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文档介绍
数学理卷·2017届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测(一)(2017
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数学(理科) 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知是虚数单位,复数,则复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量,,若,则实数为( ) A. B. C. D. 4.命题的否定为( ) A., B., C., D., 5.已知直线和圆,若直线与圆相切,则 ( ) A.0 B. C. 或0 D.或0 6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是( ) A. B. C. D. 7.将这4名同学从左至右随机地排成一排,则“与相邻且与之间恰好有1名同学”的概率是( ) A. B. C. D. 8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于 ( ) A.21 B.22 C.23 D.24 9.将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,若在上为增函数,则的最大值为( ) A.3 B.2 C. D. 10.已知是球表面上的不同点,平面,,,,若球的表面积为,则( ) A. B.1 C. D. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点与双曲线的焦点不重合,点关于的对称点分别为,线段的中点在双曲线的右支上,若,则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 12.已知函数,则函数的零点个数是( ) A.4 B.5 C. 6 D.7 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题纸上) 13. 二项式的展开式中的常数项为 . 14. 若实数满足不等式组,则目标函数的最大值为 . 15. 已知的三个内角的对边分别为,面积为,且满足,,则的最大值为 . 16. 设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处的切线方程为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分) 已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列满足,求数列的前项和. 18.(本小题满分12分) 为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查,得到如下列联表:(单位:人). 报考“经济类” 不报“经济类” 合计 男 6 24 30 女 14 6 20 合计 20 30 50 (Ⅰ)据此样本,能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关? (Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人,设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量,求随机变量的概率分布及数学期望. 附:参考数据: 0.05 0.010 3.841 6.635 (参考公式:) 19.(本小题满分12分) 如图,在三棱柱中,侧面底面,,且点为中点. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的大小. 20.(本小题满分12分) 已知椭圆的左焦点为,. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)如图,设是椭圆上一动点,由原点向圆引两条切线,分别交椭圆于点,若直线的斜率存在,并记为,求证: 为定值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由. 21. (本小题满分12分) 已知函数. (Ⅰ)当时,求证:; (Ⅱ)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)若,证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线,圆,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线与圆的极坐标方程; (Ⅱ)设直线与圆的交点为,求的面积. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数,. (Ⅰ)若,解关于的不等式; (Ⅱ)若对于任意的实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(一) 数学(理科)参考答案与评分标准 一、 选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12:AA 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13. 14. 1 15. 8 16. 三、解答题 17. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)设数列的公差为,由题设,, .................2分 即,解得 .................4分 又∵,∴,可以求得. .................6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 .................8分 . .................12分 (分别求和每步给2分) 18. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ) .................2分 ∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分 (Ⅱ)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 .............6分 的可能取值为,由题意,得 ∴随机变量的分布列为 0 1 2 3 .................10分 ∴随机变量的数学期望. .................12分 19.(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)证明:因为,且为的中点,所以, .................2分 又∵侧面底面,交线为,且平面, ∴平面. .................4分 (Ⅱ)如图,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系. 由已知可得,,,, ∴,, .................6分 设平面的一个法向量为,则有 令,得, ∴. .................8分 设平面的法向量为,则有 令,则,,∴ .................10分 ∴ ∴所求二面角的大小为. .................12分 20. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)由题意得,,解得, .................1分 ∴椭圆方程为. .................3分 (Ⅱ)由已知,直线:,:,且与圆相切, ∴,化简得 同理, .................5分 ∴是方程的两个不相等的实数根 ∴,, .................7分 ∵点在椭圆C上,所以,即 ∴. .................8分 (Ⅲ)是定值18. 设,联立 解得 ∴ 同理,得. .................10分 由,∴ 综上:. .................12分 21. (本小题满分12分) 解:(Ⅰ)时,. .................1分 当时,;当时,. .................2分 故在单调递减,在单调递增, ,∴ .................3分 (Ⅱ)方法一:. 由(Ⅰ)知,当且仅当时等号成立. 故 从而当,即时,在区间上,,单调递增,,即,符合题意. .................5分 又由,可得. 从而当时, 在区间上,,单调递减,, 即,不合题意. .................7分 综上得实数的取值范围为. .................8分 方法二:,令,则. 1)当时,在上,,递增,,即 在为增函数,,时满足条件; .................5分 2)当时,令,解得,在当上, 单调递减,时,有,即, 在区间为减函数,,不合题意. .................7分 综上得实数的取值范围为 . .................8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得,当时,,,即 欲证不等式,只需证. .................10分 设,则 时,恒成立,且,恒成立. 所以原不等式得证. .................12分 22. (本小题满分10分) 解:(Ⅰ)将的参数方程化为普通方程为, .................1分 ,∴直线的极坐标方程为(R), .................3分 圆的极坐标方程为. .................5分(Ⅱ)将代入,得 解得=,=,||=-=, .................8分 因为圆的半径为1,则的面积=. .................10分(用直角坐标求解酌情给分) 23. (本小题满分10分) 解:(Ⅰ)当时,,即, .................1分 原不等式等价于, .................3分 解得,不等式的解集为. .................5分 (Ⅱ),原问题等价于, .................6分 由三角绝对值不等式的性质,得 .................8分 原问题等价于,又,,解得. .................10分查看更多