宁夏中卫市海原县第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

宁夏中卫市海原县第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

海原一中2019--2020学年第一学期第三次月考 高一数学试卷 一、选择题：（本大题共12个小题，各5分，共60分）‎ ‎1.已知全集，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再求得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故答案为A ‎【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.直线的倾斜角是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的倾斜角是,则有,再由,即可求得答案.‎ ‎【详解】直线的斜率为 设直线的倾斜角是 ‎ ‎ 又 ,故 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了求直线的倾斜角,掌握直线的基础知识是解题本题的关键,属于基础题.‎ ‎3.计算:( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数换底公式,化简原式即可求得答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎4.函数　的定义域是（　 ）‎ A. {x｜x＞0} B. {x｜x≥1} C. {x｜x≤1} D. {x｜0＜x≤1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,选D.‎ ‎5.经过两条直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线的方程,联立组成方程组,解得的值,即为两条直线的交点坐标,设与直线 垂直方程为,即可求得答案.‎ ‎【详解】 解得: ‎ ‎ 交点为 设与直线垂直方程为 ‎ 将代入 解得 可得:‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查两直线的交点坐标,及求垂直的直线方程.与已知直线垂直的直线方程可设成,再代入一个点的坐标即可求得直线方程.‎ ‎6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】选项不正确，因为可能；‎ 选项不正确，因为，和都有可能；‎ 选项不正确，因为，可能；‎ 选项正确．故选 ‎7.使得函数有零点的一个区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得函数的定义域，令，因为 ‎，由函数零点的判定定理可知，函数在上有零点．‎ 考点：函数零点的判定定理 ‎8.直线与直线互相平行，则的值是 A. 1 B. ‎-2 ‎C. 1或-2 D. -1或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线平行的性质列方程求解，注意讨论直线重合的情况.‎ ‎【详解】当时，直线与直线不平行，‎ 当时，，‎ 时，直线与直线重合，不合题意，‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题.遗忘讨论直线重合的情况是易错点.‎ ‎9.一个体积为的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )‎ A. 20 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的体对角线为球的直径,可得球直径,再根据球的表面积计算公式进行计算,即可得到答案.‎ ‎【详解】设正方体的棱长为,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 正方体的顶点都在球面上 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题是一道关于球内接正方体的题目,熟练掌握正方体的外接球的直径的计算方法是解答此题的关键;‎ ‎10.如果正四棱锥的侧面积等于底面积的倍，则侧面与底面所成的角等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出立体图像,根据正四棱锥的侧面积等于底面积的倍,即可求得答案.‎ ‎【详解】根据题意画出立体图形:‎ 设正四棱锥的底面边长为,侧面面高为 ‎ ‎ ， ‎ 根据正四棱锥的侧面积等于底面积的倍 可得 故 即 取中点为,链接 ‎ ,‎ ‎ 为侧面与底面所成的角 ‎ ‎ 故 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了侧面与底面所成的角,解题关键是掌握面面角的定义,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎11.已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线斜率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为,,直线过定点,且与线段相交,画出图像,即可求得直线的斜率的取值范围.‎ ‎【详解】画出图像,如图:‎ ‎ ‎ ‎ 结合图像可知,要保证线段与直线相交 需满足斜率的取值范围: 或 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了求过定点直线的斜率范围问题,解题关键是根据题意画出图像,数形结合,‎ 考查了分析能力,属于基础题.‎ ‎12.设奇函数在上为增函数,且.则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数,且在为增函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.‎ ‎【详解】画出的大致图像,如图:‎ 函数为奇函数,‎ ‎ ,可化简为 ‎ 即和异号,‎ 故有或 ‎ 结合图像可得得解集为:或 ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合和单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 ‎13.直线和间的距离是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与直线,根据两平行线间的距离公式 即可求得答案.‎ ‎【详解】将直线,化简为 ‎ 与是平行线 根据两平行线间的距离公式得:‎ 两平行线间的距离为:‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查平行线之间距离公式的应用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎14.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．‎ ‎【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．‎ 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，‎ 故直线的方程为，‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线 方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎15.已知函数，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，将分段函数分类讨论计算可得答案．‎ ‎【详解】解：当时，，即，解得，满足题意；‎ 当时，，即，解得，不满足题意．‎ 故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的计算，属于基础题．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，看出直角梯形的上底和下底及高，和四棱柱的高，最后利用体积公式得到结果．‎ ‎【详解】由三视图知几何体是一个四棱柱，‎ 四棱柱的底面是一个直角梯形，上底是2，下底是4，高是2，‎ ‎，四棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长时6，‎ ‎∴四棱柱的体积是=36‎ 故答案为36‎ ‎【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ 三、解答题：共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.‎ ‎【答案】不会溢出杯子.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据中所给数据,分别求出和即可求得答案.‎ ‎【详解】根据中所给数据:‎ ‎ ,所以不会溢出杯子.‎ ‎【点睛】本题考查了求球的体积和圆锥体积,掌握球体体积公式和圆锥体积公式是解题关键,属于基础题.‎ ‎18.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2 ，AD=2 ，AA′=2， ‎ ‎（Ⅰ）求异面直线BC′ 和AD所成的角；   ‎ ‎（Ⅱ）求证：直线BC′∥平面ADD′A′． ‎ ‎【答案】(1) 异面直线BC′和AD所成的角为30°.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由AD∥BC，得∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，由此能求出异面直线BC′和AD所成的角．（2）连结AD′，由AD′∥BC′，能证明直线BC′∥平面ADD′A′．‎ 详解：（1）解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD∥BC，∴∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，‎ ‎∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=2 ，AA′=2，CC′⊥BC，‎ ‎∴tan∠CBC′=，‎ ‎∴∠CBC′=30°，‎ ‎∴异面直线BC′和AD所成角为30°‎ ‎（2）解：证明：连结AD′，‎ ‎∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，‎ 又AD′⊂平面ADD′A′，BC′⊄平面ADD′A′，‎ ‎∴直线BC′∥平面ADD′A′ ‎ 点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小 ‎19.已知三角形的三个顶点,,,求:‎ ‎（1）边所在直线的方程,以及该边上中垂线所在直线的方程;‎ ‎（2）的面积.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 已知,,可得:直线方程为:, 设是的中点,则,的中垂线斜率,即可求得答案;‎ ‎(2) 由题意得,的高,,根据三角面积公式,即可求得答案.‎ ‎【详解】(1)已知,,根据两点式方程得 ‎,即 故直线的方程为:‎ 设是的中点,则,的中垂线斜率 的中垂线的方程为:‎ 即 ‎(2)由题意得,的高 ‎【点睛】本题考查了求直线的一般方程和求三角形面积,掌握直线方程的解法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.‎ ‎20.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,是的中点,作交于点.‎ ‎(1)求直线于底面所成角的正切值;‎ ‎(2)证明:∥平面;‎ ‎(3)证明:平面 ‎【答案】（1）（2）证明见解析 （3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 因为底面,故是直线与底面所成角,可得,即可求得答案;‎ ‎(2)根据线面平行判定定理,即可求证∥平面;‎ ‎(3)根据线面垂直判断定理,即可求证平面 ‎【详解】(1)底面 是直线与底面所成的角 设,‎ 是正方形,‎ ‎,‎ 故直线与底面所成角的正切值为 ‎(2)连接,交与点,连接 底面是正方形,‎ 点是的中点 在中,是中位线,‎ ‎∥‎ 又平面EDB,平面 ‎∥平面 ‎ ‎(3)面且PC平面ABCD,‎ ‎,‎ 是等腰直角三角形,而是斜边的中线 ‎①‎ 同样由底面得 底面是正方形,有,‎ 平面,而平面,‎ ‎②‎ 由①②得:平面平面,‎ 又且,‎ 平面 ‎【点睛】本题考查了求证线面平行和线面垂直,解题关键是掌握线面关系基础知识,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若时,函数是单调函数,求实数的取值范围;‎ ‎(2)记函数的最大值为,求的表达式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ,对称轴,若时,函数是单调函数, 即或,即可求得答案;‎ ‎(2)分别讨论,和时函数的最大值,即可求得的表达式.‎ ‎【详解】(1) ,对称轴 若时,函数是单调函数 或 即或,故a的取值范围为:‎ ‎(2)当,即时,‎ 在上单调递增,函数的最大值为 当即时 在上单调递减,函数的最大值为 当时,函数的最大值为 ‎【点睛】本题考查了函数含参数一元二次函数的单调性,掌握二次函数基础知识和二次函数的特征是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎22.如图，边长为2的正方形中，‎ ‎（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点．求证：‎ ‎（2）当时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意，,∴，∴．‎ ‎（2）把当作底面，因为角=90°，所以为高；‎ 过作H垂直于EF，H为EF中点（等腰三角形三线合一）；‎ BE＝BF＝BC，；‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 考点：折叠问题，垂直关系，体积计算．‎ 点评：中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系．本题计算几何体体积时，应用了“等体积法”，简化了解题过程．‎