河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ 文科数学（ PDF版含答案）
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文科数学试题
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1
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4
页) 文科数学试题
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2019年全国高三统一联合考试
文科数学
本试卷4页,23小题,满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.
全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3.
回答选择题时,选出每小题答案后,用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用
0.5mm
黑色笔迹
签字笔写在答题卡上。
4.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的
.
1.
设方程x
2=2x
的解集为A,不等式
6-3x>0
的解集为B,则 A∩B=
A.{-2,2} B.{-2} C.{x|x<2} D.{x|x≥-2}
2.
若复数 a
1-i
的模为 2
2 ,则实数a=
A.1 B.-1 C.±1 D.± 2
3.
某高校学生管理中心想了解大学生喜欢自主创业是否与性格外向有关,于是随机抽取
800
名
大学生调查,得到
2×2
列联表,经计算得 K2 的观测值为
4.386.
已知 P(K2
≥3.841)=0.05,
P(K2
≥5.024)=0.025,P(K2
≥6.635)=0.01,则该学生管理中心可以
A.
有
99%
以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关
B.
有
99%
以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向无关
C.
有
95%
以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向无关
D.
有
95%
以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关
4.
已知空间直线a,b,c 和平面α,则下列结论正确的是
A.
若a∥b,b⊂α,则a∥α B.
若a∥α,b⊂α,则a∥b
C.
若a⊥c,b⊥c,则a∥b D.
若a⊥α,b⊥α,则a∥b
5.
设F1,F2
分别是椭圆C:
x2
a2 +
y2
b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆C 上,且
|PF1|=
3|PF2|,若线段PF1
的中点恰在y 轴上,则椭圆的离心率为
A.3
3 B.3
6 C.2
2 D.1
2
6.
在
△ABC 中,点O 为
△ABC 的重心,设AB→=a,AC→=b,则BO→=
A.1
3
a+1
3
b B.-2
3
a+1
3
b C.1
3
a+2
3
b D.2
3
a+1
3
b
7.
若函数f(x)=
x2
+a(x+1)+1x
为奇函数,则曲线y=f(x)在x=1
2
处的切线方程为
A.y=5x+5 B.y=5x C.y=-3x+4 D.y=-3x+1
8.
古希腊人早在公元前就知道,七弦琴发出不同的声音,是由于弦
长度的不同
.
数学家傅里叶(公元
1768
年—1830
年)关于三角函
数的研 究 告 诉 我 们:人 类 的 声 音,小 提 琴 的 奏 鸣,动 物 的 叫
声———都可以归结为一些简单声音的组合,而简单声音是可以
用三角函数描述的
.
已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图像,图像的解析式
是f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),则
A.ω=3,φ=π
6 B.ω=6,φ=π
3 C.ω=3,φ=π
4 D.ω=6,φ=5π
6
9.
下图为一个圆柱挖去一部分所得几何体的三视图,则挖去的几何体的最大体积是
A.30 B.20 C.25 D.40
10.
已知角α 的终边上有一点P(-4a,3a),其中a≠0,则1
2sin2α+cos2α+1
的值为
A.4
5 B.1
5 C.-1
5 D.6
5
11.
已知函数f(x)=x+cos(x+π
3
) + 3sin(x+π
3
) ,则f(x)在区间 [0,π
2
] 上的取值范围为
A.[2,π
6+ 3] B.[ π
2,π
6+ 3] C.[ π
2,2] D.[0,1]
12.
已知函数f(x)=
x2
-6x+6,x≥a,
( 1
2
)x+1
,x
n-2.
18.(12
分)
如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1
中,∠ABC 为直角,BC=2,CC1 =4,D 为
CC1
的中点
.
(1)求证:平面 A1B1D⊥
平面 ABD;
(2)若 异 面 直 线 A1B1
与 AC 所 成 的 角 的 正 弦 值 是2 13
13 ,求 三 棱 锥 B-
A1AD 的体积
.
19.(12
分)
近年来,中小学生近视人数急剧增加
.
从
2018
年
11
月
1
日起,《××
省学生体质健康促进条
例》正式施行
.
根据条例规定,中小学校应当加强学生在校期间电子产品使用管理,指导学生
科学规范使用电子产品;严禁学生将个人手机、平板电脑等电子产品带入课堂;发现学生将
上述个人电子产品带入学校的,实行统一保管
.
这是省教育厅为防控儿童、青少年近视采取
的有力举措
.
为分析中小学生的近视程度,我们规定:视力[4.0,4.3)为重度近视,[4.3,4.6)为
中度近视,[4.6,4.9)为轻度近视,[4.9,5.2]为正常视力
.
从某校高三学生中随机抽取
20
个人
的视力数据组成一个样本,如下:
4.1 4.0 4.3 4.5 4.6 4.4 4.7 4.6 4.7 4.8
4.7 4.8 4.9 5.0 4.9 5.0 4.9 4.9 5.0 5.1
(1)把视力分为重度近视、中度近视、轻度近视、正常视力四组,列出这个样本的频率分布表,
并画出其频率分布直方图
.
视力范围 [4.0,4.3) [4.3,4.6) [4.6,4.9) [4.9,5.2]
频数
频率
(2)我们国家每年都要从高中毕业生中招考飞行员,选拔飞行员的视力要求是
5.0
及以上
.
现
从这
20
人中选出正常视力的学生,再从中随机抽取
2
人参加飞行员的招考报名,求这
2
人都符合视力要求的概率
.
20.(12
分)
已知抛物线C1
的标准方程为y2
=4x.
(1)若抛物线C1
与斜率为k 的直线l 交于不同两点A,B,且
线段 AB 的中点在x=1(y>0)上,证明k>1.
(2)如图,封闭曲线 M 是由抛物线C1
与椭圆 C2:
x2
4 +
y2
3 =1
围成的,C,D 为M 上关于x 轴对称的不同两点,O 为坐标原点,试求
△OCD 面积的最
大值
.
21.(12
分)
已知函数f(x)=e
x
-alnx+e
2
.
(1)若x=2
是f(x)的极值点,求a 的值,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:当
e0
恒成立
.
(二)选考题:共10分
.
请考生在第22,23题中任选一题作答
.
如果多做,则按所做的第一题计分,
作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑
.
22.[选修
4-4:坐标系与参数方程](10
分)
在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为(x-1)2
+(y-1)2
=1.
以坐标原点 O 为极点,
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-4=0.
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C 的极坐标方程;
(2)求曲线C 上的点到直线l的距离的最小值
.
23.[选修
4-5:不等式选讲](10
分)
已知函数f(x)=|2x-a|.
(1)若不等式f(x)≤6
的解集为{x|-2≤x≤4},求实数a 的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f( 1
2
x+3) ≤2m2
-4m+11
对一切实数 m 恒成立,求x 的
取值范围
.
2019
年全国高三统一联合考试
·文科数学·
参考答案及解析
2019年全国高三统一联合考试·文科数学
一、选择题
1.B
【解析】 由 x
2 = 2x ,即 x2
=4,得 x= ±2,则 A =
{-2,2};由
6-3x>0,解得x<2,则 B={x|x<2},所
以 A∩B={-2}.
故选
B.
2.C
【解 析】 由 题 意 得 a
1-i = 2
2
,即|a|
2
= 2
2
,所 以
a=±1.
故选
C.
3.D
【解析】 由题意 得 K2
=4.386>3.841,所 以 有
95%
以上的把握认为大学生喜欢自主创业与性格外向有关
.
故选
D.
4.D
【解析】选项
A,由条件得a∥α 或a⊂α,所以错误;
选项
B,由条件得a∥b 或a,b 异面,所以错误;选项
C,
由条件得a,b 的位置关系平行、相交、异面都有可能,所
以错误;选项
D,是线面垂直的性质定理
.
故选
D.
5.C
【解析】由定义得
|PF1|+|PF2|=2a,又
|PF1|=
3|PF2|,所以
|PF2|=
a
2
,|PF1|=3a
2
.因 为 线 段 PF1
的中点在y 轴上,O 为F1F2
的中点,由三角形中位线平
行于 底 边,得
∠PF2F1 =90°,所 以 a
2
( ) 2
+ (2c)2
=
3a
2
( ) 2
,所以a= 2c,所以e= 2
2 .
故选
C.
6.B
【解析】 因 为 点 O 为
△ABC 的 重 心 ,设 点 D 为
边 AC 的 中 点 ,所 以BO→= 2
3
BD→= 2
3
(AD→-AB→)=
2
3
1
2
b-a( ) =- 2
3
a+ 1
3
b.
故选
B.
7.C
【解析】由函数f(x)=
x2
+a(x+1)+1x
为奇函数,
可得a=0,所 以 f(x)=
x2
+1x =x + 1x ,x ≠0,
f 1
2
( ) = 5
2
,所以切点坐标为 1
2 ,5
2
( ) .由f'(x)=1-
1x2 ,得切线的 斜 率k=f' 1
2
( ) = -3,所 以 所 求 切 线 方
程为y- 5
2 =-3 x- 1
2
( ) ,即y=-3x+4.
故选
C.
8.C
【解析】由题图知,函数f(x)的周期T=211π
12-7π
12
( ) =
2π
3
,所以2πω =2π
3
,ω=3.把 7π
12,0( ) 代入f(x)=Asin(ωx+
φ),得 Asin 3×7π
12+φ( ) =0,所以
sin 7π
4 +φ( ) =0,所以
7π
4 +φ=kπ(k∈Z).又
0<φ<π,所以φ= π
4 .
故选
C.
9.D
【解析】由三视图知,圆柱的底面半径为
2,高为
5,
挖去部分为底面 是 矩 形 的 直 棱 柱,因 此,当 棱 柱 的 底 面
为正方形时,挖去 部 分 的 体 积 最 大,此 时 正 方 形 的 边 长
为
2 2,所以挖去的几何体的 最 大 体 积 是
2 2×2 2×
5=40.
故选
D.
10.A
【解析】不妨令a=1,则
sinα= 3
5
,cosα=- 4
5
,
所以 1
2sin2α+cos2α+1=sinαcosα+2cos
2α= 3
5 ×
- 4
5
( ) +2× - 4
5
( ) 2
= 4
5 .
故选
A.
11.B
【解析】f(x)=x+cosx+ π
3
( ) + 3sinx+ π
3
( ) =
x+2cosx,f'(x)=1-2sinx.令f'(x)=0,得
sinx=
1
2
.因为 x∈ 0,π
2
[ ] ,所 以 x= π
6
.而 f π
6
( ) = π
6 +
2cosπ
6 = π
6 + 3,f(0)=2,f π
2
( ) = π
2
,所以 f(x)
的最小值为 π
2
,最大值为 π
6 + 3.
故选
B.
12.A
【解析】由g(x)=|f(x)|-1=0,得
|f(x)|=1,
即函数y=|f(x)|
与 y=1
的 图 像 的 交 点 有
4
个.由
|x2
-6x+6|=1,得x=1
或x=5
或x=3- 2
或x=
3+ 2;由 1
2
( ) x+1
=1,得x=-1.画出函数y=|f(x)|
与y=1
的图像,由图像分析得a≤-1
或
10,所以 Tn >n-2. 12
分……………
18.(1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1
中,
因为
∠ABC 为直角,所以AB⊥BC,又平面BCC1B1∩
平面ABC=BC,所以AB⊥
平面BCC1B1.因为B1D⊂
平面BCC1B1,所以 AB⊥B1D. 2
分…………………
在 矩 形 BCC1B1
中 ,因 为 D 为 CC1
的 中 点 ,BC=2,
CC1=4,所 以 BD2
+B1D2
=BB2
1 ,所 以 B1D ⊥BD.
又因为 AB,BD⊂
平面 ABD,AB∩BD=B,
所以B1D⊥
平面 ABD. 4
分……………………………
又因为B1D⊂
平面 A1B1D,
所以平面 A1B1D⊥
平面 ABD. 6
分…………………
(2)解:在直三棱柱ABC-A1B1C1
中,因为A1B1∥AB,
所以
∠BAC 就是异面直线A1B1
与 AC 所成的角或其
补角.
因为
∠ABC 为直角,BC=2,异面直线 A1B1
与 AC 所
成的角的正弦值是2 13
13
,
所以 AB=3. 8
分………………………………………
在直三棱柱 ABC-A1B1C1
中,
点 D 到 平 面 ABB1A1
的 距 离 等 于 点 C 到 平 面
ABB1A1
的距离, 10
分…………………………………
则VB-A
1
AD =VD-ABA
1 = 1
3 × 1
2 ×3×4×2=4,所以三棱
锥B-A1AD 的体积为
4. 12
分…………………………
19.
解:(1)样本的频率分布表如下:
视力范围 [4.0,4.3) [4.3,4.6) [4.6,4.9) [4.9,5.2]
频数
2 3 7 8
频率
0.1 0.15 0.35 0.4
3
分………………………………………………………
频率分布直方图如图:
6
分………………………………………………………
(2)这
20
人中正常视力的学生有
8
人,设从这
8
人中随
机抽取
2
人且都符合视力要求 为 事 件 A,符 合 视 力 要
求的
4
人编号为
1,2,3,4,其他
4
人为a,b,c,d,则 从
正 常 视 力 的 学 生
8
人 中 随 机 抽 取
2
人 的 基 本 事 件 为
12,13,14,1a,1b,1c,1d,23,24,2a,2b,2c,2d,34,3a,
3b,3c,3d,4a,4b,4c,4d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,共
28
个,
事件 A 包含的基本事件的个数为
6, 10
分……………
根据古典概型得 P(A)= 6
28= 3
14
,
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
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ै
ै
ै
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ै
ै
ै
·2·
2019
年全国高三统一联合考试
·文科数学·
所以这
2
人都符合视力要求的概率为 3
14. 12
分………
20.(1)证明:(方法一)根据线段AB 的中点在x=1(y>0)上,
可设A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点坐标为(1,t)(t>0),
则斜率为k 的直线l的方程为y-t=k(x-1)(k≠0).
与抛物线方程联立,即 y=kx+t-k,
y2
=4x,
{
消去x 得k
4
y2
-y+t-k=0. 2
分……………………
因为直线l与抛物线有两个不同交点,所以Δ=1-4×
k
4
(t-k)=1-kt+k2
>0,y1+y2= 4k .
又线段AB 的中点为(1,t),所以x1+x2=2,y1+y2=
2t. 4
分…………………………………………………
所以
2t= 4k ,t= 2k .因为t>0,所以k>0.
将t= 2k
代入
1-kt+k2
>0,得k2
>1,所以k>1.
6
分………………………………………………………
(方法二)同方法一得t= 2k .
因为线段 AB 的中点坐标为(1,t)(t>0)在抛物线内,
则
01.
(方法三)用点差法.
根据线段 AB 的中点在x=1(y>0)上,可设中点坐标
为(1,t)(t>0),点 A(x1,y1),B(x2,y2),则
y2
1=4x1,①
y2
2=4x2,②
②-①
得(y2-y1)(y2+y1)=4(x2-x1),
则y2-y1
x2-x1 = 4y2+y1
.由题意,x1≠x2,y1+y2≠0,
又线段 AB 的中点为(1,t),则 x1 +x2 =2,y1 +y2 =
2t,所以k= 2t ,即t= 2k .
因为线段 AB 的中点(1,t)(t>0)在抛 物 线 内,则
0<
t<2,所以
0< 2k <2,所以k>1.
经 检 验 ,直 线 与 抛 物 线 相 交 ,所 以 k 的 取 值 范 围 是
{k|k>1}. 6
分…………………………………………
(2)解:联立
y2
=4x,
x2
4 +
y2
3 =1,{ 可得抛物线与椭圆在y 轴右
侧的交点坐标为 ( 2
3
,2 6
3
) ,( 2
3
,-2 6
3
) ,根据图像
可知曲线 M 关于x 轴对称,
设C(x3,y3),D(x3,-y3)(不妨设y3>0),
则
△OCD 的面积S=x3y3. 7
分………………………
设OC 所在的直线方程为y=kx(k>0),按点 C 的位
置分两种情况:
①
当C(x3,y3)在抛物线弧y2
=4x 00,
所以函数y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
结合f'(2)=0,得当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,
+∞)时,f'(x)>0.
故 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (0,2),单 调 递 增 区 间 为
(2,+ ∞). 4
分…………………………………………
(2)证明:f'(x)=e
x
-
a
x .
令φ(x)=e
x
-
a
x ,则当
e0,
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
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ै
ै
ै
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ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
ै
·3·
·文科数学·
参考答案及解析
即函数y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
因为
ee
2
-e
2
=0.
6
分………………………………………………………
所以
∃m∈(1,2),使得f'(m)=0.
当x∈(0,m)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)min=f(m)=e
m
-alnm+e
2.
由
ee
m
-2e
2
lnm+e
2. 9
分……
下面证h(m)=e
m
-2e
2
lnm+e
2 在区间(1,2)内大于
0.
h'(m)=e
m
-2e
2
m .令t(m)=e
m
-2e
2
m ,则t'(m)=e
m
+
2e
2
m2 >0,所以函数y=h'(m)在区间(1,2)内单调递增,
h'(m)h(2)=
e
2
-2e
2
ln2+e
2
=2e
2(1-ln2)>0.
所以f(x)>0. 12
分……………………………………
22.
解:(1)已知直线l的参数方程为ρcosθ+ρsinθ-4=0,
将ρcosθ=x,ρsinθ=y 代 入 直 线l 的 参 数 方 程,得
x+y-4=0,
所以直线l的直角坐标方程为x+y-4=0. 2
分……
已知曲线C 的方程为(x-1)2
+(y-1)2
=1,
将ρ2
=x2
+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y 代入上式,
得曲线C 的极坐标方程为ρ2
-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0.
5
分………………………………………………………
(2)(方法一)设曲线C 上的点P(1+cosα,1+sinα),
则点P 到直线l的距离d=|1+cosα+1+sinα-4|
2
=
|(sinα+cosα)-2|
2
= sinα+ π
4
( ) - 2 .
当
sinα+ π
4
( ) =1
时,dmin= 2-1,
所以曲线C 上的点到直线l的距离的最小值为
2-1.
10
分…………………………………………………
(方法二)因为曲线C 的圆心(1,1)到直线l:x+y-4=
0
的距离d=|1+1-4|
2
= 2>1=r,
则直线l 与曲线C 相离,所以曲线 C 上 的 点 到 直 线l
的距离的最小值等于d 减去半径长,
即曲线C 上的点到直线l的距离的最小值为
2-1.
10
分……………………………………………………
23.
解:(1)f(x)≤6
即
|2x-a|≤6,所以
-6≤2x-a≤6,a-
6≤2x≤a+6.
又不等式f(x)≤6
的解集为{x|-2≤x≤4},
所以 a-6=-4,
a+6=8,
{ 解得a=2. 5
分……………………
(2)当a=2
时,f(x)+f 1
2
x+3( ) =|2x-2|+|x+
4|=
-3x-2,x≤-4,
-x+6,-4
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