数学理卷·2018届辽宁省大连市普兰店市第六中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届辽宁省大连市普兰店市第六中学高三上学期期中考试（2017

高三上学期期中理科数学试卷 题号 一 二 总分 得分 ‎ ‎ 评卷人 得分 一、填空题 本大题共14道小题。‎ ‎1.‎ 设幂函数y=xα的图象经过点(2，)，则α的值为　　．‎ ‎2.‎ 设向量=(2，3)，=(3，3)，=(7，8)，若=x+y(x，y∈R)，则x+y=　　．‎ ‎3.‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3，则S△ABC=　 ．‎ ‎4.‎ 若函数f（x）=x2+（a+3）x+lnx在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎5.‎ 已知集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B=　 　．‎ ‎6.‎ 设函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥4恒成立，则的取值范围是　 ．‎ ‎7.‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=，B=，则A=　　．‎ ‎8.‎ 设函数f（x）是以4为周期的奇函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，则f（log220）=　　．‎ ‎9.‎ 设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有　 　．（请将你认为正确命题的序号都写上）‎ ‎10.‎ 函数y=sin2x的最小正周期是　 　．‎ ‎11.‎ 设菱形ABCD的对角线AC的长为4，则=　 　．‎ ‎12.‎ 命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是　 　．‎ ‎13.‎ 在等差数列{an}中，若a2+a5=，则数列{an}的前6项的和S6=　 　．‎ ‎14.‎ 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数且A＞0，ω＞0，＜φ＜）的部分图象如图所示，若f(α)=（0＜α＜），则f(α+)的值为　 　．‎ 评卷人 得分 一、解答题 本大题共6道小题。‎ ‎15.‎ 设函数f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．‎ ‎（1）若函数h(x)=f(x)+在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数φ（x）=f（x）+g（x），若对任意的x∈(π，)，都有φ（x）≥0，求m的取值范围；‎ ‎（3）设m＞0，点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，且函数f（x）与g（x）在点P处的切线互相垂直，求证：存在唯一的x0满足题意，且x0∈(1，)．‎ ‎16.‎ 记函数f（x）=lg（1﹣ax2）的定义域、值域分别为集合A，B．‎ ‎（1）当a=1时，求A∩B；‎ ‎（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎17.‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，cosB=，且=7．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求sin（A﹣B）的值．‎ ‎18.‎ ‎2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元（含旅游净收入与菊花产业净收入），并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5倍．记2016年为第1年，f（n）为第1年至此后第n（n∈N*）年的累计利润（注：含第n年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当f（n）为正值时，认为该项目赢利．‎ ‎（1）试求f（n）的表达式；‎ ‎（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．‎ ‎（参考数据：()4≈5，ln2≈0.7，ln3≈1.1）‎ ‎19.‎ 设直线x=是函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；‎ ‎（2）求函数f（x）在[0，π]上的减区间．‎ ‎20.‎ 已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且an+2=an(n∈N*)．‎ ‎（1）求a5+a6的值；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；‎ ‎（3）设bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．‎ 试卷答案 ‎1.‎ ‎【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．‎ ‎【分析】由于幂函数y=xα的图象过点，把此点的坐标代入解得α即可．‎ ‎【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点，∴，解得．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎2.‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得若，则有，解可得x、y的值，将其相加即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，向量，，，‎ 若，‎ 则有，‎ 解可得，‎ 则x+y=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3.‎ ‎12‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】由题意ABD和ADC面积和定理可得AD=，△ABC中利用余弦弦定理即可求解b•c，根据S△ABC=cbsinA可得答案．‎ ‎【解答】解：由A=，a=4，‎ 余弦定理：cosA=，即bc=b2+c2﹣112．…①‎ 角A的平分线交边BC于点D，‎ 由ABD和ADC面积和定理可得AD=，AD=3，‎ 即bc=3（b+c）…②‎ 由①②解得：bc=48．‎ 那么S△ABC=cbsinA=12．‎ 故答案为：12‎ ‎　‎ ‎4.‎ ‎（﹣，﹣6）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得f′（1）•f′（2）＜0，解出不等式求并集即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=2x+a+3+=，‎ 若f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，‎ 则f′（1）f′（2）＜0，即（a+6）（2a+15）＜0，‎ 解得：﹣＜a＜﹣6，‎ 故答案为：（﹣，﹣6）．‎ ‎5.‎ ‎{1，2，3，6}‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】利用并集定义直接求解．‎ ‎【解答】解：集合A={1，3，6}，B={1，2}，则A∪B={1，2，3，6}，‎ 故答案为：{1，2，3，6}‎ ‎6.‎ ‎（﹣∞，2]‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】利用勾勾函数的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=|x﹣a|+（a∈R），‎ ‎∵x∈（0，+∞）‎ 当x＞a时，可得f（x）=x+﹣a﹣a≥4，当且仅当x=3时取等，‎ 即6﹣a≥4，‎ 可得：a≤2．‎ 当x＜a时，可得f（x）=a﹣x+，‎ ‎∵y=在（0，+∞）是递减函数，对f（x）≥4不成立．‎ ‎∴a无解．‎ 故答案为（﹣∞，2]．‎ ‎　‎ ‎7.‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知结合正弦定理，可得sinA=1，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎ 若a=2，，，‎ 则由正弦定理得：，即，‎ 解得：sinA=1，‎ 又由A为三角形的内角，‎ 故A=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8.‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．‎ ‎【分析】由函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），可得：4﹣log220x∈[﹣1，0），进而f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），结合对数的运算性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是以4为周期的奇函数，log220∈（4，5），‎ ‎∴4﹣log220x∈[﹣1，0），‎ ‎∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），‎ ‎∵当x∈[﹣1，0）时，f（x）=2x，‎ ‎∴f（log220）=﹣（）==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9.①②③‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，因此0∈{an}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，‎ 令i=j，则0为数列的某一项，‎ 即a4=0，‎ 则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．‎ 必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，‎ 而a1﹣a2=a2或a3，‎ 若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；‎ 若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，‎ 可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；‎ 据此分析选项：易得①②③正确；‎ 故答案为：①②③‎ ‎　‎ ‎10.‎ π ‎【考点】三角函数的周期性及其求法．‎ ‎【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．‎ ‎【解答】解：函数y=sin2x的最小正周期是=π，‎ 故答案为：π．‎ ‎　‎ ‎11.8‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积定义，写出•，‎ 再由菱形的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义，‎ 得到||×cos∠BAO=||=2，从而求出答案．‎ ‎【解答】解：设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，‎ 则AC⊥BD，且AO=AC=2，‎ 由平面向量的数量积定义可知：‎ ‎•=||×||×cos∠BAC ‎=4×||×cos∠BAO ‎=4×||‎ ‎=4×2‎ ‎=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎　‎ ‎12.‎ ‎（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．‎ ‎【解答】解：若命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，‎ 则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，‎ 故△=a2﹣4＞0，‎ 解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎13.‎ ‎2‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由已知结合等差数列的性质求得a1+a6，再由等差数列的前n项和公式求得S6．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，∵，‎ ‎∴S6==．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14.‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式；‎ 再由f（α）的值，利用三角恒等变换求出f（α+）的值．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）的图知，A=2，‎ 由T=2×[﹣（﹣）]=2π，得ω==1，‎ ‎∴f（x）=2sin（x+φ）；‎ 又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，‎ ‎∴φ=﹣，‎ ‎∴f（x）=2sin（x﹣）；‎ 由f（α）=2sin（α﹣）=，‎ ‎∴sin（α﹣）=；‎ 又0＜α＜，‎ ‎∴﹣＜α﹣＜，‎ ‎∴cos（α﹣）==；‎ ‎∴f（α+）=2sinα ‎=2sin[（α﹣）+]‎ ‎=2sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin ‎=2××+2××‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，分离m，根据函数恒成立求出m的范围即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，问题转化为mlnπ+cosπ≥0，求出m的范围即可；‎ ‎（3）分别求出msinx0=x0（*），mlnx0=cosx0（**），联立（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，知，所以．‎ 由题意，，即对x∈（1，+∞）恒成立．…‎ 又当x∈（1，+∞）时，，所以m≥1．…‎ ‎（2）因为φ（x）=f（x）+g（x）=mlnx+cosx，所以．‎ ‎①当m≤0时，因为，所以lnx＞0，cosx＜0，故φ（x）＜0，不合题意．…‎ ‎②当m＞0时，因为，所以φ'（x）＞0，故φ（x）在上单调递增．…‎ 欲φ（x）≥0对任意的都成立，则需φ（π）≥0，所以mlnπ+cosπ≥0，解得．‎ 综上所述，m的取值范围是．…‎ ‎（3）证明：因为，g'（x）=﹣sinx，且函数f（x）与g（x）在点P（x0，y0）处的切线互相垂直，‎ 所以，即msinx0=x0（*）．‎ 又点P（x0，y0）是函数f（x）与g（x）的一个交点，所以mlnx0=cosx0（**）．‎ 由（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．…‎ ‎①当x0∈（0，1]时，因为m＞0，所以mlnx0≤0，且cosx0＞0，此与（**）式矛盾．‎ 所以在（0，1]上没有x0适合题意．…‎ ‎②当x0∈（1，+∞）时，设r（x）=xlnx﹣sinxcosx，x∈（1，+∞）．‎ 则r'（x）=lnx+1﹣cos2x＞0，即函数r（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 所以函数r（x）在（1，+∞）上至多有一个零点．‎ 因为r（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0，，‎ 且r（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数r（x）在有唯一零点．‎ 即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立，且．‎ 综上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且．…‎ ‎16.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；交集及其运算．‎ ‎【分析】（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），求出A，B进而可得求A∩B；‎ ‎（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊊A，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lg（1﹣x2），由1﹣x2＞0，得A=（﹣1，1）．…‎ 又0＜1﹣x2≤1，所以B=（﹣∞，0]．…‎ 故A∩B=（﹣1，0]．…‎ ‎（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件⇔B⊊A．…‎ ‎①当a=0时，A=R，B={0}，适合题意； …‎ ‎②当a＜0时，A=R，B=[0，+∞），适合题意； …‎ ‎③当a＞0时，，B=（﹣∞，0]，不适合题意．…‎ 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．…‎ ‎17.‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）由题意利用两个向量的数量积的定义求得c的值，再利用余弦定理，求得b的值．‎ ‎（2）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，再利用两角差的正弦公式求得sin（A﹣B）的值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，由，得accosB=7，即，解得c=3．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=9+9﹣18•=4，∴b=2．‎ ‎（2）因为，所以B为锐角，故．‎ 又由余弦定理，得，所以A为锐角，且．‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎18.‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）（千万元），第1年至此后第n ‎（n∈N*）年的累计净收入为 ‎，利用等比数列的求和公式可得f（n）．‎ ‎（2）方法一：由f（n+1）﹣f（n）=，利用指数函数的单调性即可得出．‎ 方法二：设，求导利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入 为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），…‎ 第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入 为=（千万元）．…‎ 所以（千万元）．…‎ ‎（2）方法一：因为=，‎ 所以当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；‎ 当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．…‎ 又，，．‎ 所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．…‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．…‎ 方法二：设，则，‎ 令f'（x）=0，得，所以x≈4．‎ 从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；‎ 当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．…‎ 又，，．‎ 所以，该项目将从第8年开始并持续赢利．…‎ 答：该项目将从2023年开始并持续赢利．…‎ ‎19.‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）由直线是函数f（x）的图象的对称轴，可得对x∈R恒成立．变形得到对x∈R恒成立，得．从而求得函数解析式，由，可得时，f（x）取得最大值2；‎ ‎（2）由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调减区间，取k值可得f（x）在[0，π]上的减区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线是函数f（x）的图象的对称轴，‎ ‎∴对x∈R恒成立．‎ ‎∴对x∈R恒成立，‎ 即对x∈R恒成立，得．‎ 从而．‎ 故当，即时，f（x）取得最大值2；‎ ‎（2）由，解得，k∈Z．‎ 取k=0，可得f（x）在[0，π]上的减区间为．‎ ‎20.‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．结合a1=﹣1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；‎ ‎（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；②当n=2k﹣1时，由Sn=S2k﹣a2k求解；‎ ‎（3）由（1）得（仅b1=0且{bn}递增）．结合k＞j，且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，．‎ 又a1=﹣1，a2=1，‎ ‎∴，‎ 即a5+a6=2；‎ ‎（2）①当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）‎ ‎===．‎ ‎②当n=2k﹣1时，Sn=S2k﹣a2k=‎ ‎==．‎ ‎∴ ；‎ ‎（3）由（1），得（仅b1=0且{bn}递增）．‎ ‎∵k＞j，且k，j∈Z，∴k≥j+1．‎ ‎①当k≥j+2时，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，‎ 则=，‎ 此与bn≥0矛盾．故此时不存在这样的等差数列．‎ ‎②当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，‎ 则=，‎ 又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．‎ 若i≤j﹣2，则bi≤bj﹣2，得，‎ 得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．‎ 从而2bj=bj﹣1+bj+1，得，‎ 化简，得3j﹣2=1，解得j=2．‎ 从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3．‎