福建省福州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

福建省福州第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 福州一中2019—2020学年第一学期第二学段模块考试 高二数学（选修2-2）模块试卷 ‎（考试时间：120分钟试卷满分：150分）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据复数的乘方求出，即可求出，从而求出的共轭复数；‎ ‎【详解】解：，，，，，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘方运算及共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎2.如果三点，，在同一条直线上，则()‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三点共线可知为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】三点共线 为共线向量 又，‎ ‎，解得：，‎ - 24 -‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.‎ ‎3.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D．‎ ‎4.如图，空间四边形中，，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再由，，得到，求解.‎ - 24 -‎ ‎【详解】因为，‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎5.设函数的导函数为，且，则（ ）.‎ A. 0 B. -4 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求函数的导数，先令求出，再令即可求解 ‎【详解】由，令得，‎ 解得，则，‎ 故选B ‎【点睛】本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题 ‎6.如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（ ）. ‎ A. 2 B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围（ ）‎ A. 或或 B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的导数，求出函数的单调区间，由函数在上是单调函数，得到或即可求出参数的取值范围；‎ ‎【详解】解：，‎ 令解得或，即在和上单调递增；‎ 令解得，即在上单调递减；‎ 因为函数在区间上是单调函数，‎ 所以或，解得或，‎ 故选：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，属于基础题.‎ ‎8.定义方程实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．‎ 详解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，‎ 由题意得：‎ α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，‎ ‎①∵ln（β+1）=，‎ ‎∴（β+1）β+1=e，‎ 当β≥1时，β+1≥2，‎ ‎∴β+1≤＜2，‎ ‎∴β＜1，这与β≥1矛盾，‎ ‎∴﹣1＜β＜1；‎ ‎②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，‎ ‎∴3γ2＞0‎ ‎∴γ3＞1，‎ ‎∴γ＞1．‎ ‎∴γ＞α＞β．‎ 故选A．‎ - 24 -‎ 点睛：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.过点作曲线的切线，则直线的方程可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的导数，设切点坐标为，则，解得，即可求出切线方程；‎ ‎【详解】解：‎ ‎，设切点坐标为，则 解得或 当时，切线方程为；‎ 当时，切点为，斜率，故切线方程为，整理为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上过一点的切线方程，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，下列选项中可能是函数图像的是（ ）‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，分类讨论函数的形状，即可得结论．‎ ‎【详解】解：当时，函数的图象如图所示：‎ 当时，，‎ 若，则导函数有两个负根，即原函数的两个极值点均为负，不存在满足条件图象；‎ 若，则导函数至多有一个根，即原函数在上递增，图象如图所示：‎ 当时，导函数有两个异号的根，即原函数的两个极值点异号，且函数单调性先递减后递增，图象如图所示，‎ 故不可能是函数图象.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分类讨论思想，利用导数分析函数的单调性，属于中档题．‎ ‎11.已知正方体的棱长为，点分别棱楼的中点，下列结论中正确的是（ ）‎ - 24 -‎ A. 四面体的体积等于 B. 平面 C. 平面 D. 异面直线与所成角的正切值为 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与平面的位置关系可知不正确；根据线面垂直的判定定理可知正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知不正确．‎ ‎【详解】解：延长分别与，的延长线交于，，连接交于，设与的延长线交于，连接交于，交于，连，，，，， 与相交，故与平面相交，所以不正确；‎ ‎，，且与相交，所以平面，故正确；‎ 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线与的夹角的正切值为，故正确；‎ 四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为，故不正确．‎ 故选：‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，空间中点、线、面之间的位置关系，属于难题．‎ ‎12.下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ 分析】‎ 构造函数，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．‎ ‎【详解】解：构造函数，导数为，‎ 当时，，递增，时，，递减，‎ 可得处取得最大值，‎ 因为，因为在定义域上单调递增，所以，所以，所以，故正确；‎ ‎，，，，故正确；‎ ‎，，即，故正确；‎ ‎，，，，‎ - 24 -‎ ‎，，故错误；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义和极限之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】解：根据导数的定义可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的定义的应用，利用导数和极限之间的关系是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎14.已知函数，则的零点个数为____________.‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把研究函数零点个数问题转化为对应的函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系上画出两函数图象，由图即可得出结论．‎ ‎【详解】解：因为函数的零点个数就是对应的函数与，的交点个数．在同一平面直角坐标系上画出函数图象如下所示：‎ 由图可知函数与，有个交点，故函数，有个零点；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数方程思想，数学结合思想，本题的易错点在于对函数的基本性质理解不透，以至于图象画的不准，影响判断，属于中档题．‎ ‎15.正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 取中点，中点，中点，连结、、、、、，推导出平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为，由此能求出过且与平行的平面截正方体所得截面的面积；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出和该截面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】取中点，中点，中点，连结、、、、、，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，‎ ‎∵，，四边形是矩形，‎ ‎∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：‎ ‎；‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ - 24 -‎ 则，取，得，‎ 设和该截面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴和该截面所成角的正弦值为．‎ 故答案为；．‎ ‎【点睛】本题考查截面面积的求法，考查线面角的正弦值的求法，熟记面面平行的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型．‎ ‎16.已知函数，常存在，使得，且，则最小值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的导数，因为存在，使得，即方程在上有两个不相等的实数根，则，‎ 所以，，，构造函数，利用导数求出函数在上的最小值，即可得解.‎ ‎【详解】解：因为的定义域为，‎ - 24 -‎ 令即，，‎ 因为存在，使得，且，‎ 即在上有两个不相等的实数根，且，‎ 所以，‎ 令，‎ 则，当时，恒成立，‎ 所以在上单调递减，，即的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性及最值，属于难题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知z为虚数,z+为实数.‎ ‎(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.‎ ‎(2)求|z-4|的取值范围.‎ ‎【答案】（1）z=2+3i或z=2-3i；（2）(1,5).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设，根据为纯虚数求得的值，再由为实数求出的值，即可得到复数；‎ ‎（2）由为实数且可得，由此求得的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为，从而求得范围. ‎ 试题解析：‎ - 24 -‎ ‎(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,‎ 由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.‎ ‎(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,‎ 所以y-=0,‎ 因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,‎ 由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),‎ 所以|z-4|=|x+yi-4|=‎ ‎=‎ ‎=∈(1,5).‎ 点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.‎ ‎18.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图建立空间直角坐标系，令，只需平面的法向量 与垂直即可．‎ ‎（2）求出两个面的法向量即可利用向量法求解．‎ ‎【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令，‎ 则， ， ， ， ‎ ‎， ， ，‎ 平面的法向量为．‎ ‎，，‎ 又面，平面． ‎ ‎（2），，‎ 设平面的法向量为，则由，即．‎ 令，则，，．‎ 设平面的法向量为，则由，即．‎ 令，则，，．‎ - 24 -‎ ‎，，‎ ‎，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间线面关系、二面角的计算，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19.已知，函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）和；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导函数，令，可得的单调递减区间；‎ ‎（2），若在内单调递增，即当时，，即对恒成立，分离参数求最值，即可求的取值范围．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ - 24 -‎ ‎（1）当时，，‎ 令，得，或 的单调递减区间是和；‎ ‎（2），若在内单调递增，即当时，，‎ 即对恒成立，‎ 即对恒成立，‎ 令，则 在上单调递增，‎ 经检验，当时，符合题意. ‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20.某市有一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积为立方米，且分上下两层，其中上层是半径为（单位：米）的半球体，下层是半径为米，高为米的圆柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设每座帐篷的建造费用为千元.‎ 参考公式：球的体积，球的表面积，其中为球的半径.‎ ‎（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；‎ - 24 -‎ ‎（2）当半径为何值时，每座帐篷的建造费用最小，并求出最小值.‎ ‎【答案】（1），定义域为；（2）当半径为时，建造费用最小，最小为千元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由图可知帐篷体积半球体积圆柱体积，即，表示出，则，化简得；再由，即可求出函数的定义域 ‎（2），，根据导函数求出其最小值即可．‎ ‎【详解】解：（1）由题意可得，所以，‎ 所以，即；‎ 因为，，所以，则，所以定义域为，‎ 故，定义域为；‎ ‎（2）设，，则，令，解得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增，‎ 所以当时，取极小值也是最小值，且．‎ 当半径为时，建造费用最小， ‎ 答：当半径为时，建造费用最小，最小为千元．‎ ‎【点睛】本题考查函数模型的实际应用，利用导数求最值等知识点，属于中档题．‎ ‎21.已知四棱锥的底面是直角梯形，，为的中点，.‎ - 24 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角为，试问“在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，从而平面．‎ ‎（2）在平面内作于，连接，推导出平面，则为与平面所成角，，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点的坐标，从而求出的长度．‎ ‎【详解】解：（1）证明：由四边形是直角梯形，，，，‎ 可得，，从而是等边三角形，，平分．‎ 为中点，，，‎ 又，，平面，平面平面．‎ ‎（2）在平面内作于，连接，‎ 平面．‎ 又平面，‎ 平面平面．‎ 因为平面平面，‎ 平面 - 24 -‎ 为与平面所成的角，则，‎ 由题意得 ‎，，为的中点，．‎ 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，0，，，，，，0，，，0，，‎ 假设在侧面内存在点，使得平面成立，‎ 设，，，‎ 由题意得，‎ ‎，，，，，，，0，，‎ 由，得，‎ 解得，满足题意，‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，设函数，若存在区间，使得函数在 - 24 -‎ 上的值域为，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导后含参数，通过分类讨论容易得出结论；‎ ‎（2）问题等价为在上至少有两个不同的正根，再构造函数求解即可．‎ ‎【详解】解：（1）因为的定义域为，‎ 当时，函数导数为，‎ 若时，，单调递减，‎ 若时，，当或时，，当时，，‎ 即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增．‎ 若时，，当或时，，当时，，‎ 函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增．‎ 综上，若时，函数的减区间为，无增区间，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为，‎ 若时，函数的减区间为，，增区间为．‎ ‎（2）当时，设函数．‎ 令，，‎ - 24 -‎ 当时，，为增函数，，为增函数，在区间上递增，‎ 在，上的值域是 在上至少有两个不同的正根，，令，.‎ 求导得，，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在递增，，，‎ ‎∴当，，；‎ 当，，.‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎，‎ 的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力，运算求解能力，考查分类讨论思想，属于较难题目．‎ - 24 -‎ ‎ ‎ - 24 -‎