2018-2019学年江西省上饶市协作体高二上学期第三次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年江西省上饶市协作体高二上学期第三次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 ‎2018-2019学年江西省上饶市协作体高二上学期第三次月考数学（理）试题 解析版 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知均为正实数，，那么的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式的变形求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据基本不等式的变形，有，当且仅当时等号成立.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本不等式的变形公式的运用，要注意等号是否成立，属于基础题.‎ ‎2．已知，则下列各式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，所以已知条件即是.结合指数函数和幂函数的性质，利用特殊值，对四个选项逐一进行判断.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以已知条件等价于.对于选项，故A选项错误.已知条件中可能是负数，故B选项错误.根据为减函数可知，C选项正确.当时，，故D选项错误.综上所述，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数和幂函数的单调性.由于题目是选择题，故可用特殊值进行排除.属于基础题.‎ ‎3．某班有学生人，现将所有学生按随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本（等距抽样），已知编号为号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 一共有个人，抽取个，每个人为一组，抽取一个，即抽取的组距为.由此可计算出另一个学生的编号.‎ ‎【详解】‎ 学生一共有人，抽取人，抽取的组距为，故抽取的编号为，所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查系统抽样的方法.系统抽样是先编号，然后按照抽取的人数求出抽取的组距，再随机抽取第一个，接下来按确定的组距来抽取.属于基础题.‎ ‎4．下列叙述错误的是( )‎ A． 若事件发生的概率为，则 B． 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C． 两个对立事件的概率之和为1‎ D． 对于任意两个事件和，都有 ‎【答案】D ‎【解析】解答：‎ 根据概率的定义可得若事件A发生的概率为P(A)，则0⩽P(A)⩽1，故A正确。‎ 根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，‎ 且两个对立事件的概率之和为1，故B. C正确。‎ 对于任意两个事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)，只有当A. B是互斥事件时，‎ 才有P(A∪B)=P(A)+P(B)，故D不正确，‎ 故选D.‎ ‎5．某学校为了制定节能减排的目标，调查了日用电量（单位：千瓦时）与当天平均气温（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：‎ ‎17‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎－2‎ ‎24‎ ‎34‎ a ‎64‎ 由表中数据的线性回归方程为=-2x+61，则的值为（ ）‎ A． 42 B． 40 C． 38 D． 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算、，代入线性回归方程中求得a的值．‎ ‎【详解】‎ 由表中数据计算=×（17+15+10﹣2）=10，‎ ‎=×（24+34+a+64）=30.5+，‎ 代入线性回归方程=﹣2x+61中，‎ 得30.5+=﹣2×10+61，‎ 解得a=42．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎6．在区间上任取一个实数，则的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出不等式的解集，然后用长度的比求得概率.‎ ‎【详解】‎ 由得到，解得，故概率为.所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查几何概型的计算，考查对数不等式的解法.解题时要注意对数函数的定义域.属于基础题.‎ ‎7．等差数列的公差为，若以上述数列为样本，则此样本的方差为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设数列为，通过方差的计算公式，计算出方差.‎ ‎【详解】‎ 不妨设数列为，故平均值，方差为 ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的性质，考查平均数和方差的计算.由于题目为选择题，故可以用特殊值来代替题目所给的数列.属于基础题.‎ ‎8．用种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两个小球颜色不同的对立事件为两个小球颜色相同，先计算得两个小球颜色相同的概率，用减去这个概率，得到两个小球颜色不同的概率.‎ ‎【详解】‎ 基本事件的总数为种，两个小球颜色相同的事件有种，故两个小球颜色相同的概率为，故两个小球颜色不同的概率为.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查古典概型，考查利用对立事件来计算概率.解题过程中如果直接求事件的概率较为复杂时，可以转化为先求该事件的对立事件的概率，然后利用对立事件概率的计算公式，来计算得到事件的概率.在计算基本事件的总数时，要注意颜色能否重复.属于基础题.‎ ‎9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果的值比 小，若使输出的最大，那么判断框中应填入( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意首先确定流程图的功能，然后结合组合数公式整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：流程图的功能为计算，使得：，而 由组合数公式可知：,‎ 据此可得：判断框中应填入.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：‎ ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎10．已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值不可能是（ ）‎ A． 3 B． 2 C． 0 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意在点处取得最大值，在点 处取得最小值，由目标函数得 ，当时满足条件，故选A．‎ ‎11．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军。若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立。则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了局的概率为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出甲获得冠军的概率，然后计算比赛局甲获得冠军的概率，再用条件概率的计算公式，计算得题目所求“在甲获得冠军的情况下，比赛进行了局的概率”.‎ ‎【详解】‎ 三局比赛甲“胜、负、胜”的概率为；三局比赛甲“负、胜、胜”的概率为；两局比赛甲“胜、胜”的概率为.根据条件概率计算公式，“在甲获得冠军的情况下，比赛进行了局的概率”为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查条件概率的计算，考查相互独立事件概率的计算，还考查了分类加法计数原理.属于基础题.‎ ‎12．已知函数的定义域为，对任意，有，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：取，则原不等式可化为 ‎ ．‎ 考点：函数与不等式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数的图像与不等式，涉及从一般到特殊思想、数形结合思想、函数与不等式思想和转化思想，考查逻辑推理能力、转化能力和计算能力，具有一定的综合性，属于较难题型．首先利用从一般到特殊思想取，进而利用转化思想将原不等式转化为，进而化简为，可化为，解得 ．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．每次试验的成功率为，重复进行次试验，其中前次都未成功，后次都成功的概率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的不成功的概率为，然后利用相互独立事件概率计算公式，求得所求概率的值.‎ ‎【详解】‎ 成功的概率为，所以不成功的概率为，前三次都未成功，概率为，后两次成功，概率为，根据分步计算原理可知，“前三次不成功，后两次成功的概率” 为 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查分步计算原理的理解和运用.属于基础题.‎ ‎14．将5名志愿者分成4组，其中一组为人，其余各组各人，到个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有____________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将个人分成组，然后排到个路口协助交警执勤，按照分步计算原理计算得方法数.‎ ‎【详解】‎ 先将个人分成组，方法数有种，再安排到个路口协助交警执勤，方法数有种，故不同的分配方法有种.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分步乘法计数原理，考查先分组，后排列的简单排列组合的计算问题，属于基础题.‎ ‎15．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种情况，那么可知构成的四边形是梯形的情况利用列举法可知共有6种，那么利用古典概型概率公式可知为。故答案为。‎ 考点：古典概型的概率 点评：主要是考查了古典概型概率的求解运用，属于基础题。‎ ‎16．已知都是正实数，则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：基本不等式.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1），结合图像可得不等式解集（2），所以根据根的大小进行分类讨论：时，为；，为；时，为 试题解析：（1）当时，不等式，‎ 即，解得．‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为不等式，‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为 视频 ‎18．已知.‎ ‎（1）求展开试中含项的系数；‎ ‎（2）设的展开式中前三项的二项式系数之和为， 的展开式中各项系数之和为，若，求实数的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）10．（Ⅱ）a=1或． ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）写出二项展开式的通项，令，求得的值，代入即可求解的项的系数．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知：求得的值，列出方程，即可求解实数的值． ‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ） ．‎ 令，则r=4，∴展开式中含的项为： ，‎ 展开式中含的项的系数为10．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知： ， ‎ 因为4M=N，即，∴a=1或．（少一个答案扣2分） ‎ ‎19．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； ‎ ‎（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‎ ‎（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个，求至多有人在分数段内的概率．‎ ‎【答案】(1)如解析所示；(2)121；(3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2‎ ‎）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.‎ 试题解析：(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，补全后的直方图如下：‎ ‎(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.‎ ‎(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．‎ ‎∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，‎ ‎∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；‎ 在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a，b，c，d；‎ 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．‎ 事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴.‎ ‎20．用0，1，2，3，4，5这六个数字：‎ ‎（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？‎ ‎（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，剩下百位和十位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，第一类是千位是中任意一个的、第二类是千位是，且百位是中的一个的、第三类是千位是，且百位是和十位是中的一个的.把这三种情况的种类数相加，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 个.‎ ‎（2）个.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基础题.‎ ‎21．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知两学习小组各有位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若组人选听《生活趣味数学》，其余人选听《校园舞蹈赏析》；组人选听《生活趣味数学》，其余人选听《校园舞蹈赏析》.‎ ‎（1）若从此人中任意选出人，求选出的人中恰有人选听《校园舞蹈赏析》的概率；‎ ‎（2）若从两组中各任选人，设为选出的人中选听《生活趣味数学》的人数，求的分布列.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出（2）X可能的取值为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴设“选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》”为事件，‎ 则，‎ 答：选出的3人中恰2人选听《校园舞蹈赏析》的概率为. ‎ ‎⑵可能的取值为，‎ ‎，，‎ ‎，故.‎ 所以的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的数学期望 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，属于中档题.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用换元法，将原不等式转化为一元二次不等式来求解.（2）将问题分离常数，转化为在有解的问题来解决.求得在上的值域，来求得的取值范围.（3）先根据函数的奇偶性的概念，求得的解析式，化简所求不等式为，利用换元法及分离参数法分离出，利用恒成立问题解决方法求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原不等式即为，设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，‎ 即t2﹣10t+16＜0，解得，即，∴1＜x＜3，∴原不等式的解集为． ‎ ‎（2）函数在上有零点，∴在上有解，即在有解．‎ 设，∵，∴，‎ ‎∴．∵在有解，∴，故实数的取值范围为． ‎ ‎（3）由题意得，解得．‎ 由题意得，‎ 即 对任意恒成立，令，，则．‎ 则得对任意的恒成立，‎ ‎∴对任意的恒成立，‎ ‎∵在上单调递减，∴．‎ ‎∴，∴实数的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题和恒成立问题的解决策略.属于中档题.对于不等式中含有一元二次不等式类似的结构的时候，可以考虑利用换元法，将问题转化为一元二次不等式来求解.存在性问题和恒成立问题的主要解法是分离常数法.‎