2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

‎ [基础题组练]‎ ‎1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　　)‎ A.x－y＋1＝0　　　　 B．x－y－＝0‎ C.x＋y－＝0 D．x＋y＋＝0‎ 解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1，0)，所以方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.‎ ‎2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　)‎ A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0‎ 解析：选A.由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎3．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B.直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．‎ ‎4．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)‎ C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C.令x＝0，得y＝，‎ 令y＝0，得x＝－b，‎ 所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．‎ ‎5．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选C.因为直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，‎ 所以a＋b＝ab，即＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b) ‎＝2＋＋≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．‎ 所以直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.‎ ‎ 6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是________．‎ 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ 答案：k＜－1或k> ‎7．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．‎ 解析：由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.‎ 当y＝0时，x＝.‎ 所以＝a＋2，‎ 解得a＝－2或a＝1.‎ 答案：－2或1‎ ‎8．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．‎ 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，‎ 当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值．‎ 所以b的取值范围是[－2，2]．‎ 答案：[－2，2]‎ ‎9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：‎ ‎(1)过定点A(－3，4)；‎ ‎(2)斜率为.‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，由已知，得(3k＋4)×＝±6，解得k1＝－或k2＝－.‎ 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.‎ ‎(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，‎ 由已知，得|－6b·b|＝6，‎ 所以b＝±1.‎ 所以直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.‎ ‎10．已知射线l1：y＝4x(x≥0)和点P(6，4)，试在l1上求一点Q使得PQ所在直线l和l1以及直线y＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．‎ 解：设点Q坐标为(a，4a)，PQ与x轴正半轴相交于M点．‎ 由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．‎ PQ所在的直线方程为：y－4＝(x－6)，‎ 令y＝0，x＝，‎ 因为a＞1，所以S△OQM＝×4a×，‎ 则S△OQM＝＝10＝‎ ‎10≥40，‎ 当且仅当(a－1)2＝1时取等号．‎ 所以a＝2时，Q点坐标为(2，8)，‎ 所以此时直线l的方程为：x＋y－10＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若直线l：kx－y＋2＋4k＝0(k∈R)交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则当△AOB的面积取最小值时直线l的方程为(　　)‎ A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0‎ C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0‎ 解析：选B.由l的方程，得A，B(0，2＋4k)．‎ 依题意得解得k>0.因为S＝|OA|·|OB|＝·|2＋4k|＝·＝≥(2×8＋16)＝16，当且仅当16k＝，即k＝时等号成立．此时l的方程为x－2y＋8＝0.‎ ‎2．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)‎ A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0‎ C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0‎ 解析：选C.因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.‎ ‎3．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)且点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，则＋的最小值为(　　)‎ A. B． C．1 D．9‎ 解析：选B.因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒过点P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又点Q(4，0)到动直线l的最大距离为3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，则＋＝(a＋c)·＝≥＝，当且仅当c＝2a＝时取等号，故选B.‎ ‎4．已知直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是____________．‎ 解析：设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.‎ 联立得x2＋x＋6＝0.‎ 要使直线l：x－my＋m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则Δ＝－24≥0，即m2≥.‎ 所以实数m的取值范围是∪.‎ 答案：∪ ‎5.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．‎ 解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，‎ kOB＝tan(180°－30°)＝－，‎ 所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.‎ 设A(m，m)，B(－n，n)，‎ 所以AB的中点C，‎ 由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得 解得m＝，所以A(，)．‎ 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，‎ 所以lAB：y＝(x－1)，‎ 即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.‎ ‎6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎(1)证明：直线l过定点；‎ ‎(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程．‎ 解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ 令 解得 所以无论k取何值，直线l总过定点(－2，1)．‎ ‎(2)直线方程可化为y＝kx＋1＋2k，当k≠0时，要使直线不经过第四象限，‎ 则有 解得k≥0；‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．‎ 综上，k的取值范围是k≥0.‎ ‎(3)依题意得A，B(0，1＋2k)，‎ 且 解得k>0.‎ 所以S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎“＝”成立的条件是4k＝，此时k＝，‎ 所以Smin＝4，‎ 此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎