2017年高考数学（理科,江苏专版）二轮专题复习与策略 专题限时集训17 第1部分 专题5 第16讲 高考中的圆
专题限时集训(十七) 高考中的圆
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1．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
【导学号：19592049】
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求MN.
[解] (1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为l与C交于两点，所以<1，3分
解得
0)，则3＝5， 10分
化简得(x－17)2＋y2＝152(y>0)，
即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的半圆. 12分
则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15千米．
所以点P的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. 16分
5．(2016·扬州期中)已知直线x－2y＋2＝0与圆C：x2＋y2－4y＋m＝0相交，截得的弦长为.
(1)求圆C的方程；
(2)过原点O作圆C的两条切线，与抛物线y＝x2相交于M，N两点(异于原点)．证明：直线MN与圆C相切；
(3)若抛物线y＝x2上任意三个不同的点P，Q，R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明．
【导学号：19592050】
[解] (1)∵C(0,2)，∴圆心C到直线x－2y＋2＝0的距离为d＝＝，3分
∵截得的弦长为，∴r2＝2＋2＝1. 6分
∴圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)证明：设过原点的切线方程为y＝kx，即kx－y＝0，
∴＝1，解得k＝±.
∴过原点的切线方程为y＝±x，不妨设y＝x与抛物线的交点为M，则解得M(，3)，同理可求N(－，3)，∴直线MN为y＝3.
∵圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且r＝1，∴直线MN与圆C相切. 10分
(3)直线QR与圆C相切．证明如下：
设P(a，a2)，Q(b，b2)，R(c，c2)，则直线PQ，PR，QR的方程分别为
PQ：(a＋b)x－y－ab＝0，PR：(a＋c)x－y－ac＝0，QR：(b＋c)x－y－bc＝0.
∵PQ是圆C的切线，∴＝1，化简得(a2－1)b2＋2ab＋3－a2＝0，① 14分
∵PR是圆C的切线，同理可得(a2－1)c2＋2ac＋3－a2＝0. ②
则b，c为方程(a2－1)x2＋2ax＋3－a2＝0的两个实根，
∴b＋c＝－，bc＝.
∵圆心到直线QR的距离为d＝＝＝＝1＝r.
∴直线QR与圆C相切. 16分
6．(2016·泰州二模)如图16－8，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l，m，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆A相切．
图16－8
(1)当P距O处2百米时，求OQ的长；
(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长．
[解] 以O为原点，直线l，m分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1百米为单位长度，则圆A
的方程为x2＋(y－1)2＝1，
(1)由题意可设直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋2y－2q＝0(q>2). 3分
∵PQ与圆A相切，∴＝1，解得q＝，
故当P距O处2百米时，OQ的长为百米. 6分
(2)设直线PQ的方程为＋＝1，即qx＋py－pq＝0(p>1，q>2)，∵PQ与圆A相切，∴＝1，化简得p2＝，则PQ2＝p2＋q2＝＋q2， 10分
令f(q)＝＋q2(q>2)，∴f′(q)＝2q－＝(q>2)，
当2时，f′(q)>0，即f(q)在上单调递增，
∴f(q)在q＝时取得最小值，故当公路PQ长最短时，OQ的长为百米. 16分
