2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省平顶山市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，或，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得，再求得 ‎【详解】‎ 或，，.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．已知直线平面，直线平面，则下列结论一定不正确的是（ ）‎ A．相交 B．异面 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线面垂直的概念，判断与不平行.‎ ‎【详解】‎ 由平面的垂线的定义可知，在平面内肯定不存在与直线平行的直线.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直的知识，属于基础题.‎ ‎3．已知函数则（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题可知.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.‎ ‎4．已知，，直线.若点到直线的距离等于点到直线的距离，则（ ）‎ A．或6 B． C．0 D．0或 ‎【答案】D ‎【解析】利用点到直线的距离公式列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，解得或.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎5．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式，解不等式求得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，需使，即，解得.所以函数的定义域为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎6．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用“分段法”结合对数函数的单调性、指数运算，比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据对数函数的单调性可得，即，故，又，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎7．已知且，则函数与的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先判断出 ‎，根据指数型函数的单调性、对数型函数的单调性，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 由于且，所以.当时，函数单调递增，函数与函数的图象关于轴对称，当时，函数调递减，函数与函数的图象关于轴对称，结合选项可知选C.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数图象的识别，考查指数型、对数型函数的单调性，属于基础题.‎ ‎8．如果圆上所有点到原点的距离都不小于3，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设是圆上任意一点，利用到原点的距离不小于列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心为，半径.设圆心到原点的距离为，则.设圆上任一点为，可知，由题意可知，解得或（舍去），故实数的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎9．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据分段函数在 上递增，结合二次函数、一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 在上为增函数，，解得.∴实数的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎10．有一个棱长为，悬空放置的正方体框架，将一个圆气球放在框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与框架12条棱均相切时，如果不计气球的厚度，则气球内气体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据球恰好与正方体框架12条棱均相切，计算出球的半径，进而计算出求得体积.‎ ‎【详解】‎ 设球心为，正方体上底面中心为，上底面一边的中点为，在中，，，则，即气球的半径.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查几何体与球体的位置关系，考查球的体积计算，属于基础题.‎ ‎11．知函数是上的减函数，，则（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将分成三种情况，结合分段函数的解析式，求得的解析式，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，由单调性可知，此时；‎ ‎②当时，，此时；‎ ‎③当时，，由单调性可知，此时.‎ 综上，可知.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查分段函数的性质，属于基础题.‎ ‎12．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据求得的周期，由此化简，利用为奇函数，以及时的解析式，求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 函数满足对任意的都有，则，所以，.由函数是定义在上的奇函数，知.当时，，则 ‎，则，故.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的周期性、奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．函数（且）的图象恒过定点的坐标为______.‎ ‎【答案】（5,0）‎ ‎【解析】根据，求得图象所过定点.‎ ‎【详解】‎ 令，解得，所以函数（且）的图象恒过定点的坐标为（5,0）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数型函数过定点问题，属于基础题.‎ ‎14．扇形的圆心角为90°，半径，则该扇形绕所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据旋转体的概念判断出旋转所得几何体为半球，由此求得半球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，以所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为故半球的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查旋转体的结构判断，考查半球表面积有关计算，属于基础题.‎ ‎15．《九章算术》卷第五——商功中记载有几何体“方亭”，一“方亭”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形.则其侧棱与底面所成的角为_______.‎ ‎ ‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】画出“方亭”的对角面，根据线面角的定义，判断出侧棱与底面所成的角，解三角形求出这个角.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知“方亭”实质为上下底面均为正方形的棱台，上底面边长为1，下底面边长为3，高为.画出“方亭”的对角面，如图所示，为上底为，下底为的等腰梯形，过点分别作，，易知底面，所以是侧棱与底面所成的角.，又，所以，所以，所以侧棱与底面所成的角为60°.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查棱台侧棱与底面所成角的计算，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎16．已知圆的圆心在轴上，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出圆心的坐标，判断出在直线上，将的坐标代入直线方程，求得的值为.根据圆心和切点的连线与直线垂直列方程，由此求得的值，利用两点间的距离公式求得圆的半径，进而求得圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 设圆的圆心坐标为.直线与圆相切于点，显然点在该直线上，即，解得.又圆心和切点的连线与直线垂直，所以，解得.根据两点间的距离公式，可得圆的半径.故圆的标准方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，考查圆的几何性质，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）-2（Ⅱ）-8‎ ‎【解析】（I）利用指数运算，化简求得表达式的值.‎ ‎（II）利用对数运算，化简求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题.‎ ‎18．已知三点，，.‎ ‎（Ⅰ）求线段的中垂线方程；‎ ‎（Ⅱ）求线段的中点到直线的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）首先求得线段的斜率，由此求得中垂线的斜率，然后求得线段中点的坐标，由此求得中垂线的方程.‎ ‎（II）求得直线的方程，求得线段中点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得线段的中点到直线的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题得，‎ 所以线段的中垂线斜率. ‎ 又线段的中点坐标为， ‎ 所以线段的中垂线方程为，即. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线的方程为，即. ‎ 线段的中点为， ‎ 所以线段的中点到直线的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式，考查中点坐标公式，属于基础题.‎ ‎19．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）根据幂函数的奇偶性和在区间上的单调性，求得的值，进而求得的解析式.‎ ‎（II）先求得的解析式，由不等式分离常数得到，结合函数在区间上的单调性，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，‎ ‎，且为偶数. ‎ 又，解得，‎ ‎. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.‎ 当时，由得. ‎ 易知函数在上单调递减， ‎ ‎.‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎20．为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入分别满足，.设甲大棚的投入为，每年两个大棚的总收入为.（投入与收入的单位均为万元）‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人最大？并求最大年总收入.‎ ‎【答案】（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.‎ ‎【解析】（I）根据题意求得的表达式，由此求得的值.‎ ‎（II）求得的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ 所以（万元）. ‎ ‎（Ⅱ）依题意得.‎ 故. ‎ 令，则，， ‎ 显然在上单调递增，‎ 所以当，即时，取得最大值，. ‎ 所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查含有根式的函数的最值的求法，属于中档题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，，，.‎ ‎（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】（I）连接，利用平行四边形的性质，结合三角形的中位线，证得，由此证得平面.‎ ‎（II）取棱的中点，连接，根据等腰三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，再由证得平面.‎ ‎（III）连接，结合（II）中证得的平面，判断出为直线与平面所成的角，解三角形求得线面角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）如图，连接.‎ 易知，. ‎ 又由，‎ 可知. ‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）如图，取棱的中点，连接.‎ 依题意，得， ‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，又平面，‎ 故. ‎ 又因为，，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅲ）如图，连接.‎ 由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角.‎ 因为，，且为中点，‎ 所以. ‎ 又，在中，，‎ 所以.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22．已知函数其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ）当函数的零点恰有3个时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）‎ ‎【解析】（I）当时，由，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出的零点的个数.‎ ‎（II）令，解得（根据分段函数解析式可知，故舍去.）或.结合分段函数解析式，求得的根，结合分段函数 的分段点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时， ‎ 令，得，‎ 则或. ‎ 解，得或，‎ 解，得或（舍）. ‎ 所以当时，函数的零点为，，10，共3个. ‎ ‎（Ⅱ）令，得或. ‎ 由题易知恒成立. ‎ 所以必须有3个实根，即和共有3个根. ‎ ‎①解，得或（舍），故有1个根. ‎ ‎②解，得或，‎ 要使得两根都满足题意，则有. ‎ 又，所以.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.‎