北京市北京理工大学附中2018-2019学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

北京市北京理工大学附中2018-2019学年高一上学期10月月考数学试题 含解析

‎2018-～2019学年10月北京海淀区北京理工大学附属在学 高一上学期月考数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，那么（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由或，‎ ‎∴且，故选．‎ ‎2.设全集，集合，，则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.‎ ‎【详解】解一元二次不等式化简集合A,得,‎ 由 得,‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.‎ ‎3.已知，，则是的()‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将命题转化为集合和,再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得.‎ ‎【详解】设命题:对应的集合为,‎ 命题 :对应的集合为,‎ 因为AÜB,所以命题 是命题的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件,解题关键是将命题之间的关系转化为集合之间的关系,属基础题.‎ ‎4.函数在闭区间上有最大值3，最小值为2， 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式，做出函数图像，结合图像分析出m的取值范围 ‎【详解】作出函数f（x）的图象，如图所示，‎ 当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是[1，2]．故选：C．.‎ ‎【点睛】让学生学会利用数形结合的方法，分析参数的取值范围 ‎5.已知函数定义域为，“是“在区间上单调递增的()‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个特殊自变量的大小关系及其函数值的大小关系是不能推出函数的单调性的,‎ 因为它不满足增函数的定义中的两个自变量在定义域中要具有任意性,因此“”不能推出“在区间上单调递增,根据增函数的性质可得:若在区间上单调递增,则是正确的,‎ 故选B.‎ ‎【详解】因为1和2是区间[1,2]内的两个指定值,不具有任意性,不满足增函数的定义,‎ 所以由“”不能推出“在区间上单调递增”,‎ 反过来,若在区间上单调递增的,根据增函数的性质可以推出,‎ 因此根据充分必要条件的定义可知:‎ ‎“是“在区间上单调递增的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了增函数的定义和性质,充分必要条件的定义,特别要注意增函数定义中的关键词”任意的”.切记:用指定自变量的函数值的大小关系不能用来肯定函数的单调性,只能用来否定函数的单调性.属于基础题.‎ ‎6.关于函数的说法，正确的是()‎ A. 最小值为1 B. 的图象不具备对称性 C. 在上单调递增 D. 对，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为,根据可知函数的最大值为1,所以A不正确;D正确;‎ 根据,可知函数图象关于直线对称,所以B不正确;‎ 因为函数 在上是单调递增,且恒成立,‎ 所以函数 在上单调递减,所以C不正确.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以函数,‎ 所以函数最大值为1 因此选项A不正确;‎ 因为,所以函数的图象关于直线对称,所以选项B.不正确; ‎ 因为函数 在上是单调递增,且恒成立,所以函数 在上单调递减,所以C不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若,则函数在区间上的单调性与函数在 上的单调性相反;②若函数恒成立,则函数的对称轴为对称. 本题属于中档题.‎ ‎7.已知，则满足不等式的实数的取值范围是()‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 显然,对分类讨论:‎ ‎① 当时,,利用分段函数的解析式求出和代入不等式可解得.‎ ‎② 当时,, 利用分段函数的解析式求出和代入不等式可解得,再将两次解得的结果相并即可得到所求的范围..‎ ‎【详解】显然,‎ 当 时, ,所以,,‎ 将和代入 得,即,解得 ;‎ 当 时,,所以 ,,‎ 将和代入得,即,‎ 解得或,又,所以.‎ 综上所述:实数的取值范围是或.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求值,分类讨论,一元二次不等式的解法, 解题关键是对的范围进行讨论,以便根据分段函数的解析式求得 和后,再代入去解.,本题属于中档题.‎ ‎8.已知函数，若存在实数，使得关于方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是()‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实根，等价于存在实数k,使函数与函数的图象有两个不同的交点,然后对分四种情况讨论,作出函数的图象,根据图象可以得到实数的范围.‎ ‎【详解】联立 ,解得,‎ 当时,函数 在上递增,在上递减,在上递增,‎ 如图:‎ 由图可知,存在实数,使得关于的方程有两个不同的实根.‎ 当时,函数在R上递增,‎ 如图:‎ 由图可知,不存在实数,使得关于的方程有两个不同的实根.‎ 当时,函数在上递增,在上也递增,并且,‎ 如图:‎ 由图可知, 存在实数,使得关于的方程有两个不同的实根;‎ 当时,在R上是增函数,‎ 如图:‎ 由图可知,不存在实数,使得关于的方程有两个不同的实根.‎ 综上所述: 实数的取值范围是或.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,正确的对分四种情况讨论,作出函数的图象,利用存在实数k,使两个函数的图象有两个不同的交点来求出的范围,是解题关键,一般地,方程的根的个数问题通常是转化为两个函数的图象的交点的个数问题来解决.属于较难题.‎ 二、填空题 ‎9.已知命题：，，则命题的否定为_______.‎ ‎【答案】,都有 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定就是非P命题,写非P命题时,将存在量词改成全称量词,小于改成大于等于即可得到.‎ ‎【详解】因为命题：，，‎ 则命题否定为:,都有.‎ 故答案为,都有.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的否定,解题方法:将存在量词改成全称量词,全称量词改成存在量词,再否定结论,属于基础题.‎ ‎10.已知函数，则_______；若，则实数_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). -2或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据满足,利用分段函数的第一段解析式,可求得,‎ 再根据2满足,利用分段函数的第二段解析式,可求得,即;‎ 对分两种情况求得,再将代入可以解得即可.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 当时,,解得,或 (舍去);‎ 当时,,解得.‎ 综上 或.‎ 故答案为:; 或.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.‎ ‎11.已知函数在区间上递增，在区间上递减.‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③在区间的最大值是；‎ ‎④在区间的最小值是；‎ 上述命题中，所有正确的序号有__________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据函数单调性,可得①正确;‎ ‎②和的大小不确定,所以②不正确;‎ ‎③在上的最大值是是正确的,所以③正确,在上的最小值是 或者是,所以④不正确.‎ 故答案为①③.‎ ‎【详解】①因为函数在区间上递增，在区间上递减,且0<2,所以,故①正确;‎ ‎② 0和3不在同一个单调区间上,不能比较大小,所以②不正确;③显然正确; ‎ ‎③在上的最小值是 或者是,所以④不正确.‎ 故答案为①③.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和最值,注意:只有两个自变量在同一个单调区间内,才能利用单调性比较大小,本题属于中档题.‎ ‎12.已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为不一定也在单调递增区间内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将变成,然后再用函数在上的单调性解函数不等式.‎ ‎【详解】因为函数为偶函数,所以,‎ 所以不等式等价于,‎ 又因为函数在区间单调递增,所以 ,解得,‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,‎ 抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.‎ ‎13.已知函数，若方程有三个不同实根、、，则 的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程有三个不同实根转化为函数与函数的图象有三个不同的交点后,作出两个函数的图象,利用图象可以得到、、的关系和取值范围,从而可以得到的取值范围.‎ ‎【详解】因为方程有三个不同实根、、,‎ 所以函数与函数的图象有三个不同的交点,‎ 三个交点的横坐标为、、,‎ 不妨设,‎ 作出函数与的图象如下:‎ 由图可知:,,‎ 所以 ,‎ 即的取值范围是.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程,解题关键是将方程有三个不同实根转化为两个函数的图象有三个不同的交点,要抓住为定值,的范围是.本题是中档题.‎ ‎14.若函数的值域为，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】[0,1]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数的值域为转化为的图象与 轴有交点,再按照和两种情况讨论可得.‎ ‎【详解】当时,函数的定义域为,值域为,符合题意;‎ 当时,△,解得:,‎ 此时的定义域是不等式的解集.‎ 综上所述: 实数的取值范围是[0,1].‎ 故答案为:[0,1]‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域,意在考查的图象与 轴的交点个数,解题关键是将函数的值域为转化为的图象与 轴有交点.本题属于中档题.‎ 三、解答题 ‎15.已知函数.‎ ‎⑴判断的奇偶性.‎ ‎⑵写出的单调区间(只需写出结果).‎ ‎⑶若方程有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)奇函数;(2) 函数的单调递减区间为:,;单调递增区间为:,;(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用奇偶函数的定义 和判断可得;‎ ‎(2)先写出时函数的单调区间,再根据函数的奇偶性得到时的单调区间;‎ ‎(3)将方程有解转化为函数 与函数 的图象有交点,作出图象后,观察图象可得.‎ ‎【详解】(1)因为的定义域为R,‎ ‎,所以,‎ 所以函数为偶函数.‎ ‎(2)当时,在上递减,在上递增,‎ 又因为函数为偶函数,所以在上递减,在上递增,‎ 故函数的单调递减区间为:,;单调递增区间为:,.‎ ‎(3)因为方程有解,所以函数与函数的图象有交点,‎ 作出函数的图象如下:‎ 由图可知:.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性,函数与方程,写偶函数的单调区间时,可以先写出 时的单调区间,再根据对称性写出 时的单调区间.方程有解的问题通常转化为函数图象有交点问题去解决.本题属于中档题.‎ ‎16.解下列关于的不等式.‎ ‎⑴ .‎ ‎⑵ .‎ ‎【答案】(1) ;(2) 当时,原不等式的解集为;‎ 当时,原不等式的解集为空集;‎ 当时,原不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将化成标准形式后,令得到,或,再根据口诀:大于取两边,小于取中间可得;‎ ‎(2)将化为,然后对分三种情况:① ;② ;③进行讨论可得.‎ ‎【详解】(1)由,得,‎ 令,得,或,‎ 所以,,‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 当时,得;‎ 当时,不等式无解;‎ 当时,得.‎ 综上所述:当时,原不等式的解集为;‎ 当时,原不等式的解集为空集;‎ 当时,原不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,首先要将不等式化为标准形式,然后利用对应的一元二次方程的根来表示不等式的解集,口诀是大于取两边,小于取中间.对于含参的一元二次不等式,注意使用分类讨论思想.本题属于中档题.‎ ‎17.函数满足如下四个条件：‎ ‎①定义域为；‎ ‎②；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对任意满足.‎ 根据上述条件，求解下列问题：‎ ‎⑴求及的值.‎ ‎⑵应用函数单调性的定义判断并证明的单调性.‎ ‎⑶求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)0; (2)见解析; (3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 在中,令可得:;‎ 在中,令,可得.‎ ‎ (2) 为 上的增函数.设,利用,,‎ 可得,结合时,,利用单调性的定义可证.‎ ‎(3)根据,可得,所以原不等式可化为,再利用单调性可解得.‎ ‎【详解】(1)在中,‎ 令,得,解得.‎ 在中,令.‎ 得,‎ 得,‎ 得,‎ 所以.‎ ‎(2) 为 上的增函数.‎ 证明如下:设,则 所以.‎ 因为==,‎ 即.‎ 根据增函数的定义可知, 为 上的增函数.‎ ‎(3)因为,‎ 所以,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 由(2)知函数在上单调递增,‎ 所以,解得:.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数求函数值,抽象函数的单调性的判断和证明,抽象函数不等式的解法,解题关键是对已知恒等式中的合理赋值.,容易漏掉定义域.属中档题 ‎18.已知函数，且函数是定义在上的偶函数.‎ ‎⑴求实数的值.‎ ‎⑵若函数的最小值为1，求函数的最大值.‎ ‎【答案】(1)2;(2)5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据函数的对称轴以及图象变换可得的对称轴,从而可得的值;‎ ‎(2)由的最小值为1,可得在上恒成立,解得的范围为或,再分两种情况讨论,可求得的最大值.‎ ‎【详解】(1)因为函数 是定义在R上的偶函数,‎ 所以对称轴为,‎ 所以的对称轴为,‎ 所以,解得 ,‎ ‎(2)由(1)知,(),‎ 因为的最小值为1,所以 在上恒成立,‎ 即 或 在上恒成立,‎ 所以或,‎ 当时, ‎ ‎=,‎ 所以=的最小值为,解得,‎ 此时的最大值为.‎ 当时,,‎ 所以=,‎ 因为对称轴,所以=,解得 ,符合.‎ 此时的最大值为=5,‎ 综上所述, 函数最大值是5.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想,根据最小值为1,即g(x)大于等于1,可以缩小的范围,可以减少讨论次数是解题关键.属难题.‎ ‎ ‎