据切点既在切线上又在曲线上得，所以根据点斜式可得切线方程（2）先化简方程：‎ 试题解析：（1） 依题意，,故,故所求切线方程为，即，然后利用导数分别研究函数及，因为，所以，又，因此方程无解 ‎,即.‎ 考点：导数几何意义，构造函数利用导数研究方程解 ‎【思路点睛】‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为.‎ ‎（1）设为线段上的动点，求线段取得最小值时，点的直角坐标;‎ ‎（2）求以为为直径的圆的参数方程，并求在（1）条件下直线与圆相交所得的弦长. ‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ 试题解析：（1）的极坐标化为直角坐标分别为,故直线的斜率为,直线的方程为.由题意,当线段时，线段获得最小值，此时直线的斜率为，所以直线的的方程为，联立 ‎，解得，故所求点的直角坐标为. ‎ ‎（2）因为的中点坐标为，故以为直径的圆直角坐标方程为，化为参数方程是为参数），因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交所得的弦长为.‎ 考点：极坐标化为直角坐标，直线与圆位置关系 ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式 ; ‎ ‎（2） 若存在,使，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）由（1）知最大值为,由题意,得,,即的取值范围是.‎ 考点：绝对值定义，绝对值三角不等式 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎